Теоритические основы управления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предназначена для поворота некоторой оси, называемой исполнительной или выходной, осью, по закону, определяемому другой - командной, или входной осью.

Входная и  выходная оси следящей системы связаны  соответственно с движками задающего  П1 и отрабатывающего П2 потенциометров. Разность снимаемых с них напряжений, пропорциональная ошибке j = j₁ - j₂ поступает на вход усилителя. Последний управляет работой электрического исполнительного двигателя М. Выходной вал двигателя механически связан через редуктор Р с объектом управления ОУ и движком потенциометра П2.

Элементы системы описываются  следующими уравнениями:

элемент сравнения   j = j₁ - j₂ ;

потенциометрический преобразователь  U = k₁ j ;

усилитель  T_у dU₁/dt + U₁ = k₂ U ;

двигатель  T_м d²a /dt² + da /dt = k₃ U₁ - k₄ М_н ;

редуктор  j₂ = k₅ a ;

где k₁ k₂ - коэффициенты передачи соответственно потенциометрического преобразователя, усилителя;

k₃ = w_хх/ U_н = pn_хх /30U_н - коэффициент передачи двигателя;

k₅ = 1/i - коэффициент передачи редуктора;

k₄ = w_хх/ М_п - коэффициент наклона механической характеристики двигателя;

T_у - постоянная времени усилителя;

T_м - постоянная времени двигателя.

 

Параметры	Варианты
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
k1 , В/рад											60
k2											900
i											1100
Uн , В											110
nхх , об/мин											7000
Tу , с											0,015
Tм ,с											0,1
Mп 10-2 , Нм											0,5
s, %											18
tр , с											0,1

 

где  U_н - номинальное напряжение питания двигателя;

n_хх - скорость холостого хода двигателя;

M_п - пусковой момент двигателя;

i - передаточное отношение редуктора;

s - перерегулирование;

t_р - время переходного процесса;

 

 

Этапы выполнения

 

1. Составление функциональной и структурной схем САУ. Классификация по основным признакам.

 

 

КЛАССИФИКАЦИЯ САУ:

1. по наличию или отсутствию главной обратной связи: замкнутая;
2. по принципу регулирования: по отклонению;
3. по наличию или отсутствию дополнительной энергии в регуляторе: система непрямого действия;
4. по виду воспроизведения задающего воздействия: следящая система автоматического управления;
5. по свойствам статического режима: система астатическая;
6. по характеру протекания процесса во времени: непрерывная;
7. по исполнению: электромеханическая система.

 

 

 

 

 

 

 

U₁

U = U₁ – U₂

ω

ЗУ

ИП

УУ

ИУ

ОР

РО

СУ

f₁

М_Н

f₂

U

U_y

П2

П1

U₂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функциональная схема САР.

 

ЗУ – задающий устройство (потенциометр П₁).

СУ – следящее устройство.

УУ – усилитель

ИУ – двигатель.

РО - редуктор

ИП – следящий потенциометр (П₂).

 

Вычисление передаточных функций  элементов системы.

 

1. усилитель  T_у dU₁/dt + U₁ = k₂ U

L{ T_у dU₁/dt + U₁ }=L{ k₂ U}

L{ T_у dU₁/dt}+L{ U₁ }= L{ k₂ U}

T_у L{ dU₁/dt}+ L{ U₁ }= k₂ L{U}

T_у S U₁ (S)+ U₁ (S)= k₂ U(S)

U₁ (S)*( T_у S+1)= k₂ U(S)

U₁ (S)/ U(S)*( T_у S+1)= k₂

U₁ (S)/ U(S)= k₂/ T_у S+1

Передаточная  функция усилителя W₂(S)= k₂/ T_у S+1.

 

2. двигатель  T_м d²a /dt² + da /dt = k₃ U₁ - k₄ М_н    где - k₄ М_н можно пренебречь, т.к. возмущающее воздействие.

