Геометрия Лобачевского и её приложения

Решение:

Рисунок 13 – Иллюстрация к задаче 5

 

Обозначим через a, b и с длины дуг ВС, АС и АВ соответственно, y — внутренний угол при вершине В сферического треугольника АВС. Тогда

,

,

где R — радиус земного шара, выраженный в морских милях.

По теореме косинусов для сферического треугольника:

 

Далее находим, что:

радиан.

Следовательно, длина дуги АС = b равна b = R*0.90662 = 3437.4*0.90662 3116.7 миль.

Ответ: расстояние между пунктом А и пунктом С составляет 3117 морских миль 5772 км. 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, на основе проведенной работы можно сделать вывод о том, что проблемы неевклидовой геометрии рассматривались такими учеными, как Ф. Бойаи, Ф. Гаусс и многими другими. Основы неевклидовой геометрии были заложены в трудах Н. И. Лобачевского, Г. Римана, и получили свое развитие во многих других геометриях (псевдоевклидова и сферическая геометрия).

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой.

Геометрия Лобачевского представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, в физике, так и в экономике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность существования геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики.

Источником геометрии Лобачевского послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.

Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрия; возникает понятие о разного рода «пространствах

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

 

Список использованных источников

 

 

1 Александров, П.С. Энциклопедия элементарной математики: в 5 т. / П.С. Александров. – М., 1966. – 5 т. – 625 с.

2 Прасолов, В.В. Геометрия Лобачевского / В.В. Прасолов, В.О. Бугаенко. – 3-е изд. – М., 2004. – 88 с.

3 Клейн, Ф. Неевклидовая геометрия / Ф. Клейн. – М., 1935. – 355 с.

4 Иовлев, Н.Н. Введение в элементарную  геометрию и тригонометрию Лобачевского / Н.Н. Иовлев. – М., 1930. – 67 с.

5 Александров, П.С. Что такое неевклидова  геометрия / П.С. Александров. – М., 1950. – 74 с.

6 Погорелов, А.В. Основание геометрии: учеб.-метод. пособие для студентов  математич. спец. / А.В. Погорелов. – 3-е  изд. – М., 1968. – 208 с.

7 Лаптев, Б.Л. Лобачевский и его  геометрия / Б.Л. Лаптев. – М., 1976. – 112 с.

8 Гангус, Р.В. Геометрия: метод. пособие / Р.В. Гангус, Ю.Ю. Гурвиц. – М., 1934. -320 с.

9 Сморгожевский, А.С. О геометрии  Лобачевского: гос. изд-во техн.-теоретич. лит-ры / А.С. Сморгожевский. – выпуск 23 – М., 1957. – 66 с.

10 Атапасян, Л.С. Геометрия Лобачевкого / Л.С. Атапасян. – М., 2004. – 136 с.

11 Геометрические преобразования / И.М. Яглом; под ред. Э.П. Тихонова. –  М., 1956.

12 Каган, В.Ф. Об основаниях геометрии / В.Ф. Каган, И.С. Дубкова. – ч. 1 - М., 1949. – 492 с.

13 Широков, П.А. Краткий очерк основ  геометрии Лобачевского / П.А. Широков. – М., 1983. – 80 с.

14 Андриевская, М.Г. Аналитическая  геометрия в пространстве Лобачевского / М.Г. Андриевская. – Киев, 1963. – 112 с.

15 Каган, В.Ф. Лобачевский и его  геометрия / В.Ф. Каган. – М., 1935. – 301 с.

16 Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд, И.М. Яглом. – М., 1975. – 744 с.

17 Вернер, А.Л. Геометрия: учеб. пособие для физико-математич. факультетов педагогич. институтов / А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. – СПб: «Специальная литература», 1997.

18 Тимошенко, Т.А. Неевклидова геометрия  Лобачевского и её роль в  развитии науки / Т.А. Тимошенко – Хабаровск, 1996.

19 Богомолов, С. А. Введение в неевклидову геометрию Римана / С. А. Богомолов. –¬ М.-Л.: Государственное технико-теоретическое издательство,1934. –¬ 225 с.