Метод Якоби (метод простых итераций)

3. Метод Якоби  (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы  диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

Далее номер в скобках  означает номер строки. Новую первую строку получаю сложением старой первой строки с другими строками, умноженными на специально подобранные  коэффициенты. Записываю это в  виде формулы:

(1)’  = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4)  

(2)’  = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4)

(3)’  = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4)

(4)’  = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) 

Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ".

Решаются  системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные

элементы  в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения

таких систем уравнений. Конечно, это не дело.

В результате получаю систему  уравнений:

 
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно  преобразовать к виду: 
X = B2 + A2*X Преобразую:  
 
Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид : 
 
А вектор В2:  

Задано вектор начального приближения, например

И выполнению итерационный цикл по формуле 

Вычислению норму  приращении

В качестве нормы  применяю сумму модулей компонент.