L{ T_м d²a /dt² + da /dt}=L{ k₃ U₁}

L{ T_м d²a /dt² }+L{ da /dt}= L{ k₃ U₁}

T_м L{ d²a /dt² }+L{ da /dt}= k₃ L{U₁}

T_м S²a(S)+Sa(S)= k₃ U₁(S)

a(S)*( T_м S²+S)= k₃ U₁(S)

a(S)/ U₁(S)= k₃/ T_м S²+S

a(S)/ U₁(S)= k₃/ S(T_м S+1)

Передаточная функция двигателя W₃(S)= k₃/ S(T_м S+1).

U₁

ω

k1

k6

k₂/ T_у S+1

k₃/ S(T_м S+1).

k5

СУ

f₁

М_Н

f₂

U

U_y

П2

П1

U₂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структурная схема САР.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Передаточные функции САР

 

Выражение для передаточной функции разомкнутой САР (с выключенной главной обратной связью): W_разм(S)=W_пт(S)*W_ос(S)      

 

        W_пт(S) - передаточная функция прямого тракта;

      W_ос(S) - передаточная функция обратной связи.

 

W_разм(S)=K/(S*( T_у S+1)*(T_м S+1))

 

K=k1*k2*k3 *k5*k6=60*900*6,66*0,00009*1=32,7

 

 

         K– коэффициент усиления разомкнутой САР. Примем k6 равными единице.

 

W_разм(S)= 32,7/(S*(0,015*S+1)*( 0,1*S+1))

 

 

 

 

Выражение для  передаточной функции замкнутой  САР:

 

Wзамк(S)= W_разм(S)/1+ W_разм(S)

 

Wзамк(S)=K/(K+ S*( T_у S+1)*(T_м S+1))

 

Wзамк(S)= 32,7/(32,7+S*(0,015*S+1)*( 0,1*S+1))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Определение устойчивости исходной САР

 

 

Критерий Рауса

1. По коэффициентам характеристического полинома R(S)=a₀sⁿ+ a₁s^n-1+…+ a_n-1s+a_n (W_замкн.=Y(S)/R(S))

 

R(S)=0,0015S³+0,115S²+S+32,7

а₀ = 0,0015

а₁ = 0,115

а₂ = 1

а₃ = 32,7

 

Составляется таблица Рауса:

c11=0,0015	c12= 1	c13= 0
n+1 строка c21=0,115	c22=32,7	C23= 0
C31= 0,5735	C32=0

 

C_ik=C_i-2,k+1 – D_i*C_i-1,k+1, D_i= (C_i-2,1)/( C_i-1,1)

 

Где i- номер строки, k – номер столбца.

 

С₃₁=1-0,013*32,7=0,5735

 

С₃₁>0 Вывод: данная система устойчива.

 

 

Критерий Михайлова

 

Для устойчивости динамической системы  необходимо и достаточно, что бы при изменении w от 0 до ∞ кривая, описываемая концом вектора R(iw), проходила против часовой стрелки через n – квадрантов.

 

R(S)=0,0015S³+0,115S²+S+32,7

R(iw) =0,0015i³ w³ +0,115i² w² +i w +32,7

 

 

 

Вывод: поскольку степень характеристического полинома n=3 и годограф Михайлова проходит против часовой стрелки через 3 квадранта, то данная система устойчива.

 

 

4. Анализ качества переходных  процессов

 

Составим переходную характеристику для замкнутой системы.

Переходная характеристика дает информацию о поведении системы или элемента в переходном процессе при единичном ступенчатом воздействии.

Для расчета в MATLAB переходной характеристики используется функция step().

 

 

num=[32.7];den=[0.0015 0.115 1 32.7]; (- представление полиномов в виде вектор-строки)

sys=tf(num,den); (- с помощью функции tf формируется передаточная функция)

t=[0:0.1:5]; (- время t меняется от 0 до 5 сек. с шагом 0,1)

     [y,t]=step(sys,t); (-функция step, смысл которой поясняет рис. ниже, вычисляет реакцию линейной системы на единичное ступенчатое воздействие.)

plot(t,y),grid

xlabel('Time(sec)')

ylabel('Moving')

 

 

 

 

 

Из графика находим значения t_p и σ, сравниваем их с заданными:

t_p  =1,5>0,1– время регулирования;

Σ σ =100% (h_max-h_y)/h_y=(1,6-1)/1*100=60>18