Магнитное поле токов

Волгоградский государственный педагогический университет. ã 2001, проф. А.В. Петров

Курс лекций по электричеству. Лекция 9

 

 

9. Магнитное поле токов

 

1. Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока

 

Магнитная индукция в какой-либо точке пространства зависит от формы проводов, по которым текут токи, образующие поле, от силы этих токов, от их направления, а также от расположения рассматриваемой точки. Характер этой зависимости для частного случая - поля бесконечного прямого тока был определен Био и Саваром в 1820 г. Было показано, что B ~I (току в проводе, но не в рамке!) и что B ~ (r - расстояние от провода до точки, в которой измеряется магнитное поле). В каждом случае формула зависимости индукции от расположения проводов будет особая, но указанные зависимости индукции от тока в проводнике и от расстояния до проводника  сохраняются.

Лаплас предположил, что индукция магнитного поля, созданная током, текущим по проводам, определяется токами в  отдельных элементарных участков этого проводника (dl), а наблюдаемая индукция B является векторной суммой этих величин:

На опыте нельзя осуществить измерение индукции поля отдельного элементарного участка тока, так как участок невозможно отделить от других элементов цепи. Лапласу удалось путем обобщения опытных данных найти зависимость, которая позволяет рассчитывать индукцию поля проводника произвольной формы:

.

Вектор dB перпендикулярен к плоскости, содержащей r и dl, направление его определяется правилом буравчика. В векторной форме закон Био-Савара-Лапласа можно записать в виде:

 

2. Индукция магнитного поля в центре кругового тока

 

Вектора dB для элементов dl в центре кругового тока имеют одинаковое направление. Для любого элемента a = , следовательно, sin a = 1.

 Тогда  . Но в данном случае вместо геометрической суммы можно брать сумму алгебраическую: .

 

 

 

3. Индукция магнитного поля на оси кругового тока

 

Определим индукцию магнитного поля в точке А, отстоящей от плоскости еругового тока на расстояние b вдоль оси. Угол a = , как угол между образующей r конуса и элементом окружности его основания dl.  Рассмотрим два диаметрально расположенных элемента контура dl1 и dl2 (dl1 = dl2 , r1 = r2). Эти элементы создают в точне А индукцию магнитное поле, причем вектора индукции dB1 и dB2 равны по модулю, но имеют разное направление. Разложим эти вектора на составляющие, перпендикулярные и параллельные оси dB^  и dB||.

Геометрическая сумма этих векторов будет направлена по оси кругового тока и численно равна сумме их проекций на эту ось. Величина индукции в этом случае определяется интегралом:

 

B =

= , учитывая, что , можно записать формулу индукции магнитного поля на оси кругового тока:

 

4. Индукция магнитного поля прямолинейного тока

 

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу. Вектора индукции всех элементов в точке А имеют одинаковые направления (в данном случае перпендикулярны плоскости чертежа). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка А находится на расстоянии b от провода.

Подставляем эти значения в формулу Био-Савара-Лапласа:

dB=

 

Если проводник имеет бесконечную длину, то угол  a  изменяется в пределах от 0 до p.

B =

В случае проводника ограниченной длины :   B = .

 

5. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля

 

Рассмотрим плоский контур, охватывающий прямолинейный ток и вычислим для него циркуляцию вектора В.

, где

- проекция вектора dl на направление B.

dl’ = r dj

Для прямолинейного тока

B = , с учетом этого:

=

Таким образом, для плоского контура в случае прямолинейного тока циркуляция вектора В не равна 0. Аналогичный результат можно получить, если брать проводник с током любой формы и контур любой формы (в том числе и не плоский). Если замкнутый контур не охватывает ток, то циркуляция вектора магнитной индукции по данному контуру равна нулю. Если магнитное поле создано системой токов, то надо учитывать все токи, проходящие сквозь контур.

, где - алгебраическая сумма токов, пересекающих площадь контура. Если контур с током охватывает проводник с током не один, а n раз, то:

 

 

Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля, если контур, по которому берется циркуляция, охватывает ток. Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми. Магнитное поле, как и всякое вихревое поле, нельзя охарактеризовать скалярной величиной потенциала (как это делалось в случае электростатического поля).

 

 

 

6. Магнитное поле соленоида

 

Если длина соленоида во много раз больше диаметра его витков, то соленоид можно практически считать бесконечно длинным. Магнитное поле такого соленоида целиком сосредоточено внутри его. Вне соленоида В=0, внутри соленоида линии вектора В, очевидно, могут быть направлены только параллельно его оси и модуль векрора магнитной индукции   в любом месте внутри соленоида одинаков.

 Выделим участок длины l, на  котором расположено n витков, и проведем прямоугольный контур 12341. Применяя теорему о циркуляции к этому контуру, получим:

.

Разделим контур на четыре участка.

На участках 1-2 и 3-4 контур перпендикулярен к линиям поля, т.е. B = 0. На участке 4-1 вне соленоида В=0, а значит B = 0. Таким образом, лишь на одном участке 2-3 интеграл не равен нулю, причем на этом участке В = В .

,   отсюда  B = ,  тогда B = .

Обозначив (nо - число витков на единицу длины соленоида), получаем формулу для вычисления индукции на оси соленоида:

B = .