Kesmani teng ikkiga bo'lish usuli bilan algebraik va transendent tenglamalarni yechish

1-tajriba ishi

Tenglamalarning ildizlarini EHM yordamida ajratish. Tenglamalarni ildizini kesmani teng ikkiga bo‘lish usulida topishni algoritmlash va dasturlash.

 

Ishdan maqsad: Tenglamalarning ildizlarini kesmani teng ikkiga bo’lish usulida aniqlash algoritmini va dasturini tuzishni o’rganish.

 

Nazariy qism

 

Amaliyotda ko’pincha

f(x)=0   (1.1)

kabi tenglamalarning ildizini taqribiy hisoblab topishga to’g’ri keladi.

 

1.1-teorema .    Aytaylik,

1. f(x) funktsiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin;
2. f(a)^.f(b)<0, ya’ni f(x) funktsiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo‘lsin; 
3. f’(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin. 

     U holda, (1.1) tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.

 

f(x)=0 tenglama berilgan bo‘lsin. [a,b] kesmada u=f(x)  funktsiya 1.1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantirsin.

 

1. Bu holda, [a,b] kesmani t₀=(a+b)/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz: agar  f(t₀)=0 bo‘lsa, x=t₀ yechim bo‘ladi. f(t₀) 0 bo‘lgan holda, agar f(a)f(t₀)<0 bo‘lsa, 1.1-teoremaga ko‘ra, x=t ildiz [a₁,b₁]=[a,t₀] oraliqda,  aks holda [a₁, b₁]=[t₀, b] oraliqda yotadi.
2. x=t₀ aniq yechim bo‘lmagan holda [a₁,b₁] oraliqni t₁=(a₁+b₁)/2  nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz: agar f(t₁)=0 bo‘lsa, x=t₁ yechim bo‘ladi. f(t₁) 0 bo‘lgan holda, agar f(a₁)f(t₁)<0 bo‘lsa, 1.1-teoremaga ko‘ra x=t ildiz [a₂,b₂]=[a₁, t₁] oraliqda, aks holda [a₂, b₂]=[t₁, b₁] oraliqda yotadi. 
3. Bu jarayonni takrorlash natijasida biror qadamda ma’lum aniqlikdagi taqribiy ildizni olamiz. Aniq ildiz olinmagan taqdirda, jarayonni takrorlashni cheksiz davom ettirib, {t_n} ketma-ketlikni olamiz. Hosil qilingan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti f(x)=0 tenglamaning ildizidan iborat bo‘ladi.

Berilgan aniqlikdagi taqribiy ildizni olish uchun jarayonni shart  bajarilguncha  davom  ettirish  kifoya  bo‘lib,  taqribiy  ildiz  sifatida

x= (a_n +b_n)/2

ni qabul qilamiz.

 

1.1-masala.   e^x -10x -2=0 tenglama yechimi kesmani teng ikkiga bo‘lish usulida e=0,01 aniqlik bilan toping. 

Yechish.   f(x)=e^x-10x-2 funktsiya [-1,0] oraliqda 1.1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi.   Shuning uchun tenglamaga kesmani teng ikkiga bo‘lish usulini ishlatish mumkin.

1. [-1,0] oraliqni  t₀=(-1+0)/2=-0.5 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 

f(t₀)=e^-0.5 + 5 – 2 >0 ,  f(-1)=8.386>0 ,  f(0)=-1<0

bo‘lganligi  uchun  yechim  [-0.5, 0]  oraliqda  yotadi.

2. bu  oraliqni t₁=(-0.5+0)/2=-0.25 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 

f(-1)^.f(-0,25)=8,386^.1,279>0

bo‘lganligi uchun yechim [a₂, b₂]=[-0.25, 0] oraliqda yotadi.

Aniqlik |b₂-a₂|=0.25>2e etarli bo‘lmagani uchun  [-0.25, 0] oraliqni

t₂=(0-0.25)/2=0.125

nuqta  yordamida  teng   ikkiga    bo‘lamiz. 

3) f(-0.125)=0.132 >0 bo‘lganligi uchun yechim  [a₃,b₃]= [-0.125, 0] oraliqda yotadi. Aniqlik |a₃-b₃|=0.125>2e=0.02 etarli bo‘lmagani uchun [-0.125,0] oraliqni

t₃=(0.125+0)/2= =-0.063

nuqta  yordamida  teng   ikkiga    bo‘lamiz.

4. f(-0.063)=-0.461<0,  f(-0.125)=0.132>0 bo‘lgani  uchun  yechim [a₄,b₄]=[-0.125, -0.063] oraliqda yotadi. |a₄ –b₄|=0.062 >2e=0.02  etarli bo‘lmaganligi uchun  [-1.125,-0.063] oraliqni

t₄=  (-0.125 - 0. 063)/2=-0.094

nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz.

5. f(-0.094)=-1.841<0, f(-0.125)=0.132>0 bo‘lgani  uchun  yechim [-0.125, -0.094] oraliqda yotadi

t₅= (-0.125- 0.094)/2= -0.1095

|a₅-b₅|=0.031>2e=0.02, bo‘lgani uchun yechim [-0.125, -0.1095] oraliqda, f(-0.1095)=-0.00872<0

t₆=  (-0.125- 0.1095)/2= -0.11725

bundan f(-0.11725)=0.0623, yechim [-0.1173, -0.1095] oraliqda bo‘ladi, bu yerda

|-0.1095 –  (-0.1173)| = | 0.1173 – 0.1095| = 0.008<2e=0,02

bo‘lgani uchun taqribiy ildiz

bo‘ladi.

