Решение задач по инвестиционному менеджменту

Задача 1

Первоначальная  сумма положена на 4 года под сложную  ставку ссудных процентов 17 годовых. Уровень инфляции за первый год – 12%, за второй – 11%, за третий – 11%, четвертый  – 10%.Какова реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудного процента?

 

Решение.

 

S_{α –} сумма денег, покупательная способность которой с учетом инфляции α равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции.

Так как  в данной задаче первоначальная сумма  инвестирована под сложную ставку, то наращенная сумма равна S = P(1 + i)ⁿ.

S_α = S(1 + α) = P(1 + i)ⁿ (1 + α)

S_α можно получить, положив под сложный процент i_α, учитывающий инфляцию

S_α = P(1 + i_α)ⁿ

P(1 + i)ⁿ(1 + α) = P(1 + i_α)ⁿ

 – это реальная доходность  в виде сложной годовой ставки  ссудных процентов для случая, когда первоначальная сумма была инвестирована под сложную ставку i_α на срок n при уровне инфляции α за рассматриваемый период.

Так как  инфляция изменяется со временем, то индекс инфляции будет равен:

Средняя инфляция за период в этом случае может быть определена следующим образом:

Таким образом, в нашем случае:

 

 

Задача 2

1.

IRR – внутренняя норма рентабельности проекта

Проект А

Рассчитаем для барьерной ставки равной r₁=20,0% 
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей: 
PV₁ = 49781 / (1 + 0,2) = 41484,17 
PV₂ = 81529 / (1 + 0,2)² = 56617,36 
PV₃ = 57355 / (1 + 0,2)³ = 33191,55 

NPV(20,0%) = (41484,17+56617,36+33191,55) - 115000 = 131293,08 - 115000 = 16293,08

Рассчитаем для барьерной ставки равной r₂=30,0% 
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей: 
PV₁ = 49781 / (1 + 0,3) = 38293,08 
PV₂ = 81529 / (1 + 0,3)² = 48242,01 
PV₃ = 57355 / (1 + 0,3)³ = 26106,05 

NPV(30,0%) = (38293,08 + 48242,01 + 26106,05) - 115000 = 112641,14 - 115000 = -2358,86

Делаем  предположение, что на участке от точки 1 до точки 2 функция NPV(r) прямолинейна, и используем формулу для аппроксимации на участке прямой:

IRR = r₁ + (r₂ – r₁) * NPV₁ /(NPV₁ – NPV₂) = 20 + (30 - 20)*16293,08 / (16293,08 - (- 2358,86)) = 28,7353%

Формула справедлива, если выполняются условия r₁ < IRR < r₂ и NPV₁ > 0 > NPV₂.

Итак, внутренняя норма рентабельности для проекта А равна 28,7353%.

 

Проект Б

Рассчитаем для барьерной ставки равной r₁=20,0% 
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей: 
PV₁ = 137600 / (1 + 0,2) = 114666,67 
PV₂ = 159610 / (1 + 0,2)² = 110840,28 
PV₃ = 126630 / (1 + 0,2)³ = 73281,25 
PV₄ = 119581 / (1 + 0,2)⁴ = 57668,31 

NPV(20,0%) = (114666,67+110840,28+73281,25+57668,31) - 350000 = 356456,50 - 350000 = 6456,50

Рассчитаем для барьерной ставки равной r₂=25,0% 
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей: 
PV₁ = 137600 / (1 + 0,25) = 110080,00 
PV₂ = 159610 / (1 + 0,25)² = 102150,40 
PV₃ = 126630 / (1 + 0,25)³ = 64834,56 
PV₄ = 119581 / (1 + 0,25)⁴ = 48980,38

NPV(25,0%) = (110080,00+102150,40+64834,56+48980,38) - 350000 = 326045,34 - 350000 = -23954,66

Делаем предположение, что на участке  от точки 1 до точки 2 функция NPV(r) прямолинейна, и используем формулу для аппроксимации  на участке прямой:

IRR = r₁ + (r₂ – r₁) * NPV₁ /(NPV₁ – NPV₂) = 20 + (25 - 20)*6456,50 / (6456,50 - (- 23954,66)) = 25,3077%

Формула справедлива, если выполняются  условия r₁ < IRR < r₂ и NPV₁ > 0 > NPV₂.

