Шкала относительной важности мероприятий

 Проведение процедуры выявления приоритетов среди альтернатив, объектов, критериев, факторов, характеристики (далее – объектов) и др. может быть осуществлено методом парных сравнений. Этот метод является важным компонентом метода анализа иерархий, когда объекты упорядочиваются и соподчиняются по уровням иерархии^1,2. Метод парных сравнений носит и самостоятельное значение.

Парные сравнения выполняет  эксперт или группа экспертов под контролем ведущего (модератора). «Веса» объектов являются субъективными мнениями и нуждаются в оценке согласованности. В таблице 1 приведена шкала относительной важности объектов при их парном сравнении. При этом сравнение осуществляется по отношению к некоторому вышестоящему в иерархии критерию.

Таблица 1. Шкала относительной  важности при парном сравнении

 Основным элементом для представления интенсивности взаимовлияния объектов является матрица парных сравнений. Объекты, находящиеся на одном уровне иерархи обладают одинаковыми наборами показателей. Значения этих показателей для каждого объекта различные. Конечной целью сравнения объектов - выяснить их рейтинг среди рассматриваемого множества, причем, рейтинг стремятся получить в виде количественной индивидуальной оценки. Решение задачи осуществляется снизу вверх. Сначала рассматривают объекты, находящиеся на самом нижнем уровне иерархии (эксперты, альтернативы, критерии, факторы и др.) и попарно сравнивают друг с другом. При сравнении пары объектов эксперт стремится установить насколько один объект лучше (хуже) другого, что выражается установлением количественной оценки (таблица 1). Просмотрев все сочетания возможных пар объектов, и установив между ними оценки взаимного влияния, эксперт получает матрицу парных сравнений.

Метод парных сравнений заключается  в сравнении изучаемых объектов между собой. Объекты сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них (вышестоящую в иерархии) характеристику.

Обозначим через: А1, А2, ...,Аn основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений, Если обозначить долю фактора Ai через Wj (оценка, которую проставляет эксперт, в соответствии с выбранной шкалой), то элемент матрицы aij= Wj / Wj, которая представлена в таблице 4. В предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение - aij = 1/ aji. Матрица парных сравнений является положительно определенной, обратносимметричной матрицей. Особенностью обратно симметричной матрицы парных сравнений является:

• на главной диагонали всегда должна стоять оценка равная 1;
• всегда должно выдерживаться соотношение, отвечающее условию:

если при сравнении i-го объекта с j-м объектом ставится оценка аij, то при сравнении j-го объекта с i-м, оценка aji должна быть обратной.

Таблица 2. Матрица  парных сравнений

Работа экспертов состоит в  том, что, производя парное сравнение  факторов А1, An, необходимо заполнить таблицу парных сравнений. Парные сравнения элементов могут производиться с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w. Таким образом решение задачи состоит в отыскании вектора (wb w2, wn). Существует несколько различных способов отыскания подобного вектора приоритетов. Например, через определение собственного вектора матрицы.

Собственный вектор матрицы парных сравнений определяет порядок важности сравниваемых объектов в количественном выражении. Он обеспечивает упорядочение приоритетов (критериев) объектов. Иногда значения собственного вектора матрицы  парных сравнений называют вектором приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности  суждений.

Следующим шагом, после составления матрицы парных сравнений, является вычисление вектора приоритетов. Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Метод отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгебры - искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим максимальному собственному числу - λmax. В этом случае отыскивается λmax, а затем достаточно решить векторное уравнение A*w= λmax *w.

Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению. Например, приближенное вычисление собственного вектора (столбца) методом среднего геометрического измерения расстояний между оцениваемыми объектами может быть осуществлен в следующем порядке:

• перемножаются элементы каждой строки и полученные результаты записываются в столбец;
• извлекается корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;
• складываются элементы этого столбца;
• каждый из этих элементов делится на полученную сумму.