 

Quyida e^x-10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning blok-sxemasi va Delphi dasturlash tilida yozilgan dasturi keltirilgan:

1.1-rasm. e^x-10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning blok-sxemasi.

e^x-10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning Delphi dasturlash tilida tuzilgan dasturi:

 

unit kesmau;

 

interface

 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls;

 

type

  TForm1 = class(TForm)

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    Label6: TLabel;

    Button1: TButton;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Edit1: TEdit;

    Edit4: TEdit;

    Edit5: TEdit;

    Edit6: TEdit;

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var a,b,x,f,f1,f2,E:real;

var i:integer;

label 1,2;

begin

a:=strtofloat(Edit1.Text);

b:=strtofloat(Edit2.Text);

E:=strtofloat(Edit3.Text);

i:=0;

1:

i:=i+1;

x:=(a+b)/2;

f:=Exp(x)-10*x-2;

if F=0 then goto 2

else   begin

f1:=Exp(a)-10*a-2;

f2:=Exp(b)-10*b-2;

if (ABS(f2-f1)<2*E) then

  begin

   x:=(a+b)/2;

   goto 2

   end

  else

  begin

   if (f*f1>0) then a:=x

   else b:=x;

   goto 1;

  end;

 

end;

 

 

2:

edit4.Text:='Yechim topildi';

edit5.Text:=inttostr(i);

edit6.Text:=floattostr(x);

end;

 

end.

 

1.2-rasm. e^x-10x-2=0 tenglamasini kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechish dasturi oynasining ko’rinishi.

 

MUSTAQIL ISHLAR UCHUN TOPSHIRIQLAR

Quyidagi tenglamalar:

1. Ildizlarning qisqa atrofini EHM yordamida  aniqlang;

2. Aniqlangan oraliqda ildizni ikkiga bo‘lish usuli bilan E=0.0001 aniqlikda taqribiy hisoblang.

1. 1) x-sinx=0.25      2) x3-3x2+9x-8=0	2   1) tg(0.58x+0.1)=x2             2) x3-6x-8=0
3    1) x-cos(0.378x)=0      2) x3-3x2+6x+3=0	4    1) tg(0.4x+0.4)=x2    2) x3-0.1x2+0.4x-1.5=0
5    1) lgx-7/ (2x+6)=0      2) x3+x-5=0	6 1) tg(0.5x+0.2)=x2      2) x3+x-5=0
7 1) 3x-cosx-1=0      2) x3+0.2x2+0.5x-1.2=0	8 1) x+lgx=0.5      2) x3+3x+1=0
9    1)tg(0.5x+0.1)=x2            2) x3+0.2x2=0.5x-2=0	10 1) x3+4sinx=0         2) x3-3x2+12x-9=0
11 1) ctg(1.05x)-x2=0      2) x3-0.2x2+0.3x-1.2=0	12 1) tg(0.4x-0.3)=x2      2) x3-3x2+6x-2=0
13 1)xlgx-1.2=0      2) x3-0.1x2+0.4x-1.5=0	14 1) 1.8x2-sin10x=0      2) x3+3x2+6x-1=0
15.    1) ctgx-x/4=0          2) x3-0.1x2+0.4x-1.2=0	16.       1) tg(0.3x+0.4)=0              2) x3+4x-6=0
17.   1)   x2-20Sinx=0         2) x3+0.2x2+0.5x+0.8=0	18.       1) ctgx-x/3=0           2) x3-3x2+12x-12=0
19.    1)    tg(0.47x+0.2)=x2           2) x3-0.2x2+0.3x+1.2=0	20.    1) x2+4sinx=0           2)  x3-2x+4=0
21    1) ctgx-x/2=0         2) x3-0.2x2+0.5x-1.4=0	22       1) 2x-lgx-7=0      2) x3-3x2+6x-5=0
23     1)  tg(0.44x+0.3)=x2           2) x3-0.1x2+0.4x+1.2=0	24       1) 3x-cosx-1=0      2) x3-0.2x2+0.5x-1=0
25     1) ctgx-x/10=0         2) x3+3x2+12x+3=0	26       1)   x2+4Sinx=0            2) x3-0.1x2+0.4x+2=0
27     1)  tg(0.36x+0.4)=x2          2) x3-0.2x2+0.4x-1.4=0	28       1) x+lgx=0.5      2) x3+0.4x2+0.6x-1.6=0
29     1) ctgx-x/5=0         2) x3+x-3=0	30       1) 2lgx-x/2+1=0            2) x3-0.2x2+0.5x+1.4=0

 

O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar

 

1. Yechim yotgan Kesmani aniqlash.

2. Boshlang‘ich shartni tanlash usulini tushuntiring.

3. Iteratsiya usulining yaqinlashish shartini ayting.

4. Iteratsiya usulida boshlang‘ich shartni tanlash usulini tushuntiring.

5. Kesmani ikkiga bo‘lish usuli va uning yaqinlashish shartini ayting.

6. Tenglamalarni taqribiy hisoblashda ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) shartlari.

7. Iteratsiya usulini  qo‘llashda x=j(x) tenglamadagi j(x)  uchun qo‘yilgan shartlar.

8. Iteratsiya usulini  qo‘llashda x=j(x) tenglamadagi j‘(x)  uchun qo‘yilgan shartlar.

9. Ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya)  usulida boshlang‘ich yaqinlashish qiymatini tanlash qoidasi.

10. Kesmani ikkiga bo‘lish usuli  va uni qo‘llash  haqidagi shartlar.