Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальные уравнения Л.С. Лейбензона)

Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И.А. Чарного, Е. М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации. Математические труд-ности в решении получающегося при этом дифференциального уравнения еще более возрастают.

Отметим, что одним из эффективных путей  решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т. е. сведение его к линейному уравнению Фурье. Как покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики.

 

1.2 Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа по двучленному закону

 

Будем считать  пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесрмметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального движения

 

.          (10)

 

Воспользовавшись  выражением для массовой скорости , получим

линеаризация уравнение фильтрация газ

 

     (11)

 

Подставив выражения (11), (12) и (5) в уравнение  неразрывности (10) и сократив на , получим

 

  (13)

 

где

Если  сделать замену , то дифференциальное уравнение

неустановившейся  фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид

 

   (14)

 

Аналитическое решение уравнения (14) наталкивается  на значительные трудности, однако численное  решение для обычных в подземной  гидромеханике начальных и граничных  условий не представляет затруднений.

§ 2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА И ОСНОВНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ

 

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8) линейным, т.е. линеаризовать  его, то оно упростится – для линейного  уравнения существуют точные аналитические  решения. Ясно, что эти точные решения  линеаризованного уравнения будут  приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были  предложены различные способы линеаризации уравнения (8). Если рассматривается  плоскорадиальный приток к скважине, то из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень  крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (8) на постоянное давление равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (8) уравнение

 

        (15)

 

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² где - константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент и в уравнении (15) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

 

 

где - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем  линеаризованное уравнение {15) для  решения конкретной задачи о притоке  газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную  в пласте бесконечной протяженности  с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р₂. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_ат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r,t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (15) запишется следующим образом

 

         (16)

 

Здесь выражение  представляет собой оператор Лапласа

в полярных координатах относительно квадрата давления для плоско-радиального движения.

Уравнение (16) надо проинтегрировать при начальном  условии

 

 при t=0, .       (17)

 

и при  граничном условии в удаленных  точках

 при t>0, .        (18)

 

Выведем условие для давления на забое  скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

 

 

Использовав равенства

 

 

и сократив на , получим:

 

 

Из этого соотношения выразим  условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

 

 при r=0

 

Решением поставленной задачи для  упругой жидкости является основная формула упругого режима :

 

       (20)

Аналогия  между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (20) давление на р², a – на , -на получим решение поставленной задачи для, газа

 

       (21)

или

       (22)

 

Рис.1. Кривые распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давления в фиксированных точках пласта (б)

 

Это и  есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых  значений аргумента  можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

 

       (23)

 

или

        (24)

 

Подчеркнем, что решения (21)-(24) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

Формулы (22) и (24) определяют (при фиксированных  значениях времени t) распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис. 1.а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r = ) после начала работы скважины (рис.1.б)

 

       (25)

 

 

§ 3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ С ПОСТОЯННЫМ ДЕБИТОМ

 

В § 2 приведено решение задачи о  нестационарном притоке совершенного газа к скважине бесконечно малого радиуса с постоянным дебитом. Решение  получено в результате интегрирования линеаризованного дифференциального  уравнения.

Г. И. Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбеизона при определенных начальных и граничных условиях имеет точное решение. Это имеет важное значение, так как полученное точное решение может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решении.

Как и в § 2, рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом к скважине в бесконечном пласте. В этом случае необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

 

          (26)

 

при тех  же начальных и граничных условиях (17); (18), (19).

Г. И. Баренблаттом показано, что в такой постановке задача автомодельна, т. е. давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные -r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных (26) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей.

Распределение давления в пласте зависит, как следует  из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n = 5): r, t, , , .

Если  обозначить размерность длины через  L, размерность времени Т, размерность давления [р], то размерности этих параметров выразятся следующим образйм

 

[r]=L, [t]-Т, [ ]=[р], [ ]=L²[p]^-1T^-1, [ ]=[p²]

 

Среди этих параметров – три с независимыми размерностями: r, t, (k = 3). Как следует из П-теоремы, искомая функция-давление, приведенное к безразмерному виду F = р/р_к будет зависеть от двух безразмерных комплексов (п - k = 5 — 3 = 2), Легко проверить, что такими безразмерными комплексами являются следующие

 

 и ,

 

Таблица 1
Результаты численного расчета автомодельного решения
0,005787	0.9701	0,003886	0,9842
0,01157	0,9737	0,01555	0,9877
0,01923	0,9763	0.03109	0,9894
0,03472	0,9793	0.06218	0,9912
0,06553	0,9825	0,2487	0,9947
0,09645	0,9845	0,4974	0,9964
0,1582	0,9870	0,9949	0,9980
0,2816	0,9899	1,492	0,9988
0,5285	0,9930	2,487	0,9996
0,7754	0.9948	3.482	0,9999
1,269	0,9970
1,763	0,9982
2,751	0,9994
3,738	0,9999

 

 

Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (26), получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

 

         (27)

 

При этом начальные и граничные условия (17)-(19) сводятся к следующими

 

 при  при .      (28)

 

Уравнение (27) при условиях (28) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены  в табл.1 для значений и . Через в табл.1 обозначено такое значение аргумента , что для значения отличаются от меньше, чем на 0,01%. Значит, для можно считать, что . Проинтегрировав это равенство, получим

 

или

 для .     (29)

 

Поэтому значения для в табл.1 не приведены. Сравнивая значения безразмерного давления приведенные в табл.1, со значениями, подсчитанными по формуле (23). можно найти погрешность, которую дает линеаризация уравнения Лейбензона, и убедиться в том, что она составляет доли процента.

 

 

§ 4. РЕШЕНО ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СМЕНЫ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

 

Этот  метод основан на следующих предпосылках: в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в  которой происходит движение газа к  скважине – движение внутри возмущенной  области стационарно, размер возмущенной  области определяется из условия  материального баланса

Решим этим методом задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Q_ат, но будем считать радиус скважины конечным и равным .

В любой  момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом R(t), внутри которой давление распределено но стационарному закону.

 

,     (30)

 

Вне возмущенной  области давление равно начальному (невозмущенное состояние)

 

           (31)

В возмущенной области можно  написать также выражение для  дебита по формуле для стационарной фильтрации

 

        (32)

 

Заметим, что в рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

Для удобства последующего изложения найдем из формулы (32) отношение

 

 

и подставим  его и формулу для давления в возмущенной области (30). В результате получим

 

,       (33)

 

т.е. распределение  давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта.