Круговые схемы Эйлера и диаграммы Венна для выражения отношений между понятиями

 

Содержание:

 

Круговые схемы Эйлера и диаграммы Венна для выражения отношений между понятиями……………………………….........................................2.

Сложное суждение и его основные виды. Условия истинности сложных

 суждений (таблицы истинности)……………………………………….10.

 Тест……………………………………………………………………….15.

 Список используемой литературы…......................................................16. 
1. Круги Эйлера и Диаграммы Венна.¹

Эйлеровы круги (круги  Эйлера) — принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером (1707–1783).

Обозначение отношений  между объемами понятий посредством  кругов было применено еще представителем афинской неоплатоновской школы  — Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля.

Условно принято, что  круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Объем же понятия  отображает совокупность предметов  того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга, как это показано на рисунке:

Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, нарисованного  внутри большего круга, как это сделано на рисунке.

Такое именно отношение  существует между объемами понятий  «небесное тело» (А) и «комета» (B). Объему понятия «небесное тело»  соответствует больший круг, а  объему понятия «комета» — меньший  круг. Это означает, что все кометы являются небесными телами. Весь объем понятия «комета» входит в объем понятия «небесное тело».

В тех случаях, когда  объемы двух понятий совпадают только частично, отношение между объемами таких понятий изображается посредством  двух перекрещивающихся кругов, как это показано на рисунке:

Такое именно отношение  существует между объемом понятий  «учащийся» и «комсомолец». Некоторые (но не все) учащиеся являются комсомольцами; некоторые (но не все) комсомольцы являются учащимися. Незаштрихованная часть  круга А отображает ту часть объема понятия «учащийся», которая не совпадает с объемом понятия «комсомолец»; незаштрихованная часть круга B отображает ту часть объема понятия «комсомолец», которая не совпадает с объемом понятия «учащийся». 3аштрихованиая часть, являющаяся общей для обоих кругов, обозначает учащихся, являющихся комсомольцами, и комсомольцев, являющихся учащимися.

Когда же ни один предмет, отображенный в объеме понятия A, не может одновременно отображаться в  объеме понятия B, то в таком случае отношение между объемами понятий изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Ни одна точка, лежащая на поверхности одного круга, не может оказаться на поверхности другого круга.

 

 

 

Такое именно отношение  существует, например, между понятиями «тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме понятия «тупоугольный треугольник» не отображается ни один остроугольный треугольник, а в объеме понятия «остроугольный треугольник» не отображается ни один тупоугольный треугольник.

Отношения между равнозначащими понятиями, объемы которых совпадают, отображаются наглядно посредством одного круга, на поверхности которого написаны две  буквы, обозначающие два понятия, имеющие  один и тот же объем:

Такое отношение существует, например, между понятиями «родоначальник английского материализма» и «автор „Нового Органона“». Объемы этих понятий одинаковы, в них отобразилось одно и то же историческое лицо — английский философ Ф. Бэкон.

Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу несколько видовых понятий, которые в таком случае называются соподчиненными. Отношение между такими понятиями изображается наглядно посредством одного большого круга и нескольких кругов меньшего размера, которые нарисованы на поверхности большего круга:

Такое именно отношение  существует между понятиями «скрипка», «флейта», «пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере подчинены  одному общему родовому понятию «музыкальные инструменты».

Круги, изображающие соподчиненные  понятия, не должны касаться друг друга и перекрещиваться, так как объемы соподчиненных понятий несовместимы; в содержании соподчиненных понятий имеются, наряду с общими, различающие признаки. Эта схема отображает общее, что характерно для отношения любых соподчиненных понятий, взятых из различных областей знания. Это применимо к понятиям: «дом», «сарай», «ангар», «театр», подчиненных понятию «постройка»; к понятиям: «муха», «комар», «бабочка», «жук», «пчела», подчиненных понятию «насекомое» и т. д.

В тех случаях, когда между понятиями имеется отношение противоположности, отношение между объемами таких понятий отображается посредством одного круга, обозначающего общее для обоих противоположных понятий родовое понятие, а отношение между противоположными понятиями обозначается так: А — родовое понятие, B и C — противоположные понятия. Противоположные понятия исключают друг друга, но входят в один и тот же род, что можно выразить такой схемой:

При этом видно, что между  противоположными понятиями возможно третье, среднее, так как они не исчерпывают полностью объема родового понятия. Такое именно отношение существует между понятиями «легкий» и «тяжелый». Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, сказать, что он и легкий, и тяжелый. Но между данными понятиями есть среднее, третье: предметы бывают не только легкого и тяжелого веса, но также и среднего веса.

