Математическое моделирование задач фильтрации при различных начальных и граничных условиях (сравнительный анализ)

     Вместе  с тем, для понимания сложных  пластовых процессов обычно требуется разумное сочетание физического и математического моделирования. Но при этом всегда следует помнить, что модель - это приближенное описание объекта, отражающее не все, а только определенные его свойства, характеристики, что результаты математического (как и любого другого) моделирования нельзя использовать за пределами условий адекватности модели объекту.

     Для описания конкретных физических процессов и получения решений соответствующих задач, необходимо сформулировать постановку задачи, то есть задать условия в начальный момент времени и условия на границах области пласта. В результате имеем дифференциальные уравнения с начальными и граничными условиями, интегрируя которые можно определить распределение давления и скоростей фильтрации по пласту в любой момент времени, т.е. построить функции

     Если  рассматривается несжимаемая жидкость (ρ = const) в недеформируемом пласте (m = const k = const), то число искомых функций ограничивается только этими четырьмя. Для описания фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, кроме упомянутых функций, нужно определить еще плотность флюида ρ . Для более сложных процессов в число неизвестных функций включают вязкость μ , пористость m и проницаемость k. В этом случае необходимо иметь восемь уравнений – дифференциальных и конечных – для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды.

     Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений удается получить лишь в ограниченном числе простейших случаев, например, в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяженности с постоянным дебитом.

     В более сложных случаях система  уравнений решается численными

методами с применением компьютеров. Существуют хорошо разработанные численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. Упомянутые аналитические решения играют очень важную роль: на них опробуются численные методы. Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравнения привести к безразмерному виду, то в качестве коэффициентов будут фигурировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и численные значения, можно судить о том, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены в уравнениях можно отбросить и т.д.

 

2. ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО АНАЛОГА ОБЛАСТИ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Пусть некоторый фильтрационный процесс  описывается дифференциальным уравнением, которое можно представить в обобщенном виде:

Рис. 1.1. Схема одномерной области фильтрации

Рис. 1.2. Схема дискретного аналога непрерывной

Рис. 1.3. Схема полудискретного аналога непрерывной области фильтрации 

где L- дифференциальный оператор; -вектор искомых функций;

f-заданная векторная функция.

     Решения отыскиваются в некоторой заданной области непрерывного

изменения аргументов

D{x,y,z,t} =Dt{x,y,z} x D,{t},

представляющей  собой декартово произведение области изменения пространственных координат D, и области изменения времени Dt.

     В том случае, когда область Dt является одномерной и представляет

собой отрезок  , а область D, является отрезком , область , может быть наглядно изображена прямоугольным

участком  плоскости (рис. 1.1). Если D, является двумерной (или трехмерной), то область D будет представлять собой трехмерный (или четырехмерный) цилиндр с образующими, параллельными оси времени.

     При использовании численных методов  решения ищутся в дискретных точках, совокупность которых будет составлять дискретный аналог области D, который обозначим DR. Можно построить несколько дискретных аналогов непрерывной области. Один из возможных - сеточный-приведен на рис. 1.2. Промежуточное положение занимают полудискретные аналоги, которые получаются, если один из аргументов, например время, оставить изменяющимся непрерывно (рис. 1.3)

 

3. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА

     После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т. е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей.

     Говорят, что разностное решение uh сходится к решению исходной задачи к, если норма разности этих решений в узлах сетки стремится к нулю при стремлении к нулю шагов дискретизации:

     В зависимости от свойств искомых  функций и решаемых задач в качестве норм могут приниматься различные величины (максимум абсолютных величин разностей, средняя квадратическая разность и т.д.).

