Шпаргалка по "Экономико-математическому моделированию"

План проведения эксперимента строится следующим образом (покажем на примере трехфакторной  задачи п = 3). К плану полного (дробного) факторного эксперимента добавляется центральная точка со значениями нормированных переменных (0, ..., 0) и по две звездные точки для каждой переменной. В табл. в целях уделения внимания достраиваемой части плана для ядра плана — ПФЭ — приведены только первая и последняя строчки.

План ОЦКП для  трех переменных

|         №		Х1	Х2	Х3
ПФЭ	1	+1	+1	+1
		…	…	…	…
		8	-1	-1	-1
Центр	9	0	0	0
Звездные точки	10	+ α	0	0
		11	-α	0.	0
		12	0	+ α	0
		13	0	-α	0
		14	0	0	+ α
		15	0	0	-α

α — величина звездного плеча, которая зависит от числа переменных n и принимает следующие значения:

n	2	3	4
α	1	1,215	1,414

Общее число экспериментов будет определяться так: N = 2ⁿ+2n+1.

При реализации такого плана могут возникнуть некоторые проблемы: когда планировали ядро плана (ПФЭ или ДФЭ), то могли надеяться на адекватность линейного уравнения и выбрать диапазон изменения х_i в физически реализуемой области. При добавлении звездных точек при большом звездном плече может оказаться невозможным проведение эксперимента (неустойчивость процесса, разрушение оборудования и т.д.). В таком случае можно их уменьшить до предела, но при этом потеряются все необходимые свойства плана эксперимента и его результат надо будет обрабатывать по общей методике, рассмотренной ранее в основах регрессионного анализа. Если физически удается реализовать звездные точки, то план обладает главным достоинством — ортогональностью, что обеспечивает независимое определение всех коэффициентов. Только b₀ нельзя определить отдельно, он связан с квадратичными членами.

Формулы коэффициентов и их дисперсией выглядят следующим образом:

  b_i=∑^N_k=1 x_iky_k/2ⁿ+2α²    S²_bi=S²_y/(2+2α²)m    b_ij=∑x_ikx_jky_k/2ⁿ 

 S²_bij=S²_y/2ⁿm      b_ii=∑(x²_ik-1/N ∑^N_j=1x²_ij)y_k/2α⁴   S²_bij=S²_y/2α⁴m

    b₀=(∑^N_k=1y_k/N) – (2ⁿ-2α²/N)*∑b_ii

Если  окажется, что какой-то квадратичный член статистически незначим, то это повлечет изменение b₀, поэтому свободный член рассчитывается после проверки значимости.

 

 

21.РОТАТАБЕЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ  ПЛАНИРОВАНИЕ РЦКП

 

Ротатабельные планы обладают способностью обеспечивать одинаковую точность прогноза величины У по любому направлению от центра плана на одинаковом от него расстоянии а. Ротатабельный план второго порядка отличается от ОЦКП только схемой формирования. Техника проведения экспериментов и расчетные формулы такие же, как и для ОЦКП .

Характеристика планов РЦКП:

Число точек в центре плана N0			Величина звездного  плеча α	Число звездных точек N	Число экспериментов ядра N1	Дробность реплики p	Число переменных n	Тип ядра плана
Униформный	Ортогональный	Простой план
5	8	1	1,41	4	4	0	2	ПФЭ
6	9	0	1,7	6	8	0	3
7	12	1	2	8	16	0	4
10	17	0	2,4	10	32	0	5	ПФЭ
6	10	0	2	10	15	1	5	ДФЭ
15	24	0	2,8	12	64	0	6	ПФЭ
8	25	0	2,4	12	32	1	6	ДФЭ

Ротатабельные планы бывают трех видов:

простые ротатабельные;

ортогональные ротатабельные;

униформные  ротатабельные.

С точки  зрения структуры плана они различаются  числом повторов в центральной точке и величиной звездных плеч.

С ростом числа переменных опасность физической нереализуемости плана резко возрастает вследствие большой величины звездного плеча.

Ортогональный ротатабельный план удовлетворяет  двум критериям сразу: ортогональности и ротатабельности.

Униформный план обеспечивает одинаковую точность предсказания в любых направлениях внутри сферы определенного радиуса. Поэтому его удобно применять при построении модели в целях поиска оптимальных условий проведения процессов.

 

22.ОСНОВЫ ОТСЕИВАЮЩИХ  ЭКСПЕРИМЕНТОВ, МЕТОД СЛУЧАЙНОГО  БАЛАНСА, ЕГО НАЗНАЧЕНИЕ, ВОЗМОЖНОСТИ, ОСОБЕННОСТИ.

