Численное интегрирование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Хорд:

 

№	a	b	c	F( a )	F( b )	F( c )	Метод Хорд	Метод хорд(VBA)
0	1,50000	2,00000	1,61134	-1,37500	4,80000	-0,22118		1,631466899
1	1,50000	1,61134	1,63268	-1,37500	-0,22118	0,01343	0,021342
2	1,63268	1,61134	1,63146	0,01343	-0,22118	-0,00012	0,001222
3	1,63146	1,61134	1,63147	-0,00012	-0,22118	0,00000	0,000011
4	1,63147	1,61134	1,63147	0,00000	-0,22118	0,00000	корень= 1,6314671576 за 4 шагов
5	1,63147	1,61134	1,63147	0,00000	-0,22118	0,00000	корень= 1,6314671584 за 5 шагов
6	1,63147	1,61134	1,63147	0,00000	-0,22118	0,00000	корень= 1,6314671584 за 6 шагов

 

 

 

Код VBA для метода Хорд:

 

Function Horda(a As Double, b As Double, e As Double)

Dim c As Double

If ff(a) * ff(b) > 0 Then

MsgBox ("Èíòåðâàë âûáðàí íåïðàâèëüíî")

Exit Function

End If

Do

c = a - (b - a) / (ff(b) - ff(a)) * ff(a)

If ff(c) * ff(a) > 0 Then b = c Else a = c

Loop Until Abs(b - a) < e

Horda = Format(c, "0.000000")

End Function

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение 2:

h	0,5		e-x=2-x2
E=	0,000005

 

 

x	y	y(vba)
-1,00	1,72	1,72
-0,50	-0,10	-0,10
0,00	-1,00	-1,00
0,50	-1,14	-1,14
1,00	-0,63	-0,63
1,50	0,47	0,47
2,00	2,14	2,14
2,50	4,33	4,33
3,00	7,05	7,05
3,50	10,28	10,28
4,00	14,02	14,02
4,50	18,26	18,26
5,00	23,01	23,01
5,50	28,25	28,25
6,00	34,00	34,00
6,50	40,25	40,25
7,00	47,00	47,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Дихотомии(половинного деления):

 

№	a	b	c	F( a )	F( b )	F( c )	Метод Дихотомии	Дихотомия(vba)
0	1,00000	1,50000	1,25000	-0,63212	0,47313	-0,15100	0,50	1,3159732819
1	1,25000	1,50000	1,37500	-0,15100	0,47313	0,14346	0,25
2	1,25000	1,37500	1,31250	-0,15100	0,14346	-0,00820	0,13
3	1,31250	1,37500	1,34375	-0,00820	0,14346	0,06653	0,06
4	1,31250	1,34375	1,32813	-0,00820	0,06653	0,02889	0,03
5	1,31250	1,32813	1,32031	-0,00820	0,02889	0,01028	0,02
6	1,31250	1,32031	1,31641	-0,00820	0,01028	0,00102	0,01
7	1,31250	1,31641	1,31445	-0,00820	0,00102	-0,00359	0,00
8	1,31445	1,31641	1,31543	-0,00359	0,00102	-0,00129	0,00
9	1,31543	1,31641	1,31592	-0,00129	0,00102	-0,00013	0,00
10	1,31592	1,31641	1,31616	-0,00013	0,00102	0,00045	0,00
11	1,31592	1,31616	1,31604	-0,00013	0,00045	0,00016	0,00
12	1,31592	1,31604	1,31598	-0,00013	0,00016	0,00001	0,00
13	1,31592	1,31598	1,31595	-0,00013	0,00001	-0,00006	0,00
14	1,31595	1,31598	1,31596	-0,00006	0,00001	-0,00002	0,00
15	1,31596	1,31598	1,31597	-0,00002	0,00001	-0,00001	0,00
16	1,31597	1,31598	1,31598	-0,00001	0,00001	0,00000	0,00
17	1,31597	1,31598	1,31597	-0,00001	0,00000	0,00000	корень= 1,3159732819 за 17 шагов
18	1,31597	1,31598	1,31597	0,00000	0,00000	0,00000	корень= 1,3159742355 за 18 шагов

 

 

Код VBA для метода Дихотомии:

 

Function dix(a As Double, b As Double, e As Double)

10 c = (a + b) / 2

If ff(a) * ff(c) < 0 Then b = c Else a = c

If Abs(a - b) <= e Then dix = c Else GoTo 10

dix = Format(c, "0.000000")

End Function

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Ньютона:

 

