Свойства окружностей

Свойства окружностей

1. Прямая может не пересекаться  с окружностью ; иметь одну общую точку с окружностью - касательная; пересекать окружность в двух точках - секущая. 
2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. 
3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

 
Теорема о касательной  и секущей

Если из точки, лежащей  вне окружности, проведены касательная  и секущая, то квадрат длины касательной  равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

 
Теорема о секущих 
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной  к окружности, а их общая точка  называется точкой касания прямой и  окружности.  

 
Свойства касательной

1. Радиус, опущенный в  точку касания перпендикулярен  касательной к окружности.

 
2. Если провести из одной точки  отрезки касательных к окружности, то они будут равны и составят  равные углы с прямой, которая  проходит через эту точку и  центр окружности.

 
Хорда

Отрезок, который соединяет  две точки, лежащие на окружности, называется ее хордой. Хорда, которая  проходит через центр окружности, называется диаметром.

 
Свойства хорд

1. Диаметр/радиус, перпендикулярный  к хорде, делит эту хорду  и обе её дуги пополам. И  наоборот: если диаметр/радиус делит  пополам хорду, то он перпендикулярен  этой хорде. 
 
2. Противоположные дуги, отделенные параллельными хордами, равны. 
 
3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведения отделенных ими отрезков равны: AM•MB = CM•MD.

Вписанные и описанные  окружности

Окружность и  треугольники

• Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения  биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле: 
 
r = S/P, 
где S — площадь треугольника, а полупериметр Р: 
P=(a+b+c)/2

• центр описанной окружности лежит в точке пересечения  серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле: 
 
R =0.5*(a/sin α), 
R =(abc)/(4S); 
здесь a, b, c — стороны треугольника, α — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника; 
• центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы; 
• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают тогда и только тогда, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и  четырехугольники

• около выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его внутренних противоположных  углов равна 180°: 
 
α +γ =β +φ = 180°; 
• в четырехугольник можно вписать окружность только в том случае, когда у него равны суммы противоположных сторон: 
 
a + c = b + d; 
• около параллелограмма можно описать окружность лишь в том случае, когда он является прямоугольником; 
• около трапеции можно описать окружность только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром, опущенным на боковую сторону; 
• в параллелограмм можно вписать окружность только, если он является ромбом.