Тем самым получается нормализованный  вектор приоритетов.

Определив вектор приоритетов необходимо найти  главное собственное значение матрицы парных сравнений λmax. Оно используется для оценки согласованности экспертных оценок. Чем ближе оно к размерности матрицы, тем более согласованы оценки. Если известны точные значения сравниваемых объектов (например, длины, расстояния и пр.), то Главное собственное значение матрицы парных сравнений равно размерности матрицы. Главное собственное значение матрицы парных сравнений представляет собой сумму отклонений оценок парных сравнений от идеального значения (в частном случае, когда отклонения равны нулю, главное значение матрицы будет равно количеству сравниваемых объектов). Отклонения (рассогласование с идеальным значением) оценок парных сравнений от идеального значения вычисляется как произведение нормализованной оценки для каждого объекта на суммарное значение оценок для рассматриваемого объекта, выставленных экспертом (сумма оценок по столбцу матрицы парных сравнений).

При парном сравнении объектов выставляется оценка, которая показывает величину - на сколько, один объект предпочтительнее другого. Эксперт может ошибиться при сравнении другой пары объектов, что приведет к противоречивости результатов.

Для выявления противоречивости результатов, которые предложил эксперт при  заполнении матрицы парных сравнений используется количественная оценка - индекс согласованности (ИС). Если отклонения от согласованности превышают установленные пределы, то необходимо скорректировать матрицу. Отклонение от согласованности может быть выражено величиной равной отношению разности λmax и n к n-1.

ИС = (λmax - n)/(n - 1)

Используется дискретная шкала  относительной важности, это, в свою очередь приводит к рассогласованию  реальных оценок с идеальными оценками. Для окончательного выяснения согласованности результатов парных сравнений вычисляется количественная оценка относительной согласованности (ОС). Это отношение индекса согласованности к среднестатистическому значению индекса согласованности (СС) при случайном выборе коэффициентов матрицы сравнений. Относительная согласованность для системы в целом характеризует взвешенное среднее значение относительной согласованности по всем матрицам сравнений. Отношение ИС к среднему СС для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Данные можно считать практически непротиворечивыми (достаточно согласованными), если значение отношения согласованности меньше чем 0,1. В качестве поправочного коэффициента при окончательном выяснении согласованности оценок в матрице парных сравнений, используется среднее значение случайного индекса (СС) согласно таблицы 3.

Таблица 3. Среднее  значение случайного индекса

Индекс согласованности не зависит  от шкал сравнений, но зависит от количества парных сравнений. Индекс согласованности - положительное число. Чем меньше противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности. При использовании способа сравнений с эталоном значение индекса согласованности равно нулю. Идеальным сравнениям соответствуют нулевой индекс согласованности и, соответственно, нулевое значение относительной согласованности.

При числе уровней иерархии большем, чем 2, необходимо сначала методом парных сравнений оценить приоритеты критериев, а затем, тем же методом парных сравнений, приоритеты факторов, раскрывающих эти критерии. Следует заметить, что трудоемкость процедуры растет, как минимум, в полиномиальной зависимости от числа факторов. И, соответственно, может составлять практически неподъемную, и, по своей сути, бессмысленную, процедуру.

Практика показывает, что в деловых  ситуациях, особенно в ситуациях  с большой неопределенностью  или когда нет очень жестких  требований к уровню согласованности, например, значение ОС допускается в интервале 0,1–0,3, иногда можно сравнить критерии (2-й уровень иерархии) по методу анализа иерархий, а для факторов (следующий уровень иерархии) ограничиться их сравнением в рамках каждого критерия уже без использования метода анализа иерархии. Можно использовать простой метод балльных оценок.

Интегральная оценка каждого фактора  в этом случае определяется взвешенной (по весам критериев) суммой многокритериальных значений компонентов факторов. Эти  оценки в нормированном виде могут использоваться для определения приоритетов факторов.