Система аксиом Вейля и независимость аксиомы D2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

“Бирская государственная социально-педагогическая академия”

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему 

«Система аксиом Вейля и независимость аксиомы D2.»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 3 курса

очного отделения

физико-математического

факультета Байгазов А. П.

Научный руководитель: доцент,кандидат  ф.-м. н.

Беляев П. Л.

 

 

 

 

Бирск-2012

Содержание

 

 

Основные понятия аксиоматики Вейля …………………………...…………….3

Система аксиом Вейля……………………………………………………………4

Аксиомы линейного векторного пространства …………….…………………..4

Аксиомы размерности…………………………………………………………….4

Аксиомы скалярного произведения ……………………………………………..5

Аксиомы принадлежности ……………………………………………………….5

Аксиоматики пространств………………………………………………………..6

Независимость аксиомы D2………………………………………………………7

Список литературы………………………………………………………………..9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные понятия аксиоматики Вейля.

В системе аксиом Вейля основными объектами считаются векторы и точки; а основные отношения таковы:

а) Сумма двух векторов. Если даны векторы и , то однозначно определяется вектор, который называется их суммой и обозначается так:

.

б) Произведение вектора на число. Если даны вектор и произвольное действительное число , то однозначно определяется вектор, который называется произведением числа на вектор и обозначается через или .

в) Скалярное произведение, установленное ненулевым вектором. Если зафиксировать некоторый произвольно выбранный ненулевой вектор , то для любых векторов и однозначно определяется число, которое называется их скалярным произведением, установленным вектором   (обозначается через ). Вектор будем называть вектором  измерения.

г) Принадлежность упорядоченной пары точек и вектора. Если даны две произвольные точки А и В (различные или совпадающие), то всегда однозначно определяется вектор, принадлежащий этой паре точек, который обозначается  через .

Существенно подчеркнуть, что для нас конкретная природа  основных понятий совершенно безразлична; важно лишь, чтобы основные понятия удовлетворяли аксиомам, перечисленным ниже.

 

 

 

 

 

 

Система аксиом Вейля.

Перечисленные выше основные понятия вместе с действительными числами удовлетворяют сформулированным ниже аксиомам. В этих аксиомах приняты следующие обозначения: , , , — действительные числа; , , , , —  векторы; А, В, С — точки. Соотношение х = у означает, что через х и у обозначен один и тот же объект.

1°. Аксиомы линейного векторного пространства.

V1. , : ; коммутативность сложения векторов.

V2. , , ; ; ассоциативность сложения векторов.

V 3. Существует такой вектор (нуль-вектор), что для любого

имеем: ; существование нулевого вектора.

V 4. : ; существование противоположного вектора.

V 5. : ; существование скаляра, равного 1.

V 6. , , : ; ассоциативность умножения скаляров.

V7. , , : ; дистрибутивность умножения скаляра относительно сложения векторов.

V8. , , : . Дистрибутивность сложения скаляров относительно умножения вектора на скаляры.

2°. Аксиомы размерности.

D1. Существует хотя бы одна тройка векторов , , такая, что из соотношения   следует

.

D2. Для любых четырех векторов , , и существуют числа , , , такие, что и .

 

 

3°. Аксиомы скалярного произведения.

El. Если — некоторый произвольно выбранный ненулевой вектор, то , : .

E2. Если — некоторый произвольно выбранный ненулевой вектор, то , , : .

EЗ. Если — некоторый произвольно выбранный ненулевой вектор, то , , : .

E4. Если и — произвольно выбранные ненулевые векторы, то .

E5. Если и — произвольно выбранные ненулевые векторы, то для любого вектора имеем: .

4°. Аксиомы принадлежности.

T1. Существует по крайней мере одна точка.

T2. Для произвольной точки A0 и произвольного вектора существует одна и только одна точка такая, что .

TЗ. , , : .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы видим, что аксиомы Вейля разбиты на четыре группы. Сочетая те или иные группы аксиом, мы получаем аксиоматики различных пространств. Для дальнейшего изложения нам необходимо определить следующие пространства:

а) Линейное векторное пространство V.

Основными объектами являются векторы, основными соотношениями — сумма векторов и умножение вектора на числа, а аксиомами — предложения V1— V8 (система аксиом V).

б) Линейное векторное трехмерное пространство V3. Основные объекты те же, что и для пространства V, а аксиомами являются предложения V1— V8, Dl, D2 (система аксиом V3).

в) Трехмерное векторное евклидово пространство E3. Основными объектами являются векторы, а основными соотношениями — сумма векторов, умножение вектора на число и скалярное произведение двух векторов. Аксиомами этого пространства являются предложения V1— V8, Dl, D2, El — E5 (система аксиом E3).

г) Точечно-векторное трехмерное аффинное пространство TV3. Основными понятиями являются векторы, точки и все соотношения, перечисленные в п.1. Аксиомами этого пространства являются предложения V1— V8, Dl, D2, Т1—Т3 (система аксиом TV3).

д) Точечно-векторное трехмерное евклидово пространство TE3. Основными понятиями геометрии являются все понятия, перечисленные в п. 1, а аксиомами — все предложения V1— V8, Dl, D2, El — E5, Т1—Т3 (система аксиом TE3).

 

 

 

 

Независимость аксиомы D2.

Докажем, что аксиома D2 не зависит от остальных аксиом системы E3. Для этого достаточно построить интерпретацию аксиоматики                                                                                     

                                                                 (1)                             

Для того чтобы доказать непротиворечивость системы (1), можно воспользоваться интерпретацией системы аксиом V4:

                                                                                          (2)

Покажем, что аксиоматика (2) непротиворечива, если непротиворечива арифметика чисел. Основными объектами этой аксиоматики являются «векторы» и основными соотношениями – «сумма векторов» и «умножение вектора на число». Вектором назовем любую матрицу-столбец, состоящую из четырех действительных чисел; сумму векторов и умножение вектора на число введем в точном соответствии с понятием сложения матриц и умножения вектора на число:

;    .

         Проверка аксиом системы (2) почти  тривиальна, если заменить, что роль  нуль-вектора (аксиома V3) выполняет матрица-стобец, состоящая из нулей, а роль четырех линейно независимых векторов (аксиома D1) выполняют следующие четыре вектора:

,     ,     ,     .

  К введенным  соглашениям  добавим следующее: скалярным произведением  двух векторов    и  , установленным ненулевым вектором , назовем число . При этих соглашениях, очевидно, будут выполнены все аксиомы системы E4, а следовательно, все аксиомы системы (1). Таким образом мы доказали что система аксиом (1) непротиворечива. Следовательно, из нее невозможно вывести аксиому  
D2, а это значит, что аксиома D2 не зависит от остальных аксиом Вейля.       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

 

1. Атанасян Л. С. и Гуревич Г. Б, А92 Геометрия. Ч. II. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., «Просвещение». 1976.

447 с. с ил.