Итак, внутренняя норма рентабельности для проекта Б равна 25,3077%.

2.

Довольно часто в инвестиционной практике возникает потребность  в сравнении проектов различной  продолжительности. Возьмем дисконтную ставку равную 20%.

Проекты А и Б рассчитаны соответственно на 3 и 4 года. В этом случае рекомендуется:

• найти наименьшее общее кратное сроков действия проектов - N;
• рассматривая каждый из проектов как повторяющийся, рассчитать с учетом фактора времени суммарный NPV проектов А и Б, реализуемых необходимое число раз в течение периода N;
• выбрать тот проект из исходных, для которого суммарный NPV повторяющегося потока имеет наибольшее значение.

Суммарный NPV повторяющегося потока находится  по формуле:

где NPV (i) - чистый приведенный доход исходного проекта;

i- продолжительность этого проекта;

r - коэффициент дисконтирования в долях единицы;

N  - наименьшее общее кратное;

n - число повторений исходного  проекта (оно характеризует число  слагаемых в скобках).

 

Если рассчитать NPV для проектов А и Б, то они составят соответственно 16293,08 тыс. руб. и 6456,50 тыс. руб. (см.выше). Непосредственному сравнению эти данные не поддаются, поэтому необходимо рассчитать NPV приведенных потоков. В обоих вариантах наименьшее общее кратное равно 12. В течение этого периода проект А может быть повторен 4 раза, а проект Б - трижды.

В случае трехкратного повторения проекта Б суммарный NPV равен 13878,38 тыс. руб.:

NPV(Б) = 6456,50 + 6456,50 / (1+0,2)⁴+6456,50 / (1+0,2)^2*4 = 6456,50 + 4409,88 + 3012,00 = 13878,38.

NPV(А) = 16293,08 + 16293,08 / (1+0,2)³+16293,08 / (1+0,2)^2*3+16293,08 / (1+0,2)^3*3 = 16293,08 + 9428,87 + 5456,52 + 3157,71 = 34336,18.

Поскольку суммарный NPV в  случае четырехкратной реализации проекта  А больше (34336,18 тыс.руб.), проект А  является предпочтительным.

 

Задача 3

 

Основные показатели, используемые для расчетов эффективности ИП:

- чистый дисконтированный  доход (ЧДД);  
- индекс доходности (ИД);  
- внутренняя норма доходности (ВНД);  
- срок окупаемости капитальных вложений (t_ok).  

Чистый дисконтированный доход при расчёте в текущих (базисных) ценах и постоянной норме дисконта определяется по формуле:

 

где  
R_t - результаты, достигаемые на t-м шаге расчёта (реализации проекта);  
3_t - затраты, осуществляемые на t-м шаге расчёта;  
K_t - капитальные вложения на t-м шаге расчёта;  
Е - норма дисконта (норма дохода на капитал), отн. ед.;  
t - номер шага расчёта (0,1, 2, 3... Т);

Т — горизонт расчёта, равный номеру шага расчёта (месяц, квартал, год), в  котором производится ликвидация объекта (проекта);

a_t = (1+Е)^-t - коэффициент дисконтирования (приведения) на t-м шаге расчёта при постоянной норме дисконта, отн. ед.

 

Таким образом, чистый дисконтированный доход представляет разницу между  суммой элементов денежного потока по операционной деятельности (эффектов) и приведённой к тому же моменту времени величиной капитальных вложений денежного потока по инвестиционной деятельности и является основным критерием при оценке эффективности инвестиционного проекта.

Если ЧДД инвестиционного  проекта положителен, то проект является эффективным и может рассматриваться вопрос о его реализации. При этом чем выше уровень ЧДД, тем эффективнее проект.

Второй показатель — индекс доходности — определяется отношением суммы приведённых эффектов к величине дисконтированных капитальных вложений:

 

Из формул расчёта  ЧДД и ИД вытекает следующее:  
• если ЧДД положителен, то ИД > 1 и проект эффективен;  
• если ЧДД отрицателен, то ИД < 1 и проект представляется неэффективным;  
• если ЧДД = 0, то ИД = 1 и вопрос об эффективности проекта остаётся открытым.  

Третий показатель - срок окупаемости инвестиций — определяется временным интервалом (от начала осуществления проекта), за пределами которого интегральный эффект становится положительным. Иными словами, это период (месяцы, годы), в течение которого первоначальные капиталовложения по инвестиционному проекту покрываются суммарным эффектом от его осуществления.

 

Проект А 

Год	0	1	2	3	4
Чистый денежный поток (ЧДП)	-300 000,00	94 000,00	111 000,00	136 000,00	159 000,00
Дисконтированный ЧДП	-300 000,00	81 739,13	83 931,95	89 422,21	90 908,77
Накопленный дисконтированный ЧДП	-300 000,00	-218 260,87	-134 328,92	-44 906,71	46 002,05

 

 

 ЧДД>0

Положительное значение ЧДД свидетельствует об эффективности инвестиционного проекта.

 

 ИД>1

Следовательно, проект А эффективен.

В третьей строке таблицы помещены дисконтированные значения денежных доходов  предприятия в следствии реализации инвестиционного проекта. В данном случае уместно рассмотреть следующую интерпретацию дисконтирования: приведение денежной суммы к настоящему моменту времени соответствует выделению из этой суммы той ее части, которая соответствует доходу инвестора, который предоставляется ему за то, что он предоставил свой капитал. Таким образом, оставшаяся часть денежного потока призвана покрыть исходный объем инвестиции. В четвертой строке таблицы содержатся значения непокрытой части исходной инвестиции. С течением времени величина непокрытой части уменьшается. Так, к концу третьего года непокрытыми остаются только 44 906,71 тыс.руб., и поскольку дисконтированное значение денежного потока в четвертом году составляет 90 908,77 тыс.руб., становится ясным, что период покрытия инвестиции составляет три полных года и какую-то часть года. Более конкретно для проекта срок окупаемости равен:

 

Аналогично для проектов Б и В расчетные таблицы имеют следующий вид.

Проект Б 

Год	0	1	2	3	4
Чистый денежный поток (ЧДП)	-300 000,00	158 000,00	137 000,00	109 000,00	86 000,00
Дисконтированный ЧДП	-300 000,00	137 391,30	103 591,68	71 669,27	49 170,78
Накопленный дисконтированный ЧДП	-300 000,00	-162 608,70	-59 017,01	12 652,26	61 823,04

 

 

 ЧДД>0

Положительное значение ЧДД свидетельствует  об эффективности инвестиционного  проекта.

 

 ИД>1

Следовательно, проект Б эффективен.

 

Проект В 

Год	0	1	2	3	4
Чистый денежный поток (ЧДП)	-300 000,00	134 800,00	135 200,00	144 900,00	135 100,00
Дисконтированный ЧДП	-300 000,00	117 217,39	102 230,62	95 274,10	77 243,86
Накопленный дисконтированный ЧДП	-300 000,00	-182 782,61	-80 551,98	14 722,12	91 965,98

 

 

 ЧДД>0

Положительное значение ЧДД  свидетельствует об эффективности  инвестиционного проекта.

 

 ИД>1

Следовательно, проект В эффективен.

 

 

На основе результатов расчетов делается вывод о том, что все три проекта являются эффективными. Однако, проект В эффективнее, так как значение ЧДД у него выше остальных. А проект Б имеет меньший дисконтированный период окупаемости.

 

Задача 4

 

Сумма, которую получит инвестор при погашении сертификата, определяется по формуле 
 
N+D = 105000 * [1+ 0,37 *(120-45)/365] = 112983 руб 

Следовательно, доход держателя  сертификата за период владения (270 дней = 365-75) составит: 
 
D(270) = 112983-112000 = 983 руб. 
 
Для определения доходности используем соотношение: 
 
R = 983/112000*(365/270) = 0,0118 или 1,18% годовых.