Представление о рисках и определение риска

Реализационная структура  задачи принятия решения составляет ее первую компоненту. Вторая компонента ЗПР называется ее оценочного структурой. Если реализационная структура определяет возникающий результат, то оценочная структура указывает оценку этого результата с точки зрения принимающего решение.

В математической модели ЗПР  оценочная структура может задаваться различными способами.

Например, если принимающий  решение может оценить эффективность (равнозначные по смыслу термины: «полезность», «ценность») каждого исхода а А некоторым числом φ(а), то оценочная структура задается в виде пары (А, φ ), где   φ : А  R; при этом φ называется оценочной функцией.

 

Например, в задачах юриспруденции, φ(а) — количество правонарушителей на 1000 жителей. Для построения оценочной функции необходим некоторый измеримый критерий эффективности исходов. В большинстве практических задач принятия решения исходы (в качестве которых выступают реальные объекты и явления) оцениваются, как правило, не по одному, а по нескольким критериям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Многокритериальные задачи принятия решений

Если исходы оцениваются  по m критериям, где m > 1, то такая задача принятия решений называется многокритериальной. Основная сложность логического анализа многокритериальных задач состоит в том, что в них, в отличие от «обычных» (однокритериальных) задач появляется эффект несравнимости исходов. Например, если исходы оцениваются по двум критериям, несводимым один к другому, и исход а₁ лучше исхода а₂ по первому критерию, но хуже по второму, то исходы а₁ и а₂ несравнимыми между собой.

Примером может служить  выбор человека на должность адвоката, претендуют 2 кандидата, у одного большой стаж работы, но мало выигранных дел, а у другого больше выигранных дел, но стаж меньше чем у первого кандидата. Несравнимость исходов является формой неопределенности, которая, в отличие от стратегической неопределенности, вызванной воздействием среды на объект управления, связана со стремлением принимающего решение «достичь противоречивых целей» и может быть названа ценностной неопределенностью. Выбор между несравнимыми исходами является сложной концептуальной проблемой и составляет основное содержание многокритериальной оптимизации.

 

4.1 Математическая  модель задачи принятия решения при многих критериях.

Математическая модель задачи принятия решения при многих критериях может быть представлена в виде (D; f₁…f_m),где D — некоторое множество (множество допустимых исходов), f_j — числовая функция, заданная на множестве D; при этом f_j(a) есть оценка исхода а D по j-му критерию j=().Такая модель соответствует задаче принятия решения в условиях определенности, в которой множество альтернатив отождествляется с множеством допустимых исходов, а оценочная структура задается вектором (f₁…f_m) .

Критерий f_j называется позитивным, если принимающий решение стремится к его увеличению, и негативным, если он стремится к его уменьшению.

 В конкретных задачах  принятия решений характер критерия  устанавливается по содержательным  соображениям. Технически «превращение»  негативного критерия в позитивный (и наоборот) можно осуществить заменой знака; при рассмотрении многокритериальных ЗПР в общем виде предполагается, если не оговорено противное, что все имеющиеся критерии являются позитивными. В многокритериальной ЗПР с позитивными критериями цель принимающего решение — получение исхода, имеющего как можно более высокие оценки по каждому критерию.

 

Пусть Y_j — множество значений функции f_j , т.е. множество всех

оценок по j-му критерию (j =).Тогда множествоY=состоящее

из всевозможных упорядоченных  наборов оценок по критериям 1,...,m, называется множеством векторных оценок. Любой элемент у У представляет собой вектор у = (y₁,…,y_m), где y_j Y_j  . Для всякого исхода а D набор его оценок по всем критериям, т.е. набор

(f₁ (а),...,f_m( а)) есть векторная оценка исхода а. В рамках модели векторная оценка исхода содержит полную информацию о ценности (полезности) этого исхода для принимающего решение, и сравнение любых двух исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

 

Другой способ задания  оценочной структуры состоит в указании отношения предпочтения исходов, что сводится к перечислению пар исходов (), для которых лучше, чем (это записывается в виде и читается «предпочтительней, чем ).

 

Наиболее распространенным является задание оценочной структуры в виде оценочной функции φ.

 

Целевая функция  f есть композиция функции реализации F и оценочной функции  φ т.е. f =φ°F. Таким образом, f(x,y) = φ(F(x, у)). Целевая функция имеет следующий содержательный смысл: число f(x,y) есть оценка полезности (с точки зрения принимающего решение) того исхода, который возникает в ситуации, когда он выбирает альтернативу х, а среда принимает состояние у.

 

4.2  Доминирование  по Парето.

Основное отношение, по которому производится сравнение векторных оценок (значит, и сравнение исходов), — это отношение доминирования по Парето, которое определяется следующим образом:

Говорят, что векторная оценка у = (у₁,...,у_т) доминирует по

                                                                                                          Par

Парето векторную  оценку у' = (у' ₁,...,у'_т)(записывается в виде у > у’), если для всех j = выполняется неравенство у ≥ у’, причем по крайней мере для одного индекса j = неравенство должно быть строгим.

Пусть Q У — некоторое множество векторных оценок. Векторная оценка у* Q называется Парето-оптимальной в Q, если она является максимальным элементом множества Q относительно Парето - доминирования (т. е. если в множестве Q не существует такой векторной оценки у, которая доминирует по Парето векторную оценку у*).

Перенесем теперь эти понятия  на исходы.