 основная задача  таких экспериментов из большого  числа возможных факторов выделить  небольшое число действий сильно  влияющих на выходную величину, с тем чтобы их включить  в модель. Все методы проведения  отсеивающих экспериментов базируются на гипотезе, что в реальном процессе сущ-ет небольшое число сильно влияющих факторов. Рассмотрим метод случайного баланса. Он опирается на сверх насыщенный план и позволяет не только выделить существенные переменные, но и построить модель линейную относительно выделенных факторов. Суть метода: все переменные разделяют на 2 и более группы. Для каждой группы строится план ПФЭ или ДФЭ. Затем формируется единый план, выбирая последовательность в порядке возрастания или убывания случайных номеров строк. Проводится эксперимент с дублированием, рандомизацией и получаются следующие числовые значения. Выделение существенных факторов проводится с помощью диаграмм-вкладов. Слева от вертикальных линий с номерами факторов ставятся значения у при положительном значении факторов, а справа - при отрицательном. После построения диаграммы, из всех интересующих нас факторов выделяют один наиболее существенный. Это выделение может происходить по одному из трех критериев:1. по величине вклада 2. по числу выделившихся точек 3. произведение вклада на число выделившихся точек. Выделившейся точкой называют точку, которая находится выше или ниже всех точек с другой стороны линии фактора. Проводят модификацию экспериментальных данных устраняя влияние данного фактора. Для этого из каждого экспериментального значения, где выделенный фактор на верхнем уровне вычитают вклад фактора. Данный метод позволяет последовательно выделять существенные факторы, по мере убавления их вклада. Прекращение процедуры построения модели может быть закончен по одному из след.критериев:1. число факторов включенных в модель стало на две единицы меньше, чем число экспериментов(если хотим оценить адекватность) или на 1 меньше(если не хотим оценить адекватность) 2.когда вклад очередного фактора резко меньше вклада предыдущего выделенного фактора. 3.по критерию Фишера(1.когда критерий Фишера стал меньше табличного значения,т.е. выполнилось условие адекватности модели. 2.когда расчетное значение критерия Фишера стало возрастать при добавлении нового члена) 4.если остаточная дисперсия начинает возрастать S²=∑(yiрасч. – yiэксп.)²/N-1

 

 

 

23.ДИСКРЕТНЫЙ  ДРЕЙФ

 

Нестационарными называются объекты св-ва которых меняются во времени.

Рассмотрим частный  случай НО-объекта с дрейфом, которыми называются такие объекты в которых выходная величина меняется с течением времени при постоянных Х и модель записывается y = b₀(t) +Σb_ix_i (только свободный член зависит от t)

Задача для таких  объектов заключается в том, чтобы  исключить влияние дрейфа на коэф-ты при переменных. Дрейф бывает 2 видов: 1. дискретный 2. непрерывный.

Дискретный как правило  связан с поведением эксперимента на различных единицах оборудования. Рассмотрим план эксперимента на примере 3 переменных, когда половина экспериментов должна быть проведена на одном оборудовании, другая на другом. Составляем матрицу экспериментов, разобьем весь план на две части.

N	Х1	Х2	Х3	Х4	У
1	+	+	+	+	у1
2	+	-	-	+	у2
3	-	+	-	+	у3
4	-	-	+	+	у4
5	+	+	-	-	у5+∆у
6	+	-	+	-	у6+∆у
7	-	+	+	-	у7+∆у
8	-	-	-	-	у8+∆у

Для формирования х3=х1*х2 (1частть)

х3 = - х1*х2 (2часть)

свяжем дисперсией дрейф  с фактором х4, введем для х4 ГС х3=х1*х2*х3

∆y – вызвано сменой оборудования.

b1 = Σx_ijy_j/N = у1+у2-у3-у4+у5+у6-у7-у8

получилось, что коэффициент b найден с исключением влияния  смены оборудования. Если мы b0 найдем как среднее всех экспериментальных, тогда естественно влияние x на y сохранится. 

24. ЛИНЕЙНЫЙ  ДРЕЙФ

Непрерывный дрейф связан с изменением св-в объекта, во всех случаях должен характеризоваться каким-то законом., который для правильного планирования эксперимента нужно знать.

Основная идея планирования эксперимента заключается в том, что непрерывный дрейф заменяется суммой дискретных.

При планировании эксперимента учитывают  непрерывный дрейф как сумму дополнительно введенных факторов. Поэтому в плане эксперимента появляются дополнительные переменные. Для того, чтобы эти факторы связанные с дрейфом правильно сформировать эксперименты проводят в такие моменты времени t1, t2, t3…, чтобы ∆y было одинаково.

Обработка результатов  эксперимента с дополнительно введенными факторами ничем не отличается. Главной особенностью реализации эксперимента является невозможность дублирования эксперимента, проведение рандомизации. Если дрейф очень медленный, а каждый эксперимент занимает мало времени тогда дублирование возможно.

 

26.ПОНЯТИЕ О  КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ  ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ, ЕГО  ОСОБЕННОСТИ.

Построенные модели могут быть использованы для решения разных задач в том числе и для нахождения наилучших в некотором смысле условий процесса, т.е. оптимальных наилучших условий – это такие, в которых показатель эффективности, показатель качества, критерий оптимальности достиг бы своего экстремального значения. Задачу экстремального значения какого-то критерия можно решить и без построения модели, для чего используются методы планирования экстремальных экспериментов. Планирование в этом случае сводится к определению значений режимов процессов, при которых проводится эксперимент, чтобы обеспечить наилучшее значение оптимальности. Очевидно, что критерий оптимальности должен удовлетворять некоторым требованиям: 1. должен измеряться количественно 2. должен выражаться одним числом 3. должен по возможности обладать ясным содержательным смыслом, т.е. характеризовать эффективность процесса в желаемом смысле. На практике часто оценка качества  какого-то процесса оценивается несколькими критериями с разных сторон, т.е. оценивается несколькими критериями оптимальности сразу – многокритериальная задача оптимизации. Нередко количественно неоцениваемые критерии оптимальности выражают рангами. Эти ранговые оценки можно использовать в качестве количественно измеряемых. Задача оптимизации сводится к отысканию таких условий проведения процессе, при которых критерий достигает экстремума.