Экономико-математические методы и прикладные модели

1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый  план выпуска составляет 75 изделий первого вида и 330 изделий второго вида. Изменение общей стоимости продукции на 540 ед.(2655-2115=540)получено за счет уменьшения плана выпуска на 20ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9*(75-95)=-180 ед.) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6*(330-210)=720 ед.).

 

• С помощью оценок двойственности можно понять эффектно или не эффектно было бы производить изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие (Д)	Оценки ресурсов
I	2	0
II	2	1,5
III	2	2,25
Цена изделия	12

 

=2*0+2*1,5+2*2,25-12=-4,5 < 0, это значит что изделие выгодно для включения в план, т.к. затраты на его изготовление покрываются полученной прибылью.

 

 

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2, ...,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	43	47	50	48	54	57	61	59	65

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t) = a₀+а₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда.
3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t) =a₀+a₁k  с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение.

1. Проверяем наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:

Вычисляется число ; ; ;

;

=7,29;

 

=0,55;…

Значения λ_n представлены в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
λn	0,55	0,41	0,27	0,82	0,41	0,55	0,27	0,82

Все значения  λ_n  расчетные меньше чем табличное λ = 1,5, следовательно аномальных явлений нет.

2. Рассчитаем начальные параметры модели используя метод наименьших квадратов. Суть метода наименьших квадратов при исследовании модели  Ŷ(t) = a₀+а₁t необходимо найти такие значения a₀ и а₁ , которые минимизируют сумму квадратов отклонений расчетных значений от наблюдаемых: . Чтобы получить выражение для вычисления а₀ и а₁ и найти min S от двух переменных, необходимо производные этой функции по каждой переменной приравнять к нулю. В рамках решения полученной системы уравнений получим следующие выражения для а₀ и а₁: ; ;

=	5
=	53,8

 

3. Модель Брауна: ;

;

;

;

Заполним таблицу  расчетных значений с параметром сглаживания  =0,4 (рис. 4.) с помощью Excel, мастер функций.

 

 
Рис. 4.1. Таблица  расчетных значений с параметром сглаживания =0,4, вычисленная с помощью Excel, мастер функций.

Рис. 4.2 Формульный шаблон решения таблиц «Оценка начальных значений параметров модели» и  «Оценка параметров модели Брауна».

 

Заполним таблицу  расчетных значений с параметром сглаживания  =0,7 (рис. 6) с помощью Excel, мастер функций.

 

 

 

 

 Рис. 4.3 Таблицу  расчетных значений с параметром сглаживания =0,7 с помощью Excel, мастер функций.

Формулы все те же, только с  параметром сглаживания =0,7 (см. рис. 4.).

Выберем лучшее значение параметра сглаживания, для этого  сравним ошибки E(t): модель с параметром сглаживания =0,4, E(t)=0,06, а модель с параметром сглаживания =0,7, E(t)=0,05, следовательно лучшее значение параметра сглаживания =0,7.

4. Оценим адекватность построенных моделей:
1. Модель с  параметром сглаживания =0,4:

Проверку случайности  уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в столбце  «F», рис. 4.4, их количество равно четырем (р=4).

Рис. 4.4 Таблица: «Точки пиков».

 

Правая часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Проведем проверку соответствия остаточной последовательности нормальному  закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.

=2,425+4,626=7,051

RS=R/S=7,051/2,593=2,72, это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для  n = 10 и уровня значимости α= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.

Переходя к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице (рис.7) это математическое ожидание равно 0,06: 9 = 0,007 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента. 

Для проверки независимости  уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле , представленные в столбцах «G,H,I» (рис. 8.)

 

дают следующее значение этого критерия: d = 142,310 : 53,8 = 2,65. Эта величина превышает 2, что свидетельствует об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d' = 4-d = 4- 2,65 =1.35. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d₁ =1,08 и d₂ — 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.

Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной  компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является адекватной.

2. Модель с  параметром сглаживания =0,7:

Проверку случайности  уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в столбце «F», рис. 9. ,их количество равно четырем (р=4).

Рис.4.5. Таблица: «Расчетные значения».

 

Правая часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Проведем проверку соответствия остаточной последовательности нормальному  закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.

=2,216+3,556 =5,772

 

 3,734

 

RS=R/S=5,772/3,734=1,546, это значение не попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для  n= 10 и уровня значимости α= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения не выполняется.

Переходя к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице (рис.7) это математическое ожидание равно 0,047: 9 = 0,005 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента. 

Для проверки независимости  уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле , представленные в столбцах «P,Q,R» (рис. 9.)

дают следующее значение этого критерия: d = 81,797 : 29,872 = 2,738. Эта величина превышает 2, что свидетельствует об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d' = 4-d = 4- 2,738 = 1,262. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d₁ =1,08 и d₂ — 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.

Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет не всем свойствам случайной компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является не адекватной.

5. Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле:

; ; .

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.6. Таблица в Excel «Средние относительные ошибки».

Средние относительные  ошибки не должны превышать 5%, в нашем  случае ∆Е(0,4)=0,124<5% и ∆Е(0,7)=0,101<5%. Полученные значения средних относительных ошибок говорят о достаточно высоком уровне точности обоих построенных моделей.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).

 

1. Модель с  параметром сглаживания  =0,4:

Y(t)пр= ; ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.7 График и тренд расчетных значений  временного ряда.

;

Y(n+L)+U(L) – верхняя граница прогноза;

Y(n+L)-U(L) – нижняя граница прогноза;

P=70%; α=0,3; tα=1,05; t=10; L=1; n=9.

Результаты вычислений представим в таблице 1.

 

 

Время (t)	Шаг (L)	Точечный прогноз	Доверительный интервал прогноза			U
			Нижняя граница.	Верхняя граница
10	1	66,69	61,45	71,92	2,772	5,237
11	2	69,27	64,03	74,51		5,237

 

2. Модель с  параметром сглаживания  =0,7:

Y(t)пр= ; ;

Рис. 4.8. График и тренд расчетных значений  временного ряда.

;

Y(n+L)+U(L) – верхняя граница прогноза;

Y(n+L)-U(L) – нижняя граница прогноза;

P=70%; α=0,3; tα=1,05; t=11; L=2; n=9.

Результаты вычислений представим в таблице 1.

Время (t)	Шаг (L)	Точечный прогноз	Доверительный интервал прогноза			U
			Нижняя граница.	Верхняя граница
10	1	66,628	59,78	73,48	4,267	6,850
11	2	69,199	62,56	75,83		6,636