Гарри Марковиц: исследования риска распределения инвестиций

 
 

E(r) = P1r1 + P2r2 + … + Pnrn = S Piri .

 
 

Применив эту формулу для предложенного случая, мы обнаружим, что ожидаемая ставка доходности акций компании "Мир" равна:

 
 

E(r) = 0,2*30% + 0,6*10% + 0,2*(-10%) = 10%.

 
 

      Чем больше стандартное отклонение доходности, тем выше показатель изменчивости цен на акции. Стандартное отклонение доходности для безрисковых инвестиций, которые дадут 10% доходности, равно 0.

 

      Результаты исследований, полученные Г. Марковицем, сразу позволили перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на точный математический язык. Именно он первым привлек внимание к общепринятой практике диверсификации портфеля и точно показал, как инвесторы могут уменьшить стандартное отклонение его доходности, выбирая акции, цены на которые изменяются по-разному. С математической точки зрения, полученная оптимизационная стратегия относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях. До сих пор, вместе с задачами линейного программирования, это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое количество достаточно эффективных алгоритмов.

 

      Г. Марковиц на этом не остановился - он продолжил разработку основных принципов формирования портфеля. Эти принципы послужили основой для многих работ, описывающих связь между риском и доходностью. Однако его работы не привлекли особого внимания экономистов - теоретиков и практиков. Для 50-х годов ХХ в. само по себе применение теории вероятности к финансовой теории было достаточно необычным делом. К тому же неразвитость вычислительной техники, а также сложность предложенных Г. Марковицем алгоритмов, процедур и формул не позволили осуществить фактическую реализацию его идей. Не случайно заслуги ученого были оценены значительно позже, чем опубликованы его работы, а Нобелевская премия ему присуждена только в 1990 г.

 

      Влияние портфельной теории Г. Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х - в начале 60-х годов ХХ в. работ Дж. Тобина по аналогичным проблемам. Здесь следует отметить некоторые различия между подходами Г. Марковица и Дж. Тобина. Первый из этих подходов лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, который формирует оптимальный, с его точки зрения, портфель на базе собственной оценки доходности и риска выбранных активов. К тому же первоначально эта модель касалась в основном портфеля акций, то есть рисковых активов. Дж. Тобин тоже предложил включить в анализ безрисковые активы (например, государственные облигации). По сути, его подход является макроэкономическим, поскольку в данном случае главным объектом изучения является распределение совокупного капитала в экономике на две формы: наличную (денежную) и неналичную (в виде ценных бумаг). В работах Г. Марковица акцент делался не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их последствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В подходе Дж. Тобина основной темой становится анализ факторов, вынуждающих инвесторов формировать портфель активов, а не держать капитал в какой-то одной (например, наличной) форме. Кроме того, Дж. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфеля, которые являются исходными данными в теории Г. Марковица. Возможно, поэтому Дж. Тобин получил Нобелевскую премию на 9 лет раньше, чем Г. Марковиц.

 

      Большинство инвесторов и аналитиков всегда могут обосновать, чем их портфель лучше всех остальных. Гарри Марковиц не был ни управляющим, ни аналитиком, зато предложенный им метод составления инвестиционных портфелей получил самую известную из возможных премий. Нобелевскую.

 
 
 

      Сейчас идеи Марковица, кажутся очевидными каждому. Но в 50-х, когда теория Марковица только создавалась, это выглядело как некоторая абстракция. Профессор экономики Чикагского Университета предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг. Его предпосылки были просты -- инвесторы хотят доходность побольше, а риска поменьше и он предложил математическую модель позволяющие сравнивать инвест-портфели, и выбирать среди них в большей степени удовлетворяющий этим противоречивым требованиям.

 
 
 

      К слову сказать, Гарри Марковиц был один из первых, кто попытался оценить степень инвестиционного риска при формировании портфеля. Теорией заинтересовались такие же теоретики и ученые мужи, но скоро теорию Марковица стало возможно опробовать и на практике. В 70-х ЭВМ (так тогда называли компьютеры) уже стали требовать помещений чуть поменьше волейбольного зала и полным ходом начали применятся для решения бизнес задач. К тому времени Марковиц уже давно оставил свой родной Чикагский Университет, поработал в легендарной РЭНД корпорейшн, не оставляя профессуры (теперь уже в Пенсильванском университете) потрудился консультантом и президентом финансовой «Arbitrage Management Company» и перебрался в IBM. Надо полагать, что благодаря Марковицу, голубой гигант и законодатель компьютерной моды 70-х смог обеспечить ни одно отделение банка своими IBM/360, а так же разработать и насадить в них программное решение минимизации риска при определенной норме доходности. Пока фонды и инвест-банки вдоль и поперек оптимизировали портфели целесообразность диверсификации ценных бумаг законодательно зафиксировали в Конгрессе США. Теория Марковица и ряда других экономистов стала де факто рабочим инструментом пенсионных фондов, управляющих компаний и других институциональных инвесторов.

 
 
 

Коверсификация через дивериацию... ой! диверсификация через ковариацию

 

      Так что же придумал профессор? Во-первых, несмотря на то, что доходность будущего – величина случайная, можно узнать математическое ожидание доходности по каждой из ценных бумаг. Самой собой, у каждой бумаги это величина отличается от другой и доходность портфеля составленного из таких бумаг тоже величина случайна со своим собственным мат-ожиданием. Во-вторых, меня доли бумаг в портфеле будет меняться не прогнозируемая доходность, но и риск всего портфеля. Если согласится с тем, что имеющиеся распоряжение управляющего исторические данные позволяют оценить значения этих величин в будущем (если не соглашаться, то все вообще теряет смысл), то риск портфеля тем выше, чем согласованнее движутся котировки разных бумаг в его составе и наоборот. Что бы сделать портфель наименее рискованным нужно так подобрать доли активов в его составе, что бы их взаимосвязанность была минимальной. Для портфеля из двух бумаг это означает, что с ростом одной бумаги, вторая должна меть тенденцию падать и наоборот. На языке статистики это называется отрицательной ковариацией. А на языке инвесторов реальной диверсификацией (в отличие от ложной, когда, несмотря на множество бумаг в портфеле, диверсификации не наблюдается) и достигается только в том случае, если портфель составлен из ценных бумаг, которые ведут себя несхожим образом.