     Конечно-разностное решение представляет практический интерес только в том случае, если имеет место его сходимость к точному решению. Непосредственная проверка сходимости разностных схем вызывает большие затруднения. В теории разностных схем доказывается, что схема, которая аппроксимирует исходную задачу (погрешность аппроксимации стремится к нулю, если стремится к нулю шаг дискретизации) и устойчива (т.е. малым возмущениям начальных данных и разностного оператора соответствуют малые отклонения решений), является сходящейся. Исследования аппроксимации и устойчивости оказываются относительно более простыми. 
II РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

     Расчетная часть состоит из 4 задач по теме, соответствующей теме курсовой работы (2 задачи на фильтрацию в однородном пласте и 2 задачи на фильтрацию в неоднородном пласте).

     Решение представлено в виде таблиц и графиков, выполненных в пакете MS Excel.

     Данная  часть курсовой работы направлена на закрепление и совершенствование навыков, полученных ранее при выполнении лабораторных и практических заданий.

Задача 1

     Тема: Прямолинейно-параллельная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток к галерее)

     Задача: Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит галереи, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при следующих исходных данных, где L_K - длина пласта; В - ширина пласта; h - толщина пласта; m - пористость; к - проницаемость; Р_К - давление на контуре питания; Р_г - давление на стенке галереи; m - динамическая вязкость жидкости.

     Исходные  данные:

                  Таблица 1

Pk	8700000	Па
Рг	6200000	Па
Lk	6000	м
k	1E-13	м^2
m	0,006	Па*с
B	200	м
h	8	м
m	0,19

 

     Используемые  формулы:

     В ходе решения будут использованы следующие формулы

       (1)

     

     

     Решение:

1. Определим закон распределения давления:

2. Определим градиент давления:

       

3.   Определим скорости фильтрации:

                               

4.   Дебит галереи:

 

5.   Определим закон движения:

,

.

6.   Средневзвешенное пластовое давление по объему пор:

   
 

     Решение представлено в виде таблицы 2 и графиков пакета MS Excel.

                                    Таблица 2

х, м	Рх, Па	t, c	gradP
0	8700000	0	416,6667
250	8595833	6840000000
500	8491667	1,368E+10	v, м/с
750	8387500	2,052E+10	6,94E-09
1000	8283333	2,736E+10
1250	8179167	3,42E+10	Q, м3/с
1500	8075000	4,104E+10	1,11E-05
1750	7970833	4,788E+10
2000	7866667	5,472E+10
2250	7762500	6,156E+10	Pср, Па
2500	7658333	6,84E+10
2750	7554167	7,524E+10
3000	7450000	8,208E+10
3250	7345833	8,892E+10
3500	7241667	9,576E+10
3750	7137500	1,026E+11
4000	7033333	1,0944E+11	7450000
4250	6929167	1,1628E+11
4500	6825000	1,2312E+11
4750	6720833	1,2996E+11
5000	6616667	1,368E+11
5250	6512500	1,4364E+11
5500	6408333	1,5048E+11
5750	6304167	1,5732E+11
6000	6200000	1,6416E+11

 

     Рис. 2.1. График распределения давления по длине пласта

     Рис. 2.2. График распределения градиента давления по длине пласта 

Рис. 2.3. График распределения скорости фильтрации по длине пласта 

Задача 2

     Тема: Плоскорадиальная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток 1 совершенной скважине)

     Задача: определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит скважины, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при следующих исходных данных, где R_K - радиус контура питания; г_с - радиус скважины; h - толщина пласта; m - пористость; к - проницаемость; Р_К - давление на контуре питания; Р_с - давление на забое скважины; ц - динамическая вязкость жидкости.

     Исходные данные:

                 Таблица 3

Рк	8700000	Па
Pc	6200000	Па
Rk	1200	м
rc	0,12	м
m	0,006	Па*с
h	8	м
k	1E-13	м2
m	0,19

 

      Используемые  формулы:

В ходе решения будут использованы следующие  формулы для нахождения градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта, дебита скважины, закона движения частиц жидкости и средневзвешенного по объему порового пространства пластового давления

      Решение:

1. Определим закон распределения давления в пласте: