Гидравлика. Введение. Свойства жидкостей. Силы

С растворимостью газов в  жидкостях связано явление кавитации. Кавитацией называют образование в движущейся жидкости полостей (каверн), заполненных паром или газом. При этом происходит разрыв сплошности течения жидкости.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

34

 

Причиной возникновения этого  явления обычно бывает понижение  давления в какой-то точке обтекаемого  тела, или в сужающемся канале, либо при подъеме жидкости  на некоторую высоту.

Поскольку в реальных жидкостях  обычно содержится некоторое  количество растворенных газов, то в области пониженного давления  начинается их выделение с  образованием пузырьков, в которые  происходит испарение жидкости. Увеличение объемов таких пузырьков  приводит к появлению полостей, заполненных паром и газом, называемых  кавернами.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

35

 

Такие паро-газовые полости неустойчивы, и при попадании в область  повышенного давления «схлопываются»  из-за конденсации пара и растворения  газа.

Процесс этот происходит настолько  интенсивно, что сопровождается  местным мгновенным импульсным  повышением давления, напоминающим  гидравлический удар.

Поверхности твердых тел, находящихся  в этой области, в результате  такого воздействия разрушаются: происходит интенсивная эрозия  и коррозия материала.

 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

36

 

В движущейся жидкости связь  между скоростями точек имеет  сложный вид.

Это связано с возможностью  перемещения отдельных частиц  относительно им подобных, что  приводит к деформации выделенного  объема жидкости – растяжению, т.е. изменению линейных размеров  вдоль координатных осей, и изменению  угла между гранями, образующими  этот объем.

 

Скоростное поле среды в окрестности точки

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

37

 

Схема деформационного движения

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

38

 

Движение элементарного объема  жидкости раскладывают на движение  его как абсолютно твердого  тела (квазитвердого тела) и деформационное  движение.

 

 

 

Это уравнение является математической  формулировкой первой теоремы  Гельмгольца 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

39

 

Скорость любой точки квазитвердого  тела определяется выражением

 

 

 

где       – вектор скорости точки тела, выбранной в качестве полюса;

 

 

– вектор угловой скорости  вращения рассматриваемой точки  относительно полюса;

r и r_⁰ – радиус-векторы, задающие положение точки и полюса в пространстве.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

40

 

Скорость деформационного движения  представляют в виде

 

 

 

 

 

 

где u, v и w – проекции вектора скорости полюса на оси координат;

– радиус вектор точки относительно  полюса.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

41

 

Матрицу, входящую в качестве  сомножителя в правую часть  уравнения, называют тензором скоростей деформаций

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

42

 

Используя введенные обозначения, скорость деформационного движения  описывается следующим выражением 

 

 

 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

43

 

Величины, стоящие на главной  диагонали матрицы и обозначенные  одноименными индексами, представляют  собой скорости относительных линейных деформаций вдоль соответствующих осей координат.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

44

 

Отрезок, связывающий две точки жидкости, движущиеся вдоль оси x в различные моменты времени  

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

45

 

Абсолютное приращение длины  отрезка за время dt вследствие различных значений скоростей его крайних точек

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

46

 

Скорость удлинения отрезка (скорость  линейной деформации) равна

 

 

 

а скорость увеличения длины  относительно первоначальной (скорость  относительной линейной деформации) определяется выражением 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

47

 

Величины, расположенные выше и  ниже главной диагонали матрицы  тензора скоростей деформации  и обозначенные разноименными  индексами, представляют собой угловые  скорости деформации граней выделенного  объема в различных координатных  плоскостях.

Схема угловой деформации движущейся частицы жидкости

 

а) – поворот отрезка; б) – изменение  угла между гранями

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

49

 

При движении отрезка Dx вдоль оси y (рис. а) вследствие различия скоростей его концов происходит поворот на угол Da_¹

 

 

 

 

 

 

Угловая скорость этого поворота  равна 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

50

 

Угловая скорость поворота отрезка, параллельного в начальный момент  оси y, равна

 

 

 

 

Возможность поворота всех граней  элементарного объема жидкости  приводит к изменению углов  между соседними гранями в  процессе движения 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

51

 

Одно и тоже изменение угла b между гранями может быть достигнуто различными сочетаниями поворотов граней (например, как показано на рис. б, основным и тусклым цветами). Это приводит к неоднозначности в определении истинных значений угловых скоростей поворота граней, дающих одинаковый результат.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

52

 

В гидравлике условно принимают  угловые скорости поворота каждой  из соседних граней одинаковыми, равными среднему арифметическому  значению угловых скоростей обоих  граней 

 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

53

 

Силы, действующие в жидкости

 

Различают два класса сил, действующих  на частицы движущейся или  покоящейся жидкости:

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

54

 

• объемные (массовые) силы действуют на каждую частицу, находящуюся в рассматриваемом объеме.

