Алгебры и их применение

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2 …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2 (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56