 
 
 

Ну и что, скажет читатель. Если в наименее рискованном портфеле одни акции растут против падения других, то Марковиц всего-навсего еще раз доказал, что чем меньше риск, тем меньше и доходность... но... и тут появляется, в-третьих. Если построить график соотношения риск/доходность то полученная кривая не будет линейной. Кроме того она будет определять точки, а значит и возможные составы портфеля с оптимальным соотношением доходности и цены.

 

Согласно трактовке Марковица, если имеется некий портфель «А», то он является неэффективным, так как портфель «В» мог бы обеспечить тот же самый уровень ожидаемой доходности с меньшей степенью риска, а портфель «С» при той же степени риска мог бы обеспечить более высокую ожидаемую доходность. Портфели, которые лежат в средней части кривой, обычно содержат много ценных бумаг, в то время как ближе к краям всего несколько или одну. Так в портфеле «F» все средства вложены в ценные бумаги одного вида, но с максимальной ожидаемой доходностью. Портфель «Е» соответствует сочетанию активов с наименьшую степень риска. Таким образом все эффективные портфели лежат на кривой «EF», которая получила название «эффективной границей Марковица». Остается только выбрать его. Сделать это можно или отталкиваясь от доходности, или от риска. Еще больше простора появляется, если рассматривать множество портфелей состоящих из различных бумаг.

 
 
 

Сок Марковица

 

Для расчета «эффективной границы Марковица» осуществляется с помощью довольно сложных механизмов квадратичного программирования. Для их вычисления инвест-банки и закупали самые совершенные образцы полупроводниковых вычислителей. К слову сказать, производительность самых передовых компьютеров 70-х не многим превосходила PC 286 середины 80-х, и в несколько тысяч раз уступала мощности средненького современного ноутбука. Так что сейчас рассчитать оптимальное соотношение бумаг в портфеле можно не в пример дешевле. Достаточно более глубоко погрузится в методику и математические методы. Для ленивых в интернете появился калькулятор рассчитывающий кривую Марковица. Он представлен на сайте «Тройка Диалог» по адресу https://it.troika.ru/instruments/markowitz/. К сожалению редакции D’ не удалось выяснить как на сайте производится расчет прогнозируемой доходности.

 
 
 

Для примера мы составили портфель бумаг на букву Р: Ростелеком (ао), Распадская (ао), Роснефть и Разгуляй.

 
 

Портфель из таких бумаг имеет минимальную доходность и риск в случае если доли Распадской, Роснефти и Ростелекома составят по 27% и 17% на бумаги Разгуляя. Максимальная доходность и риск будут в случае если в портфеле останется только Распадская. Пропорции для сбалансированного, на взгляд D’, портфеля можно посмотреть на

 
 

В каждой избушке свои игрушки

 

Сейчас в чистом виде модель Гарри Марковица используется на первом этапе формирования портфеля. Для того чтобы найти действительно рассогласованные типы активов, их нужно искать в разных классах: акциях, облигациях, недвижимости, валютами и т. д. Марковиц при расчетах опирался на предположении о нормальном распределении риска. На практике же распределение подчас имеют несимметричность, которая наиболее ярко выражена у производных инструментах.

 
 
 

Кроме того, применение, методики Марковица частными российскими инвесторами осложняется еще из-за ограниченной доступности некоторых классов активов. Да ликвидность по некоторым (например, по облигациям) оставляет желать лучшего. Но не так все плохо. Например, в управляющие компании ФИНАМ для одного из своих фондов используют инвестиционную стратегию "ФИНАМ Кватро"  очень близкую по идеологии к теории Марковица. В ней для построения портфеля учитывается корреляция (коэффициент взаимосвязи) между такими активами как фьючерсы на нефть, золото, индекс РТС и доллар США.

 
 
 

В Тройке же Диалог считают, что раз в рамках своей теории Марковиц рассматривал исключительно портфели акций, т.е. состоящие из активов одного типа, то почему бы не попробовать теорию в чистом виде? Действительно найти бумаги движение  котировок которых мало связано можно. Например, как в нашем примере портфеля акций на букву «Р». Впрочем, можно найти пары совсем рассогласованных эмитентов. «Так, одно время бумаги Газпром и Новатек двигались в противофазе... аналогичная картина была и с Лукойл и Роснефть -- заявляет Александр Головцов, руководитель управления аналитических исследований УК УРАЛСИБ. Но к сожалению такая отрицательная связь не может длится долго. Горизонт такой «согласованности» измеряется двумя-тремя годами, уверяет Александр.

 
 
 

Собирать портфели, отталкиваясь только от данных калькулятора действительно не верно. Это скорее инструмент проверки или предварительной оценки. Составляя долговременный портфель нужно учесть гораздо больше параметров: фундаментальный анализ, возможный upside, рекомендации аналитиков и новостной фон тут зачастую играют большую роль, чем рекомендации теории Марковица. Но это не значит, что труды нобелевского лауреата можно списать в утиль. Как отдельный фрагмент формирования портфеля методика может оказаться хорошим подспорьем.