X	F(x)	F'(x)	№	Метод Ньютона	Метод Ньютона(Vba)
1,50000	0,47313	2,77687			1,3159737778
1,32962	0,03246	2,39466	0	0,17038255
1,31606	0,00021	2,36393	1	0,01355561
1,31597	0,00000	2,36373	2	0,00008806
1,31597	0,00000	2,36373	3	корень= 1,3159737778   за 3 шагов
1,31597	0,00000	2,36373	4	корень= 1,3159737778   за 4 шагов
1,31597	0,00000	2,36373	5	корень= 1,3159737778   за 5 шагов
1,31597	0,00000	2,36373	6	корень= 1,3159737778   за 6 шагов
1,31597	0,00000	2,36373	7	корень= 1,3159737778   за 7 шагов
1,31597	0,00000	2,36373	8	корень= 1,3159737778   за 8 шагов
1,31597	0,00000	2,36373	9	корень= 1,3159737778   за 9 шагов

 

Код VBA для метода Ньютона:

 

Function Newton(x0 As Double, e As Double)

x = x0

x1 = x - ff(x) / fd(x)

While Abs(x1 - x) >= e

x = x1

x1 = x - ff(x) / fd(x)

Wend

Newton = Format(x1, "0.000000")

End Function

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Хорд:

 

№	a	b	c	F( a )	F( b )	F( c )	Метод Хорд	Метод Хорд(VBA)
0	1,00000	1,50000	1,28596	-0,63212	0,47313	-0,06992		1,315973976
1	1,00000	1,28596	1,32152	-0,63212	-0,06992	0,01316	0,035562
2	1,32152	1,28596	1,31589	0,01316	-0,06992	-0,00019	0,005632
3	1,31589	1,28596	1,31597	-0,00019	-0,06992	0,00000	0,000082
4	1,31597	1,28596	1,31597	0,00000	-0,06992	0,00000	корень= 1,3159737605 за 4 шагов
5	1,31597	1,28596	1,31597	0,00000	-0,06992	0,00000	корень= 1,315973778 за 5 шагов
6	1,31597	1,28596	1,31597	0,00000	-0,06992	0,00000	корень= 1,3159737778 за 6 шагов

 

Код VBA для метода Хорд:

 

Function Horda(a As Double, b As Double, e As Double)

Dim c As Double

If ff(a) * ff(b) > 0 Then

MsgBox ("Èíòåðâàë âûáðàí íåïðàâèëüíî")

Exit Function

End If

Do

c = a - (b - a) / (ff(b) - ff(a)) * ff(a)

If ff(c) * ff(a) > 0 Then b = c Else a = c

Loop Until Abs(b - a) < e

Horda = Format(c, "0.000000")

End Function

 

 

 

 

 

Вывод

Корни нелинейного уравнения я нашел 3-мя способами: метод Дихотомии, метод Ньютона, метод Хорд. В итоге, решив данные уравнения я получил корни равные 1,631466899; 1,315973976.

 

 

3. Интерполяция таблично заданных функций

 

3.1 Теория

Интерполяция - операция приближения функции, заданной в отдельных точках внутри некоторого заданного промежутка.

Интерполяцией называется замена таблично заданной функции на некотором интервале, другой функцией F(x), проходящей через эти же точки (узлы интерполяции). Таким образом, с помощью F(x) можно приближенно вычислить значения первой функции в других точках интервала.

При решении различных практических задач результаты исследований оформляются в виде таблиц, отображающих зависимость одной или нескольких измеряемых величин от одного определяющего параметра (аргумента). Такого рода таблицы представлены обычно в виде двух или более строк (столбцов) и используются для формирования математических моделей.

Ограниченность информации, представленной такими таблицами, в ряде случаев требует получить значения функций Y(Xj ) (j=1,2,…,m) в точках Хj, не совпадающих с узловыми точками таблицы Хi (i=0,1,2,…,n). В таких случаях необходимо определить некоторое аналитическое выражение F(Х) для вычисления приближенных значений исследуемой функции Y(X) в произвольно задаваемых точках Х. Формула  f = F(Х), используемая для определения приближенных значений функции Y(X), называется эмпирической формулой или уравнением регрессии yна x, а функция F(Х) - аппроксимирующей функцией (от латинского approximo- приближаюсь).

Близость вычисляемых значений аппроксимирующей функции F(Хi )к табличным значениям аппроксимируемой функции Y(Xi ) обеспечивается выбором критерия, соответствующего алгоритму аппроксимации.

В зависимости от выбранного критерия для построения аппроксимирующих функций используются два класса методов:

- методы интерполяции, в которых критерием близости табличной и аппроксимирующей функции является точное совпадение их значений в узловых точках и

- методы аппроксимации, в которых критерием является минимизация "расстояния" между заданной и аппроксимирующей функциями в узлах таблицы.

 

3.2 Постановка  задачи

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем: на отрезке [a;b] заданы (n+1) точек которые называются узлами интерполяции, а также заданы значения некоторой функции f(x) в этих точках.