Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-гордона

Российская  Федерация

Федеральное агентство  по образованию и науке

 

Государственное образовательное  учреждение высшего 

профессионального образования

 

Тамбовский   государственный  университет

имени Г.Р.Державина

 

Институт математики, физики и  информатики

 

Кафедра алгебры  и геометрии

 

 

 

 

 

Дипломная работа

 

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА

 

 

 

 

 

 

 

 

Тамбов- 2006

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

1. Доказательство существования  регулярного решения уравнения 

   синус-Гордона на всей плоскости…………………………………….    3

2. Аналитическое решение уравнения  синус-Гордона и сетевой угол 

    чебышевской сети  на  псевдосфере ………………………………….    5

3. Геометрическая интерпретация  произвольных решений уравнения 

   синус-Гордона …………………………………………………………    10

Литература ……………………………………………………………….    15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Доказательство существования регулярного  решения уравнения

синус-Гордона  на  всей плоскости.

 

 

Рассмотрим следующую  задачу: на  плоскости переменных (x,y)  найти функцию z(x,y),  удовлетворяющую уравнению синус-Гордона

                                             z_xy = sin z                                                              (1)                                     

с  начальными  условиями

                                         z(x,0)=φ(x) С^к ,           (к N,к≥2)

                                        z(0,y)=ψ(y) С^к                                                       (2)

                                                 φ(0)=ψ(0)

Докажем существование  решения задачи (1)-(2). Для этого нужно построить  решение  интегрального уравнения 

                                  ,                              (3) где  x>0, y>0.

Для других значений x и y рассуждения проводятся аналогично.

Рассмотрим  итерационную последовательность:

                                  ,                              (4) где z₀(x,y)≡0,  z₁(x,y)=φ(x)+ψ(y)–φ(0)

При n≥1 имеем

                                                                         (5) 
где x>0, y>0.

Т. к. z₀=0, |sin z₁|≤1, получаем

                                                                                                        (6)     

Проведем далее рассуждения  по индукции.

При n=1 для разности z_n+1–z_n  справедлива оценка (6) 

                                          

Пусть для некоторого n>1 выполняется неравенство

                                                                                     (7)

Покажем, что для разности z_n+1–z_n имеет место аналогичная оценка.  

Заменим в правой части (5)  |z_n –z_n-1|  на , получим, что

                                                                                  (8)

Отсюда: оценка (7) справедлива для любого n>1.

Из неравенства (7) вытекает равномерная сходимость последовательности  z_n(x,y) на всей плоскости.

Функция    z(x,y) = lim z_n(x,y)       является    решением       интегрального

                                 ^n→∞

уравнения (3). Эта функция имеет k непрерывных производных на всей плос-

кости. Из (2) следует, что φ(x),ψ(y) С^к, т.е.эти функции имеют k непрерывных производных; – периодическая функция класса С^∞. Поэтому из равенства (3) следует, что функция z(x,y) является решением задачи (1)-(2).

       Задача (1)-(2) имеет единственное решение, т.к. задача (1)-(2) – это задача Коши, а решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (2), существует и притом единственное.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Аналитическое  решение уравнения синус-Гордона и сетевой угол

чебышевской сети на псевдосфере

 

Для  выяснения геометрических свойств решений уравнения синус-Гордона на всей плоскости рассмотрим конкретный пример ─ псевдосферу. Псевдосфера является одной из простейших поверхностей отрицательной гауссовой кривизны К=const<0. Она получается при вращении трактрисы                                                           

                                       ,    u (0,π),                             (9)                         лежащей в плоскости xOz, вокруг оси Oz.                                      

Параметрические уравнения псевдосферы имеют следующий вид:

                                        ,   u (0,π), v R                      (10)

Т.е.  ее векторное уравнение принимает вид

                                                        (11)

Рис.1 Псевдосфера

   Поскольку v ─ угол поворота плоскости xOy, в которой лежит трактриса, и при вращении этой плоскости вокруг оси Oz этот угол изменяется от -∞ до +∞, то плоскость xOz совершает бесконечно много оборотов и, значит, параметрические уравнения (10) представляют собой параметрические уравнения бесконечной обмотки псевдосферы ─ ее универсальной накрывающей.

Функции, входящие в параметрические уравнения (10), в области задания  параметров u и v  представляют собой аналитические функции. Однако псевдосфера не является регулярной поверхностью. Она имеет особенность ─ ребро возврата, отвечающее значению . Действительно, из формул (10) найдем частные производные функций x, y, z:                              

                                                                  (12)

При  и любом  v получаем, что

                           x_u=0,         y_u=0,           z_u=0,

т.е. . Тем самым _u × _v =0 в точках  линии , т.е. эта линия состоит из особых точек поверхности.            

        Первая и  вторая квадратичные  формы псевдосферы имеют вид

                                      I=ctg² u du²+sin² u dv²                                                                         (13)

 

                                       II= ctg u du² – sin u cos u dv²                                     (14)                                 

 

  Гауссова кривизна псевдосферы равна :

                                                    K= – 1

Асимптотические линии определяются уравнением

                               ,                                       (15)

Отсюда легко получаем

                             ,                                               (16)

Интегрируя эти дифференциальные уравнения, получаем уравнения двух семейств асимптотических линий псевдосферы:

                           1-е семейство: –v = c₁ ,

                           2-е семейство:  +v = c₁,                                       

 

где с₁ и с₂ – произвольные константы.

При     из  соотношений (17) имеем  v=c₁,   v=c₂ , т.е. v может принимать любые значения. Это означает, что точки   одновременно  принадлежат асимптотическим линиям первого и второго семейств.

Обозначим через α угол между асимптотическими линиями разных семейств и найдем его:                     

         (18)

      Отсюда  

                                                      α = 2u.                                                         (19)              

        При   из этой формулы вытекает, что α = π. Значит,  в точках ребра возврата псевдосферы асимптотические линии разных семейств касаются друг друга и ребра возврата.

Итак, мы получили следующий результат: псевдосфера ─ поверхность с особенностью (ребро возврата). Она покрыта двумя семействами асимптотических линий. Так как псевдосфера не является в целом регулярной поверхностью, то эти асимптотические мы будем называть обобщенными.

Т.к. гауссова кривизна псевдосферы  К= – 1<0, то все точки этой поверхности гиперболические. Следовательно через каждую точку псевдосферы проходит ровно 2 асимптотические линии ( по одной из каждого семейства).

Примем асимптотические линии (17) за новую координатную сеть псевдосферы , введя новые переменные

                                                                                              (20)

Угол между координатными линиями и (сетевой угол) равен α( , )= α

Из (20) имеем 

Тогда первая квадратичная  форма псевдосферы примет вид:

где α( , ) – сетевой угол.

Как известно из курса дифференциальной геометрии [4] координатные линии псевдосферы образуют  чебышевскую сеть.

Докажем, что сетевой угол α( , ) удовлетворяет уравнению синус-Гордона α_xy = sin α( , ).

Вычислим гауссову кривизну К псевдосферы по формуле Гаусса :

         (21)                   

        Т.к. , , ,

то .  Отсюда . Но  K= – 1 , поэтому , т.е. сетевой угол α удовлетворяет уравнению синус-Гордона.

 Выражая u через  и при помощи формул (20), получаем, что

                                             α = 2u = 4arctg                                             (22)

Дифференцируя равенство (22), находим, что . Следовательно              α = α( , ) = 4arctg –  решение уравнения синус-Гордона.

Покажем, что оно задано на всей плоскости.

Т.к. по условию  u (0,π),      v R,  , то отсюда видим, что R   R, т.е. ( , ) R². Это означает, что решение уравнения синус-Гордона задано на всей плоскости. Итак, построенное на всей плоскости решение уравнения синус-Гордона является сетевым углом сети асимптотических линий псевдосферы.               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Геометрическая интерпретация  произвольных решений

уравнения синус-Гордона

 

          Сначала сформулируем известные из дифференциальной геометрии определения и утверждения, которые будут использоваться в дальнейшем.

          Введем  понятие асимптотической полосы.

          Пусть в евклидовом пространстве Е³  кривая γ задана уравнением = (s), где s – естественный параметр. Вдоль кривой γ задается вектор-функция = (s), где (s) – единичный вектор, ортогональный касательному вектору = в соответствующих точках кривой.  В этом случае говорят, что вдоль кривой γ задана поверхностная полоса M={γ, }. Если в каждой точке кривой γ вектор коллинеарен бинормали кривой, то нормальная кривизна k_n=0 и в этом случае полоса называется асимптотической.

          Кривая γ называется базовой кривой асимптотической полосы         M={γ, }.

         Площадка полосы – плоскость, перпендикулярная вектору бинормали базовой кривой γ.

Л е м м а 1. Пусть k₁(s) и k₂(s)  ─ кривизна и кручение асимптотической полосы M; , ,   ─ векторы касательной, нормали и бинормали базовой кривой γ этой полосы и s  ─ длина дуги  линии γ. Тогда

                      ,  ,                               (23)

Л е м м  а 2. Пусть заданы функции k₁(s) и k₂(s) класса Сⁿ , n≥1.  Тогда существует единственная с точностью до движения асимптотическая полоса M с базовой кривой γ, длина дуги которой равнa s, векторы , ,   линии γ удовлетворяют уравнениям (23), а k₁(s) и k₂(s) являются при этом кривизной и кручением полосы M. Векторные функции (s), (s), (s) принадлежат классу регулярности Сⁿ.