Золотое сечение

 

Реферат              на тему : «Золотое сечение»                                                                                                Образовательная область: математика                                          Предмет: геометрия                         Выполнила: ученица 8 класса МОУ гимназия №9                                                                         Вьюшина Вероника                                                  Преподаватель: Зайкова Татьяна Константиновна                                                                                                                                                                   Екатеринбург                                      2002

 

 

 

                                  Содержание.

 

 

Содержание  ……………………………………………………… Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ……………………………………………………………….. История золотого сечения ………………………………… Построение пропорции ……………..………………… Второе золотое сечение…………………………………… "Золотые" фигуры………………………………………….. Числа Фибоначчи…………………………………………… Золотое сечение в искусстве……………………………… Заключение. Практическое применение……………….. Литература………………………………………………………..

2   3-4 5-7 8 9 10-12 13-15 16-17 18 19 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         1.Введение. Пропорция золотого

        сечения. Ф и φ.

                                        "Геометрия обладает двумя великими

                                       сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

                                       второе - деления отрезка в крайнем и среднем

                                                                                                  отношении"

                                                                   Иоганн Кеплер 

 

Правильные  многоугольники привлекали внимание древнегреческих  учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

 Интерес Дюрера к  построению правильных многоугольников  отражает использование их в  Средние века в арабских и  готических орнаментах, а после  изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей. 

 Средневековые способы  построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам.  Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.

 Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

 Записанное в виде  равенства отношений золотое  сечение имеет вид 

                                                АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение

                  Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

                  Ф²- Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

                  Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

 

Такое обозначение принято  в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                2.История золотого сечения

 

Принято считать, что понятие о золотом делении  ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий  философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор  свое знание золотого деления позаимствовал  у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

 Греки же были искусными  геометрами. Даже арифметике обучали  своих детей при помощи геометрических  фигур. Квадрат Пифагора и диагональ  этого квадрата были основанием  для построения динамических

 

 

прямоугольников.

 

    Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в

 частности, вопросам  золотого деления.

 Парфенон  имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого  деления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дошедшей до нас  античной литературе золотое деление  впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

 

 В эпоху  Возрождения усиливается интерес  к золотому делению среди ученых  и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.  Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

 

 Леонардо  да Винчи также много внимания  уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

 

 В то же  время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился  Альбрехт Дюрер. Он делает наброски  введения к первому варианту  трактата о пропорциях. Дюрер  пишет: "Необходимо, чтобы тот,  кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

 

 Судя по  одному из писем Дюрера, он  встречался с Лукой Пачоли  во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает  теорию пропорций человеческого  тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

 

 Построение  ряда отрезков золотой пропорции  можно производить как в сторону  увеличения (возрастающий ряд), так  и в сторону уменьшения (нисходящий  ряд).

 

 Если на прямой произвольной  длины, отложить отрезок m(φ), рядом  откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

 

 

 

 

В последующие века правило  золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда  со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

 

                 

 

 

 

 

 

               3. Построение пропорции.

Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

 

 

 

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Именно эти  отрезки использовал Евклид при  построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.