Примерами таких сил являются  силы тяжести, инерции, электростатические  и т.п.;

• поверхностные силы действуют на элементы поверхности, ограничивающей выделенный объем.

К ним относят силы давления  и трения, обусловленного вязкостью  жидкости.

 

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

55

 

При описании силовых взаимодействий  в жидкостях, в отличие от твердых  тел, имеют дело не с самими  силами, а с их плотностями.

Плотностью объемных сил F в данной точке среды называют предел отношения главного вектора объемных сил R_^W, приложенного к точке, расположенной внутри малого объема   , к массе этого объема, при условии, что объем стремится к нулю, т.е.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

56

 

В системе Си плотность объемных  сил F имеет размерность м/с².

В случае действия на жидкость  силы тяжести, плотность объемных  сил тяжести равна ускорению  свободного падения    ; при равномерном вращении жидкости с угловой скоростью , плотность распределения центробежных сил равна центробежному ускорению     .

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

57

 

Плотности объемных сил изменяются  в пространстве и времени 

 

 

 

В проекциях на оси координат  вектор плотности объемных сил  представляют в следующем виде

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

58

 

Поверхностные силы, главный вектор  которых равен   , задаются вектором напряжений   , приложенным к площадке DS_ⁿ.

Ориентация этой площадки в  пространстве определяется единичным  вектором      , перпендикулярным  к ней.

Вектор напряжений равен пределу  отношения главного вектора поверхностных  сил к площади DS_ⁿ, на которую он действует, при условии, что величина этой площади стремится к нулю

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

59

 

Индекс у вектора напряжения    указывает на конкретную площадку, заданную нормалью     , в пределах которой действуют рассматриваемые напряжения.

Поскольку через заданную точку  пространства можно провести  бесчисленное множество площадок, то вектор напряжений в каждой  точке пространства принимает  бесчисленное множество значений  в зависимости от ориентации  площадки, к которой приложено  напряжение, и векторного поля  не образует.

Направление вектора   по отношению к площадке DS_ⁿ может быть произвольным.

Выделим в движущейся жидкости  элементарный объем  в виде  тетраэдра, грани которого DS_^x, DS_^y и DS_^z лежат в координатных плоскостях,

а стороны Dx, Dy, Dz, совпадающие с осями координат, представляют собой малые величины первого порядка (0¹).

Грань DS_ⁿ перпендикулярна орту .

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

61

 

На жидкость, находящуюся в выделенном  объеме, действуют массовые силы, заданные вектором плотности F, и поверхностные силы, определяемые напряжениями     , которые действуют на гранях тетраэдра, перпендикулярных осям x, y, z и нормали , соответственно.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

62

 

Если к этим силам добавить  силу инерции   , то в соответствии с принципом Даламбера получим

 

 

 

где    – вектор ускорения.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

63

 

В данном уравнении массовые  силы являются малыми величинами  третьего порядка. Они в качестве  сомножителя имеют произведение  трех сколь угодно малых величин               

Поверхностные силы представляют  собой малые величины второго  порядка. У них сомножителем выступают  величины типа

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

64

 

Пренебрегая массовыми силами, а также учитывая, что

 

 

 

 

 

получим

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

65

 

Из этого уравнения следует, что напряжение на любой площадке DS_ⁿ можно выразить через напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, которые могут лежать в координатных плоскостях.

Проектируя векторное уравнение  на оси координат получим

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

66

 

Для обозначения проекции вектора  напряжения используют два индекса: первый определяет ориентацию  в пространстве площадки, на которую  действует напряжение, направлением  нормали к ней, а второй –  ось, на которую проектируется  вектор.

Например, P_^xy представляет собой проекцию на ось y вектора напряжения , действующего на площадке, перпендикулярной к оси x.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

67

 

Величины      представляют собой нормальные напряжения к площадкам перпендикулярным осям x, y и z соответственно, а проекции, в обозначениях которых присутствуют разноименные индексы, определяют касательные напряжения.

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

68

 

Совокупность девяти величин  типа P_^ij образуют матрицу, получившую название тензора напряжений Р

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

69

 

Напряженное состояние в каждой  точке жидкости описывается тензором  напряжений.

Для определения вектора напряжения, действующего на площадке, проходящей  через рассматриваемую точку, необходимо  знать тензор напряжений Р и ориентацию площадки в пространстве

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

70

 

Полученные уравнения для вектора  напряжения могут быть представлены  в следующей форме

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

71

 

Выводы

1/1/97

 

 

Лекция 1

 

72

 

Источники дополнительных сведений