Идентификация и моделирование объектов автоматизации

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Государственное высшее учебное заведение

Приазовский государственный технический университет

Факультет информационных технологий

Кафедра автоматизации и компьютерных технологий

 

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА  
по курсовой работе  
по дисциплине  
“Идентификация и моделирование  
объектов автоматизации”

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:  

 

 

 

 

 

 

 

Принял:  

 

 

 

 

 

 

 

Мариуполь 2013 г.

 

РЕФЕРАТ

 

Пояснительная записка содержит 42 страницы, 12 рисунков, 3 таблицы.

Целью работы является получение численного решения для конкретной задачи. Это решение должно быть получено в результате выполнения соответствующей программы на ЭВМ, написанной на языке высокого уровня, составленной самим обучающимся.

При выполнении работы необходимо предварительно ознакомиться с соответствующим методом и его алгоритмом. Выполнение программы на ЭВМ и анализ получения результатов составляют заключительную стадию работы. Реализация программы должна быть показана на контрольном примере с выдачей выходных документов на принтер.

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение …………………………………………………………………………5

Постановка задачи ………………………………………………………………6

Входные и выходные данные ……………………………………………………7

1. Идентификация объектов методом  наименьших квадратов ………………8

2. Исследование разомкнутой линейной  системы ……………………………19

3. Построение модели с распределенными параметрами ……………………28

4. Численные процедуры оценивания параметров  
нелинейных регрессионных моделей ………………………………………………36

Заключение …………………………………………………………………….41

Перечень ссылок ………………………………………………………………42

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Цель работы − получение практических навыков в построении математических моделей технических объектов, написании программ для решении задач моделирования с использованием языка программирования С/С++ и математических пакетов MathCad или MatLab, изучение теоретических основ и особенностей выполнения параметрической идентификации различных моделей, реализации алгоритмов линейного и нелинейного регрессионного анализа, планирования эксперимента.

Задачи курсовой работы включают:

− получение студентами навыков самостоятельной работы;

− освоение технологии разработки и отладки программ, реализующих модели технических объектов;

− более качественное изучение нормативных материалов – государственных стандартов и технических условий;

− более полное изучение базовых средств языков программирования и получение навыков постановки и решения различных задач с помощью ПЭВМ;

− изучение и использование сред численного моделирования и статистического анализа (MatLab, StatGraph и т.п.).

 

 

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 

В ходе выполнения курсовой работы необходимо разработать программы на Scilab, Matlab, C++, которая позволит:

− оценить построенную математическую модель;

− найти выходные параметры, описывающие математическую модель, и построить зависимости между входными и выходными характеристиками объекта;

− установить математическое соотношение между измеряемыми входами и выходами при заданных их измерениях во времени.

 

 

 

ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ

 

В данной работе входными данными являются начальные параметры (граничные условия), вводимые пользователем во время работы программы. Собственно, сама математическая модель, построенная согласно заданию на курсовой проект и являющаяся неизменной, представлена (описана) в качестве дифференциального уравнения либо матрицы и (начальных, граничных) параметров, которые даны для наблюдения за процессом на определенном промежутке времени либо участке (сечении).

Выходными данными являются реализованные графики (зависимости) меняющиеся во времени либо в пространстве координат, а также расчетное представление корреляционного анализа модели с использованием эксперимента.

 

 

 

Задание 1. Идентификация объектов методом наименьших квадратов.

 

Вариант задания – 1

 

Матрица X

 

x1	x2	x3
8	5	1
2	4	3
4	9	7
2	2	4
2	3	1

 

 

Матрица Y

 

y

20,8

14,2

32,3

11,5

8,2

 

 

Для линейных уравнений вида:

 

 

 
строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

 

 

 

Постановка задачи:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации

5. С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

 

Для наших данных система нормальных уравнений имеет вид:

 

 

 

Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии методом определителей (по формуле Крамера):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение множественной регрессии:

 

 

 

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится не основе  
F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – объясненную и необъясненную:

 

 

 

 – общая сумма квадратов отклонений;

 – сумма  квадратов отклонений, объясненная  регрессией (факторная сумма квадратов  отклонений);

 – остаточная  сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера:

 

 

 

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы  
и При этом, если фактическое значение F-критерия Фишера больше табличного, то уравнение признается статистически значимым:

 

 

 

Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10 %.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии:

 

 

 

 

 

 

 

Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1 %. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат    фактора    чем факторов 

Показателем интенсивности связи служит значение коэффициента корреляции. Считается, если он равен 1, то взаимозависимость признаков является строгой (полной); если его значение находится в интервале от 1 до 0,8, то это свидетельствует о сильной их взаимозависимости; если в интервале от 0,7 до 0,3 – об умеренной (не ярко выраженной) взаимозависимости, а если же оно лежит в интервале от 0,2 до 0,0, то мы имеем дело со слабой или нулевой взаимозависимостью.

Коэффициенты парной корреляции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент парной корреляции    указывает на сильную взаимозависимость фактора    и результата  При такой зависимости рекомендуется исключить из рассмотрения факторы с не ярко выраженной взаимозависимостью.

Коэффициент множественной корреляции определим через матрицы парных коэффициентов корреляции:

 

 

 

− определитель матрицы парных коэффициентов корреляции

 

 

 

− определитель матрицы межфакторной корреляции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата и рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции:

 

 

 

Эта доля составляет 99,9 % и указывает на высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов (тесную связь факторов с результатом).

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий:

 

 

 

Оба коэффициента указывают на высокую детерминированность результата   в модели факторами

Оценка статистической значимости параметров регрессии проводится по  
t-критерию Стьюдента:

 

 

 

Для уравнения множественной регрессии средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Исследование разомкнутой линейной системы.

 

Вариант задания – 1

 

Значения коэффициентов дифференциального уравнения объекта
-4	2	3	1	5	6	12	0

 

 

Объект описан дифференциальным уравнением:

 

 

 

Постановка задачи:

1. Записать модель объекта в форме передаточной функции.

2. Записать модель объекта в пространстве состояний.

3. Определить нули и полюса передаточной функции.

4. Определить коэффициент усиления системы в установившемся режиме и полосу пропускания системы.

5. Построить карту расположения нулей и полюсов, импульсную и переходную характеристики, частотные характеристики.

6. Построить процесс на выходе системы при произвольном входном сигнале.

7. Использовать модуль LTI-Viewer для построения различных характеристик.

 

Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:

− дифференциальные уравнения;

− модели в пространстве состояний;

− передаточные функции;

− модели вида «нули-полюса».

Первые два способа называются временными, поскольку описывают поведение системы во временной области и отражают внутренние связи между сигналами. Передаточные функции и модели вида «нули-полюса» относятся к частотным способам описания, т.к. непосредственно связаны с частотными характеристиками системы и отражают свойства объекта «вход-выход».

 

Модель объекта в форме передаточной функции:

 

 

 

Текст программы

 

clear all;

clc;

% Ввод передаточной  функции %

num=[0 12 6 5]

den=[1 3 2 -4]

w=tf(num,den)

% Построение модели  объекта в пространстве состояний %

w_ss=ss(w)

% Нахождение нулей  и полюсов передаточной функции %

z=zero(w)

p=pole(w)

% Нахождение коэффициента  усиления системы %

% в установившемся  режиме %

k=dcgain(w)

% Определение полосы  пропускания системы %

b=bandwidth(w)

% Построение модели  системы в форме "нули-полюса" %

w_zpk=zpk(w)

% Расположение нулей  и полюсов системы на графике %

pzmap(w);grid;

print -dmeta;

 

% Построение переходной  функции %

step(w);grid;

print -dmeta;

 

% Построение импульсной  переходной функции %

impulse(w);grid;

print -dmeta;

 

% Создание массива  частот для построения %

% амплитудно-частотной  характеристики %

freq=logspace(-4,4,500);

r=freqresp(w,freq);

r=r(:);

semilogx(freq,abs(r));grid;

print -dmeta;

 

% Создание массива  частот для построения %

% фазо-частотной характеристики %

freq=logspace(-4,4,500);

r=freqresp(w,freq);

r=r(:);

phi=angle(r)*180/pi;

semilogx(freq,phi);grid;

print -dmeta;

 

% Диаграмма Боде %

bode(w);grid;

print -dmeta;

 

% Частотный годограф  Найквиста %

nyquist(w);grid;

print -dmeta;

 

% Сигнал, имитирующий  прямоугольные импульсы %

% единичной амплитуды %

% (период - 4 секунды, количество - 5 импульсов) %

[u,t]=gensig('square',4);

lsim(w,u,t);grid;