Применение уравнения Бернулли в специальности энергообеспечение предприятий

Содержание

 

Вступление……………………………………………………………………    2

Уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости………………     3

Список литературы…………………………………………………………..     7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Вступление

    Математика очень важная наука, она никогда не бывает одна и всегда к чему-то прикладывается! Это говорит о том, что ни одна другая наука не может существовать без математики. Следовательно, если бы человечество не создало мира математики, то оно никогда не смогло бы обладать наукой. В настоящее время математика превратилась в повседневное орудие исследования в физике, астрономии, биологии, инженерном деле, организации производства и многих других областях теоретической и прикладной деятельности. Также она является основной дисциплиной в специальности «энергообеспечение предприятий» кафедры промышленной теплоэнергетики. В этой специальности необходимы знания по большинству разделам математики, в том числе и умение применять в жизни уравнение Бернулли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

   Рассмотрим течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы - силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения. Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис.1). Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нем V₁, давление р₁, a высота расположения центра тяжести сечения, отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскости сравнения z₁. Во втоpом сечении соответственно dS₂, V₂, p₂ и z₂.

   3а бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится в положение 1'-2'.

   Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и сила тяжести. Подсчитаем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время dt.

   

                        Рис.1

  

   Работа силы давления  в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает c направлением перемещения, и выражается как произведение силы р₁dS на путь V₁dt: p₁dS₁V₁dt.

   Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы прямо противоположно направлению перемещения, и определяется выражением p₂dS₂V₂dt .

   Силы давления, действующие  по боковой поверхности отрезка  струйки, работы не производят, так как они нормальны к  этой поверхности, а следовательно,  нормальны и к перемещениям.

3

Итак работа сил давления будет равна  p₁V₁dS₁dt-p₂V₂dS₂dt.

   Работа силы тяжести  равна изменению потенциальной  энергии положения участка струйки,  поэтому надо из энергии положения  жидкости в объеме 1-2 вычесть энергию положения жидкости в объеме 1`-2`. При этом энергия положения промежуточного объема 1`-2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1-1`, 2-2`. Если учесть уравнение расхода, то нетрудно заметить, что объемы, а следовательно, и силы тяжести заштрихованных элементов 1-1` и 2-2` равны между собой:

dG=gV₁dS₁dt=*gV₂dS₂dt.

   Тогда работа силы  тяжести выразится как произведение  разности высот на силу тяжести  dG:

                                       

   Чтобы подсчитать  приращение кинетической энергии  рассматриваемого участка струйки  за время dt, необходимо из кинетической энергии объема   1`-2` вычесть кинетическую энергию объема 1`-2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2-2` и 1-1`, сила тяжести каждого из которых равна dG.

   Таким образом,  приращение кинетической энергии  равно 

   Сложив работу  сил давления с работой силы  тяжести и приравняв эту сумму  приращению кинетической энергии,  получим 

    (1.46`)

   Разделив это уравнение  на dG, и произведя сокращения, получим

   Сгруппируем члены,  относящиеся к первому сечению,  в левой части уравнения, а  члены, относящиеся ко второму  сечению, в правой:

          (1.47)

где z- геометрическая высота, или геометрический напор; - пьезометрическая высота, или пьезометрический напор; - скоростная высота, или скоростной напор.

   Полученное уравнение  называется уравнением Бернулли  для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Оно было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

   Трехчлен вида:  ,

называется полным напором.

   Уравнение Бернулли  записано для двух произвольно  взятых сечений струйки и выражает  равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный

4

напор будет иметь то же значение:

(вдоль струйки).

   Итак, для идеальной  движущейся жидкости сумма трех  напоров(высот): геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.

   Это положение  иллюстрируется графиком, приведенным  на рис.2, где показано изменение  всех трех высот вдоль струйки.  Линия изменения пьезометрических  высот называется пьезометрической  линией, ее можно рассматривать  как геометрическое место уровней  в пьезометрах, установленных  вдоль струйки.

                                  Рис.2

   Для горизонтального  участка струйки из уравнения  Бернулли и уравнения расхода  следует, что если площадь поперечного  сечения струйки уменьшается,  т.е. струйка сужается, то скорость  течения жидкости увеличивается,  а давление уменьшается, и наоборот, если струйка расширяется, то  скорость уменьшается, а давление  возрастает.

   На рис.2 в виде  примера показана струйка, площадь  поперечного сечения которой  от сечения 1-1 к сечению 2-2 уменьшается в 4 раза, в связи с чем скоростной напор увеличивается в 16 раз, а сечение 3-3 имеет ту же площадь, что и сечение 1-1. Штриховой линией показана пьезометрическая линия при увеличении расхода в раз, вследствие чего скоростные высоты увеличиваются в 2 раза, а в узкой части струйки давление становится меньше атмосферного.

   Уравнение Бернулли  можно записать в двух других  формах. Разделим уравнение (1.46`) на массу dm отрезка, равную и преобразуем уравнение подобно предыдущему. Тогда вместо выражения (1.47) будем иметь

.

5

   Рассмотрим энергетический  смысл уравнения Бернулли, записанный  в форме (1.48). Условимся назвать  удельной энергией жидкости энергию,  отнесенную к единице массы.

   Нетрудно показать, что члены этого уравнения  являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно: gz- удельная энергия положения, так как частица жидкости массой ∆m, находясь на высоте z, обладает энергией положения, равной ∆mgz, а на единицу массы приходится энергия g∆mz/∆m=gz; p/*- удельная энергия давления движущейся жидкости, так как частица жидкости массой ∆m при давлении р обладает способностью подняться на высоту р/*g и приобрести энергию положения ∆mgp/(*g) (после деления на ∆m получаем p/*); - удельная потенциальная энергия жидкости; - удельная кинетическая энергия жидкости, так как для той же частицы ∆m кинетическая энергия, отнесенная к единице массы, ∆ : ∆; – полная удельная механическая энергия движущейся жидкости.

   Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Следовательно уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, давления ц кинетическая энергия. Первая п третья формы механической энергии известны из механики и они в равной степени свойственны тнердым и жидким телам. Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, однако полная удельная энергия при этом, как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

   Энергию давления легко прeобpaзовaть в механическую работу. Простейшим устройством, c помощью которого осуществляют такое преобразование, является цилиндр c поршнем (рис. 1.24). Покажем, что при этом прео6разовании каждая eдиница массы жидкости совeршает работу, численно равную р/*.

   Пусть площадь поршня равна S, его ход L, избыточное давление жидкости, подводимой к левой полости цилиндра р, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Тогда суммарная сила давления жидкости, равная силе F, преодолеваемой при перемещении поршня из левого положения в правое: , a работа этой силы . Масса жидкости, которую необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы, равна массе жидкости в объеме цилиндра, т. e. .

   Следовательно, работа, приходящаяся на 1 кг массы,

  

6

 

 

 

Список литературы

«Гидравлика, гидромашины, гидропривод». Башта Т.М, Руднев С.С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7