Когда же между понятиями существует противоречащее отношение, тогда отношение  между объемами понятий изображается иначе: круг делится на две части так: А — родовое понятие, B и не-B (обозначается как ¬B) — противоречащие понятия. Противоречащие понятия, исключают друг друга и входят в один и тот же род, что можно выразить такой схемой:

При этом видно, что между противоречащими понятиями третье, среднее, невозможно, так как они полностью исчерпывают объем родового понятия. Такое отношение существует, например, между понятиями «белый» и «небелый». Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, сказать, что он и белый и небелый.

Посредством Эйлеровых кругов изображаются также отношения между объемами субъекта и предиката в суждениях. Так, в общеутвердительном суждении, выражающем определение какого-либо понятия, объемы субъекта и предиката, как известно, равны. Наглядно такое отношение между объемами субъекта и предиката изображается посредством одного круга, подобно изображению отношений между объемами равнозначащих понятий. Разница только в том, что в данном случае всегда на поверхности круга надписываются две определенные буквы: S (субъект) и P (предикат), как это показано на рисунке:

Иначе выглядит схема  отношения между объемами субъекта и предиката в общеутвердительном суждении, не являющемся определением понятия. В таком суждении объем предиката больше объема субъекта, объем субъекта целиком входит в объем предиката. Поэтому отношение между ними изображается посредством большого и малого кругов, как показано на рисунке:

 

 

  

 

 

 

  ДИАГРАММЫ ВEHHА — графический способ задания и анализа логико-математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривьми Жордана). В ячейках представляется информация, характеризующая рассматриваемую теорию или формулу. Цель построения диаграмм не только иллюстративная, но и операторная — алгоритмическая переработка информации. Аппарат диаграмм Венна обычно используется вместе с аналитическим.  

Способ разбиения, количество ячеек, а также проблемы записи в них информации зависят от рассматриваемой теории, которая тоже может вводиться (описываться) графически—некоторыми диаграммами Венна, задаваемыми первоначально, в частности, вместе с алгоритмами их преобразований, когда одни диаграммы могут выступать как операторы, действующие на другие диаграммы.²

 

 

Понятие — общее имя с относительно ясным и устойчивым содержанием, используемое в обычном языке или в языке науки. 
Например,  понятиями  являются  «дом»,  «квадрат»,  «молекула»,  
«кислород», «атом», «любовь», «бесконечный ряд» и т. п. Отчетливой  
границы между теми именами, которые можно назвать понятиями, и теми,  
которые не относятся к понятиям, нет. «Атом» уже с античности является  
достаточно оформившимся понятием, в то время как «кислород» и «молекула» до XVIII в. вряд ли могли быть отнесены к понятиям.  
Слово «понятие» широко используется и в повседневном, и в научном  
языке. Однако в истолковании содержания этого слова единства мнений  
нет. В одних случаях под «понятиями» имеют в виду все имена, включая  
и единичные. К понятиям относят не только «столицу» и «европейскую  
реку», но и «столицу России» и «самую большую реку Европы». В других  
случаях понятия понимаются как общие имена, отражающие предметы  
и явления в их существенных признаках. Иногда понятие отождествляется  
с содержанием общего имени, со смыслом, стоящим за таким именем. 
Далее  под  понятиями  понимаются  все  общие  имена,  для  которых  
имеется какоето определение или содержание которых является относительно ясным.  
2. Отношения между понятиями 
Содержание понятия — совокупность тех свойств, которые присущи всем предметам, обозначаемым данным понятием, и только им. 
К  примеру,  склероз  —  это,  как  известно,  уплотнение  какихлибо  
органов, вызванное гибелью специфических для этих органов элементов  
и заменой их соединительной тканью. Перечисленные свойства составля 
ют содержание понятия «склероз». Они позволяют относительно любой  
ситуации решить, можно ли назвать происшедшие в органе изменения  
склерозом или нет. Содержание понятия «стул» составляют свойства  
быть предметом мебели, предназначенным для сидения, и иметь ножки,  
сиденье и спинку. Этими свойствами, относящимися к функциям стула  
и его строению, обладает каждый стул и не обладает ничто иное. Если  
изъять из числа структурных частей стула, скажем, спинку, получим со 
держание уже иного понятия («табурет»). В содержание понятия «стол»  
входят признаки быть предметом мебели, предназначенным для сидения  
за ним, и иметь ножки и крышку. 
Помимо содержания, или смысла, понятие имеет также объем.  
Объем понятия — совокупность, или класс, тех предметов, которые  
обладают признаками, входящими в содержание понятия.