Говорят, что исход a₁ доминирует по Парето исход a₂

                                         Par

(записывается  в виде a₁ > а₂), если векторная оценка исхода a₁ доминирует по Парето векторную оценку исхода a₂.

 

                                       

                                            Par

Содержательно условие a₁ > а₂ означает, что исход a₁ не хуже, чем исход а₂ по любому из рассматриваемых критериев, причем, по крайней мере, по одному из этих критериев а₁ лучше, чем а₂. Поэтому при

                                                                                   Par

сравнении двух исходов a₁, a₂ D, для которых а₁ > а₂, принимающий решение безусловно отдаст предпочтение исходу a₁.

Введем теперь основное понятие.

 

Исход а* D называется Парето-оптимальным исходом в множестве D, если он не доминируется по Парето никаким другим исходом из множества D (т. е. если векторная оценка исхода а* является Парето - оптимальной в множестве векторных оценок

Q = {(f₁(a),…,f_m(a):a_}.

Оптимальность по Парето — такое состояние системы, при котором значение каждого частного показателя, характеризующего систему, не может быть улучшено без ухудшения других.

Парето-оптимальность исхода а* означает, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию.

Для наглядного представления  доминирования по Парето и Парето – оптимальности рассмотрим случай двух позитивных критериев f₁ и f_2.

Векторные оценки исходов  представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия f₁, а по оси ординат — значения критерия f₂).

В случае, когда множество  допустимых исходов является дискретным (конечным), получаем «картинку» типа

 

Здесь Парето-оптимальными являются исходы {4, 5, 7, 8}. При этом каждый исход, не являющийся Парето-оптимальным, доминируется по Парето некоторым Парето-оптимальным исходом (не обязательно одним).

                    

                    Par   Par   Par    Par

Например, 5 >6,7 > 6,7 >10,5 > 10 и т.д.

 

В случае, когда множество  допустимых исходов является непрерывным, их векторные оценки «заполняют» некоторую область Q не плоскости и получается «картинка» вроде

 

В этом случае множество  Парето – оптимальных исходов (жирная линия Y) представляет собой часть границы Q, её «северо-восточную» границу. Здесь так же любой исход, не являющийся Парето- оптимальным, доминируется по Парето-оптимальным исходам.

 

 

 

5. Методика исследования задач принятия решений на основе математического моделирования.

Методика исследования задач  принятия решений на основе математического  моделирования состоит в реализации следующих трех этапов.

Этап 1. Построение математической модели ЗПР. 

Этап 2. Формулировка принципа оптимальности и нахождение оптимального решения. 

Этап 3. Анализ полученных результатов.

Первый этап рассмотрен выше, поэтому кратко охарактеризуем следующие  два этапа.

Реализация второго этапа  связана с введением принципа оптимальности. Универсального понятия  оптимального решения, которое было бы пригодным для любой ЗПР, не существует. Поэтому в теории принятия решений рассматривают отдельные классы задач принятия решений и для каждого класса формулируют свой принцип оптимальности. Задача нахождения оптимального решения (в смысле некоторого указанного принципа оптимальности) является уже формальной задачей и решается математическими средствами.

Следует отметить, что для  ЗПР данного класса может существовать не один, а несколько различных  принципов оптимальности; кроме того, даже при фиксированном принципе оптимальности может быть не одно, а несколько оптимальных решений. Это объясняет необходимость третьего этапа, который состоит в анализе полученных результатов. Такой анализ проводится на содержательном уровне и заключается в соотнесении формально полученных рекомендаций с требованиями задачи принятия решения. Если полученное формальным способом оптимальное решение по каким либо причинам оказывается неприемлемым, то это приводит либо к выбору другого оптимального решения (если оно имеется)либо к смене принципа оптимальности, либо к изменению самой математической модели ЗПР.

 

6. Риск в математическом понимании

Изучение математической модели ЗПР в условиях риска предполагает задание некоторой дополнительной информации о вероятностях состояний  среды. Наиболее простой для анализа  случай – когда эта дополнительная информация представлена в виде вероятностной  меры на множестве состояний среды. Если множество в виде вероятностной  меры на множестве состояний среды. Если множество состояний среды  Y конечно,Y={1,m} , то вероятностная мера на нем может быть задана вероятностным вектором y=(y₁,…y_m), где y_j≥0 и _j=1

Предметом изучения являются принятия решений, в которых целевая  функция представлена в виде таблицы  – матрицы выигрышей 

(i= j=) и кроме того, принимающему решение известен вероятностный вектор y=(y₁,…y_m).

Оно задаётся таблицей

 

Состояние среды
Альтернатива	Y1 1	…… ……	yj j	….. …..	Ym m
1
:
I
:
N

 

Сравнение двух альтернатив  i₁  и i₂ сводится к сравнению соответствующих им случайным величин l_i1  и l_i2.

Принятие решений в  условиях риска сводится к сравнению  между собой случайных величин. Из теории вероятности известно, что  наиболее естественной числовой характеристикой случайной величины * является её математическое ожидание (МО). Если для ЗПР в условиях рисков качестве критерия сравнения альтернатив взять МО соответствующей случайной величины, то оптимальной следует считать альтернативу, максимизирующую ожидаемый выигрыш. Математическое ожидание М * случайной величины * представляет собой число, к которому приближается среднее значение этой случайной величины при большом числе испытаний.

В теории вероятностей в  качестве меры отклонения случайной  величины от ее среднего значения (меры «разброса») обычно берется дисперсия D* или среднеквадратичное отклонение (СКО) *=Формально дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ожидаемого значения: