Автоматическое управление

 

 

 

 

Находим расчетные  параметры для двигателя постоянного  тока.

Электромагнитная  постоянная времени якорной цепи , с, находится по формуле:

(1)

где   L_я – индуктивность якорной цепи двигателя; Гн;

R_я –сопротивление якорной цепи двигателя, Ом.

 

Находим номинальный  ток двигателя Iном, А по формуле:

,  (2)

где   Р_ном – номинальная мощность двигателя, Вт;

h _дв – коэффициент полезного действия двигателя

 

 

Угловую частоту  вращения ω_ном, ,с^-1, определяем по формуле:

(3)

где n_ном – номинальная скорость вращения, об/мин.

 

 

Находим конструктивную постоянную двигателя Сд, по формуле:

 

(4)

где   U_ном – номинальное напряжение, В;

I_ном – номинальный ток двигателя, А;

ω_ном – угловая частота вращения, с^-1.

 

 

 

Электромеханическая постоянная времени Тм, с., определяется по формуле:

(5)

 

где Сд  – конструктивная постоянная двигателя;

J – момент инерции  приведенный к валу двигателя,  кг/м².

 

 

2 Построение функциональных и структурных схем исследуемой системы автоматического управления.

Принципиальная  электрическая схема системы  регулирования частоты вращения ДПТ приведена на рисунке 2

:

ДПТ - двигатель  постоянного тока

ТП - тиристорный  преобразователь

ТГ - тахогенератор

РС - регулятор  скорости

 

Рисунок 2 - Принципиальная электрическая схема системы регулирования частоты вращения ДПТ

 

Построим функциональную схему исследуемой системы автоматического  управления, то есть разобьем систему  на составляющие её элементы, исходя из выполняемых или функций с  указанием связи между ними.

Функциональная  схема приведена на рисунке 2.

 

 

Uзад (s) - задающее напряжение

Мн (s) - момент нагрузки внешнего воздействия

ω (s) - угловая частота вращения

 

Рисунок 2 - Функциональная схема исследуемой системы автоматического  управления.

 

По функциональной схеме, подставляя в неё конкретные функции, составляющих её звеньев, составляем обобщающую структурную схему исследуемой  САУ.

Структурные схемы  тиристорного преобразователя, тахогенератора и двигателя постоянного тока приведены на рисунках 3,4,5.

Рисунок 3 - Структурная  схема тиристорного преобразователя

Рисунок 4 - Структурная  схема тахогенератора.

 

Рисунок 5 - Структурная  схема двигателя постоянного  тока

 

Рисунок 6 - Обобщающая структурная схема исследуемой САУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим передаточные функции исследуемой  САУ:

- передаточные  функции двигателя постоянного тока.

- передаточная  функция тиристорного преобразователя.

- передаточная  функция тахогенератора.

 

        

 

    

 

3 Построение структурных схем  двигателя постоянного тока по  управляющему и возмущающему  воздействиям

 

Используя обобщающую структурную схему системы автоматического  управления, приведенную на рисунке 6, составляем структурные схемы  двигателя постоянного тока по управляющему и возмущающему воздействиям.

 

 

Рисунок 7 - Структурная  схема двигателя постоянного  тока по управляющему воздействию.

 

Рисунок 8 - Структурная  схема двигателя постоянного  тока по возмущающему воздействию.

 

 

3.1 Получение передаточной  функции двигателя постоянного  тока по управляющему воздействию

По рисунку 8, используя  правила соединений динамических звеньев, составляем выражение для нахождения передаточной функции по управляющему воздействию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Получение передаточной  функции двигателя постоянного  тока по возмущающему воздействию

По рисунку 9, используя  правила соединений динамических звеньев, составляем выражение для нахождения передаточной функции по возмущающему воздействию.

 

 

 

 

 

 

4 Построение структурных схем  и получение передаточных функций  исследуемой системы автоматического  управления по управляющему и  возмущающему воздействиям

 

Для облегчения задания  используем функцию ДПТ по управляющему и возмущающему воздействиям. Тогда  обобщающая структурная схема САУ  примет вид приведенный на рисунке 9.

Рисунок 9 – Обобщающая структурная схема

Используя рисунок 9, построим замкнутую структурную  схему САУ по управляющему воздействию 

Рисунок 10 - Замкнутая  структурная схема САУ по управляющему воздействию

Используя рисунок 9, построим замкнутую структурную  схему САУ по возмущающему воздействию 

 

Рисунок 11 - Замкнутая  структурная схема САУ по возмущающему воздействию

 

Используя рисунок 9, построим разомкнутую структурную  схему САУ по управляющему воздействию:

 

 

Рисунок 12 – Разомкнутая  структурная схема САУ по управляющему воздействию

Используя рисунок 9, построим разомкнутую структурную  схему САУ по возмущающему воздействию:

 

Рисунок 13 - Разомкнутая  структурная схема САУ по возмущающему воздействию.

 

 

4.1 Получение замкнутых  передаточных функций системы  автоматического управления по  управляющему и возмущающему  воздействиям.

4.1.1 Получение замкнутой передаточной  функции системы автоматического  управления по управляющему воздействию.

По рисунку 11 определим  замкнутую передаточную функцию  САУ по управляющему воздействию.

 

 

 

 

 

 

 

4.1.2 Получение замкнутой передаточной  функции системы автоматического  управления по возмущающему воздействию

По рисунку 12 определим  замкнутую передаточную функцию  САУ по возмущающему воздействию.

 

 

 

 

 

4.2 Получение разомкнутых  передаточных функций системы  автоматического управления по  управляющему и возмущающему  воздействиям

4.2.1 Получение разомкнутой передаточной  функции системы автоматического  управления по управляющему воздействию

По рисунку 13 определим  разомкнутую передаточную функцию  САУ по управляющему воздействию.

 

 

 

 

4.2.2 Получение разомкнутой передаточной  функции системы автоматического  управления по возмущающему воздействию

По рисунку 13 определим  разомкнутую передаточную функцию  САУ по возмущающему воздействию.

 

 

 

 

 

 

5.Исследование устойчивости системы  автоматического управления

 

5.1 Исследование устойчивости САУ  по алгебраическому критерию

 

Исследование  устойчивости по алгебраическому критерию можно произвести либо по критерию Гурвица, либо по критерию Рауса.

Устойчивость  по Гурвицу.

САР устойчива  по критерию Гурвица, если при положительности  коэффициентов характеристического  уравнения все определители Гурвица, составленные по определённой схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей  Гурвица отрицательный, то система  неустойчива.

Замкнутая передаточная функция управляющему воздействию, рассчитанная в пункте 4.1.1, имеет  вид:

 

 

Характеристическое уравнение  имеет вид:

 

\\

 

 

 

 

 

 

САР устойчива по критерию Гурвица, так как все определители положительные.

 

5.2 Исследование устойчивости  САУ по критерию Михайлова.

 

Критерий Михайлова  основан на рассмотрении характеристического  уравнения САР, в котором вместо p используется jw. В этом случае имеем функцию комплексной переменной вида

 

F ( jw ) = U (w ) + j V(w ),  

где

U (w ) =;

V(w ) =.

 

Система устойчива  по критерию Михайлова, если годограф Михайлова повернётся в положительном  направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной  полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол np / 2, при этом нигде не обращаясь в нуль

Замкнутая передаточная функция управляющему воздействию  имеет вид:

 

 

Характеристическое  уравнение

 

 

 

 

Таблица 2 – Данные для построения годографа Михайлова

w	U(w)	jV(w)
1	2,744627	0,034924
2	2,744012	0,069838
3	2,742987	0,104731
4	2,741552	0,139593
5	2,739707	0,174413
6	2,737452	0,20918
7	2,734787	0,243885
8	2,731712	0,278517
9	2,728227	0,313066
10	2,724332	0,34752
20	2,662832	0,6846
50	2,232332	1,5288
100	0,694832	1,7526
180	-3,89717	-3,861

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        

Рисунок 1. годограф Михайлов

Система устойчива  т.к. годограф Михайлова повернётся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на 3 квадранта  при третий степени характеристического  уравнения, при этом нигде не обращаясь  в нуль.

 

5.3 Исследование устойчивости САУ по критерию Найквиста.

САР устойчива  по критерию Найквиста, если годограф Найквиста при изменении частоты  от ω до + ∞ не охватывает точку  с координатами (-1;j0).

Разомкнутая передаточная функция САУ по управляющему воздействию  имеет вид: 

 

 

 

 

 

 

Вещественная часть:

 

Мнимая часть:

 

Таблица 3 – Данные для построения годографа Найквиста 

W	U(w)	jV(w)
0	1,744832	0
1	1,743063	-0,06089
5	1,701526	-0,2983
10	1,582186	-0,56135
20	1,221405	-0,9109
40	0,55713	-1,06611
100	-0,43894	-0,73405
150	-0,4686	0,080678
200	-0,12572	0,120603
250	-0,04293	0,066871
300	-0,0186	0,03881
350	-0,00941	0,024278
400	-0,00529	0,016153
450	-0,00321	0,011281

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. Годограф Найквиста

 

5.4 Исследования  устойчивости системы автоматического  управления по логарифмическому  критерию.

Разомкнутая передаточная функция по управляющему воздействию имеет вид:

.

 

Преобразуем W(p)для получения выражения для ЛАЧХ. Для этого квадратный трехчлен

0,000058s²+0,004926s+1 нужно разложить на множитель первой степени, решив квадратное уравнение as² + bs +c =0 ,если s₁ и s₂ корни уравнения, то:

Решаем уравнение: 0,000058s²+0,004926s+1 =0

 

 

 

 

Значение ординаты при ω = 1 с-1

 

Определим параметры  ЛАЧХ. Значение сопрягающих частот:

 

 

 

 

Наклон низкочастотного  участка равен:

 

Составим выражение  ЛФЧХ:

 

Рисунок 3 – Логарифмическая и фазовая  амплитудно-частотные характеристики.

 

5.5 Определение запасов  устойчивости. 

 

Определим запасы устойчивости по амплитуде и  по фазе ЛЧХ.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует  отрезок l= 20lg h при этом значении частоты, при котором ЛФЧХ φ(ω)=180 .Запасу устойчивости по фазе соответствует угол между  ЛФЧХ и линией 180 при частоте среза

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 – Определение запасов устойчивости по ЛФЧХ.

   Запас устойчивости по амплитуде  ∆l=20,32 дб

Запас устойчивости по фазе ∆φ=29,19

Определим запас устойчивости по амплитуде  и по фазе по годографу Найквиста.

Запас устойчивости по амплитуде – минимальный  отрезок действительной оси h, характерной  расстояние между критической точкой (-1;JQ)и ближайшей точкой пересечения  годографом Найквиста вещественной оси

Запас устойчивости по фазе – это минимальный  угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа  Найквиста с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и вещественной отрицательной  полуосью.

 

 

 

 

 

 

 

         

           

Рисунок 5. Годограф Найквиста

Запас устойчивости по амплитуде h=0,5 

Запас устойчивости по фазе не ограниченны

 

6 Синтез системы автоматического  управления методом логарифмических  частотных характеристик

6.1Построение  логарифмической амплитудной частотной  характеристики неизменяемой части  системы автоматического управления.