Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

№1. Чему равна вероятность того, что при 5 подбрасываниях игральной кости выпадет

1. хотя бы один раз шестерка;
2. менее 2-х раз шестерка.

Решение.

1) Вероятность выпадения шестерки при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет шестерка - . Вероятность того, что при 5 подбрасывании кости не выпадет ни разу шестерка .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет шестерка, равна

.

2) Событие А, которое заключается в том, что при 5 подбрасывании игральной кости выпадет менее 2 – х раз шестерка рассмотрим как сумму двух несовместных событий: В (шестерка выпадет ни разу при 5 подбрасываниях) , С (шестерка выпадет один раз при 5 подбрасываниях). Вероятности двух последних событий определяются по формуле Бернулли:

, где n = 5

Вероятность выпадения шестерки при одном броске кости равна ,

Искомую вероятность определим  по теореме о вероятности суммы  двух событий:

 

Ответ: 1) 0,6;  2) 0,8

 

№2. В урне 2 белых, 8 черных и 6 красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке

1. белый цвет появится раньше черного;
2. вторым по порядку будет записан черный цвет.

Решение.

1) Рассмотрим событие А – белый цвет появится раньше черного.

Так как в условиях задачи наличие  или отсутствие красных шаров  роли не играет, то искомая вероятность  равна вероятности вынуть первым белый шар из урны, в которой  имеется а белых и b черных шаров, т. е. равна .

Таким образом, вероятность  появления белого шара равна

2) Событие В, состоящее в том, что вторым по порядку будет записан черный цвет произойдет в одном из трех случаев:

а) Первый шар белый (вероятность - ), а второй – черный (вероятность - ).

б) Первый шар красный (вероятность - ), а второй – черный (вероятность - ).

в) Первый шар черный (вероятность - ), и второй – черный (вероятность - ).

Окончательно получаем:

Ответ: 1) 0,2;  2) 0,5.

 

№3. Студент знает 65 из 90 вариантов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что

1) студент будет знать только один вопрос экзаменационного билета;

2) что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на 3 вопроса своего билета или на 2 вопроса из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

Решение.

1) Пусть A - событие, состоящее в том, что в студент будет знать только один вопрос экзаменационного билета

Вероятность события А вычислим с помощью классического определения вероятности

где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m –  число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A.

 Число наборов вопросов в  билете равно  числу сочетаний  из 90 по 3.

Число m элементарных исходов равно   числу способов, что в билете окажется 1 из 65 вопросов, ответ на который знает студент и 2 из 90-65=25 вопросов, ответы на которые не знает студент.

Тогда

2) Пусть событие В  заключается в том, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на 3 вопроса своего билета или на 2 вопроса из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен, равна  .

Для того, чтобы сдать экзамен, требуется совершение одного из 2 событий:

а) Событие В₁ – студент ответил на первый вопрос (вероятность ) , ответили на второй вопрос (вероятность ). Т.к. после успешного ответа на первый вопрос остается еще 89 вопросов, на 64 из которых ответы известны. Ответил на третий вопрос

б) Событие В ₂– на первый вопрос студент ответил (вероятность ), на второй – ответил (вероятность ), на третий вопрос своего билета не ответил , на вопрос преподавателя– ответил (вероятность ).

Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан равна:

Ответ: 1) 0,16;  2) 0,48

 

№4. Из 25 спортсменов, участвующих в соревнованиях, 15 призеров прошлых лет. По жеребьевке перед началом соревнований 4 спортсмена выносят флаг. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение числа призеров среди спортсменов, несших флаг. Найти функцию распределения указанной случайной величины и построить ее график.

Решение.

Случайная величина ₍число призеров среди спортсменов, несших флаг₎ может принимать следующие возможные значения: 0,1,2,3,4. Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли:

_{Вероятность того, что призер будет  нести флаг равна , вероятность того, что не призер будет нести флаг равна}

Закон распределения случайной  величины :

X	0	1	2	3	4
P

Найдем функцию  распределения  .

Если  , то .

При .

При

.

При

 При   

При

Итак,         

Построим график функции распределения  случайной величины Х

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

Дисперсию вычислим по формуле D(X) = M(X ²) – M ²(X), где

Таким образом,  дисперсия дискретной случайной величины Х равна

D(X) = M(X ²) – M ²(X) = 6,72 –2,4²= 0,96

Среднее стандартное  отклонение:

Ответ: M(X)=2,4,

 

№5Среди семян риса 0.2% семян-сорняков, т.е. число сорняков в рисе распределено по закону Пуассона. Найти вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено

1. менее 2 семян-сорняков;
2. хотя бы 1 семя-сорняк.

Решение.

n = 10000;  p = 0,002;  λ = 10000 0,002= 20

Формула Пуассона

1)  m<2

2) m ≥ 1

P₁₀₀₀₀ (m ≥ 1) = 1 -  P₁₀₀₀₀ (0) = 1 –

Ответ: 1) ,  2) 0,99

 

Решение.

1. Найдем параметр а из условия

 

2. Составим ряд распределения дискретной СВ X

xi	-1	-3	-4
pi	0.35	0.35	0.3

 

Построим полигон распределения

3. Вычислим вероятности событий А={Х<-3} и В={Х>-3}

 

4. Найдем среднее значение СВ X

5) Найдем математическое ожидание  функции СВ U=X-2X+7.

 

6. Степень разбросанности СВ X относительно ее среднего значения характеризует дисперсия. Найдем дисперсию СВ X по формуле

D(X) = M(X ²) – M ²(X), где

 

Таким образом,  дисперсия  дискретной случайной величины Х равна

D(X) = M(X ²) – M ²(X) = 8,3 – (-2,6)² =8,3 –6,76 = 1,54

7. Найдем дисперсию функции СВ U=X-2X+7.

8. Ковариацию СВ X и У найдем по формуле

 

_Тогда

Если ковариация положительна, это говорит о том, что при  изменении значения одной переменной другая имеет тенденцию изменяться в том же направлении.

 

9. Коэффициент корреляции СВ X и У найдем по формуле

Найдем 

Таким образом,  дисперсия  дискретной случайной величины Y равна

D(Y) = M(Y ²) – M ²(Y) = 2 –(1,24)² =2-1,54=0,46

Коэффициент корреляции не может равняться -2, так как по свойствам значение коэффициент корреляции находится в пределах .

10. Так как СВ X и V  связаны линейной зависимостью V=-X+3, то по свойствам коэффициента корреляции абсолютная величина коэффициента корреляции равна -1.

Ответ: 1) , 2)

xi	-1	-3	-4
pi	0.35	0.35	0.3

3) , 4) _{, 5)}

6) D(X) =  1,54; 7) , 8) _,

_{9) , 10)}

 

№7 Данные об урожайности ржи на различных участках колхозного поля приведены в таблице

урожайность, ц/га	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52	52-56
доля участка от общей посевной площади, %	7	11	18	29	20	8	7

Вычислите среднюю урожайность  и несмещенную оценку дисперсии

Решение.

Среднюю урожайность найдем по формуле

  _,

где  -среднее значение интервала

Несмещенную оценку дисперсии найдем по формуле

 _{Ответ: ,}

 

№8 При обследовании заработной платы на предприятии сделана выборка 700 рабочих. Выборочная средняя заработная плата оказалась равной 1000 ден.ед. с исправленным стандартным отклонением 150 ден.ед. Найти 99% доверительные интервалы для средней зарплаты предприятия и стандартного отклонения от этой средней зарплаты.

Решение.

По условию n = 700,

Доверительные интервал для средней  зарплаты предприятия найдем по формуле

где 

где - коэффициент Стьюдента при заданном уровне значимости

_{и степенями свободы. По таблице значений функции распределения Стьюдента находим}

.

Находим

Таким образом, доверительный интервал запишется в виде

 _{или (985,4; 1014,6)}

     Доверительный  интервал для оценки стандартного отклонения от средней зарплаты находим по формуле:

                                ,                                 

где S – исправленное стандартное отклонение;

q – параметр, который находится по таблице   на основе известного объёма выборки n  и заданной надёжности оценки .

 На основании данных  значений  и n=700 по таблице можно найти значение q=0,08. Таким образом,

,

Ответ:  доверительный интервал для средней зарплаты предприятия равен _{(985,4; 1014,6),} доверительный интервал для  стандартного отклонения от средней зарплаты равен

 

 

Решение.

Уравнение регрессии Y на X имеет вид:

Уравнение регрессии X на Y имеет вид:

  .

Вычислим необходимые суммы, пользуясь  следующей расчетной таблицей:

N	хi	yi	хi × yi	хi2	yi2
1	27	53	1431	729	2809
2	24	47	1128	576	2209
3	28	52	1456	784	2704
4	26	48	1248	676	2304
5	31	62	1922	961	3844
Сумма	136	262	7185	3726	13870

 

Получим