Например, в объем понятия «склероз» входят все случаи склеро 
тического изменения органов, в частности склероз мозга. Объем поня 
тия «стул» включает все стулья, объем понятия «стол» — все столы.  
Нетрудно заметить, что объемы даже таких простых понятий, как «стул»  
и «стол», являются неопределенными, размытыми, а значит, сами эти  
имена относятся к неточным.  
Понятия  находятся  в  различных  отношениях  друг  к  другу.  Между  
объемами двух произвольных понятий, которые есть какойто смысл со 
поставлять друг с другом, имеет место одно и только одно из следующих  
отношений:  равнозначность,  пересечение,  подчинение  (два  варианта)  
и исключение. 

Равнозначность — отношение между понятиями, объемы которых  
полностью совпадают.  
Иными словами, равнозначные понятия отсылают к одному и тому  
же классу предметов, но делают это разными способами. Равнозначны,  
к примеру, понятия «квадрат» и «равносторонний прямоугольник»: каждый квадрат является равносторонним прямоугольником, и наоборот. 
Равнозначность означает совпадение объемов двух понятий, но не  
их содержаний. Например, объемы понятий «сын» и «внук» совпадают  
(каждый сын есть чейто внук и каждый внук — чей-то сын), но содержания их различны. 
Отношения между объемами понятий можно геометрически наглядно  
представить с помощью круговых схем. Они называются по имени математика XVIII в. Л. Эйлера «кругами Эйлера». Каждая точка круга представляет один предмет, входящий в объем рассматриваемого понятия.  
Точки вне круга представляют предметы, не подпадающие под это понятие. 
S, P 
Равнозначность 
Отношения между двумя равнозначными понятиями изображаются  
в виде двух полностью совпадающих кругов. 
Пересечение — отношение между понятиями, объемы которых частично совпадают. 
S 
P

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ И ЕГО ВИДЫ³

Сложным называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логическими связками. Различают следующие виды сложных суждений: 1) соединительные, 2) разделительные, 3) условные, 4) эквивалентные. Истинность таких сложных суждений определяется истинностью составляющих их простых.

1. Соединительные (конъюнктивные) суждения.

Соединительным, или конъюнктивным  называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «и».

В естественном языке  конъюнктивная связка может быть представлена и такими выражениями, как: «а», «но», «а также», «как и», «хотя», «однако», «несмотря на», «одновременно» и другими.

Соединительное суждение может быть как двух-, так и  многосоставным; в символической записи: р  Ù q Ù r Ù… n. Приведем пример соединительного суждения, включающего более 20 конъюнктов:

В языке соединительное суждение может быть выражено одной из трех логико-грамматических структур.

1. Соединительная связка  представлена в сложном субъекте  по схеме: S и S₁ есть Р.

2) Связка представлена  в сложном предикате по схеме: S есть P₁ и Р₂.

3) Связка представлена сочетанием первых двух способов по схеме: S и S₁ есть Р₁  и Р₂.

Соединительное суждение истинно при истинности всех составляющих его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного из них.

2. Разделительные (дизъюнктивные) суждения.⁴

Разделительным, или дизъюнктивным, называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «или».

Разделительное суждение может быть как двух-, так и  многосоставным: р  Ú q Ú r Ú… n

В языке разделительное суждение может быть выражено одной  из трех логико-грамматических структур.

1) Разделительная связка  представлена в сложном субъекте  по схеме: S₁ или S₂ есть Р.

2) Разделительная связка  представлена в сложном предикате  по схеме: S есть P₁ или P₂.

3) Разделительная связка  представлена сочетанием первых двух способов по схеме: S₁ илиS₂ есть P₁ или P₂.

Нестрогая и  строгая дизъюнкция. Поскольку связка «или» употребляется в естественном языке в двух значениях — соединительно-разделительном и исключающее-разделительном, то следует различать два типа разделительных суждений: 1) нестрогую (слабую) дизъюнкцию и 2) строгую (сильную) дизъюнкцию.

1) Нестрогая дизъюнкция — суждение, в котором связка «или» употребляется в соединительно-разделительном значении (символ v).

2) Строгая дизъюнкция — суждение, в котором связка «или» употребляется в разделительном значении (символ    ).Члены строгой дизъюнкции, называемые альтернативами, не могут быть одновременно истинными.