Симплекс - метод

Введем переменные:

х_j ³ 0,     j=1,2,3  - количество скважин каждой категории соответственно.

2. Математическая модель задачи.

 

f = 186х₁ + 125х₂ +90х₃  ® max

                  

х₁ £ 15;  х₂ £ 9;  х₃ ³ 9                     х_j ³ 0,     j=1,2,3

 

  3.Экономическое содержание основных и дополнительных переменных.

 

Основные переменные:

х₁ - количество скважин I категории

х₂ - количество скважин II категории

х₃ - количество скважин III категории

Вводим дополнительные переменные:

х₄ - неиспользованные обсадные трубы

х₅ - остаток неиспользованных хим/реагентов

х₆ - остаток неиспользованных глины и глинопорошка

х₇ - остаток талевого каната

х₈ - остаток ГСМ

х₉ - кол-во скважин I-категории, недостающих до max числа 15;

х₁₀ -кол-во скважин II-категории, недостающих до max числа 9; 

х₁₁ –кол-во скважин III-категории, превышающих min число 9;

  х₁₂ - количество недостроенных скважин по категориям.

4. Канонический вид.

 

 

  f = 186х₁ + 125х₂ + 90х₃ -М*х₁₂® max

 

х_j ³ 0,    j=`1;12

5. Решение симплекс-методом.

 

Сб	Хб	план	186	125	90	0	0	0	0	0	0	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12
0	Х4	4800	450	300	200	1	0	0	0	0	0	0	0	0	24
0	Х5	600	45	40	30	0	1	0	0	0	0	0	0	0	20
0	Х6	1610	130	110	70	0	0	1	0	0	0	0	0	0	23
0	Х7	280	20	16	15	0	0	0	1	0	0	0	0	0	18,7
0	Х8	580	46	36	30	0	0	0	0	1	0	0	0	0	19,3
0	Х9	15	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	Х10	9	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
M	Х12	9	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	Min 9
	Z	0	-186	-125	-90	0							0
	M	-9	0	0	-1								1	-1
0	Х4	3000	450	300	0	1	0	0	0	0	0	0	200	0	6,7
0	Х5	330	45	40	0	0	1	0	0	0	0	0	30	0	7,3
0	Х6	980	130	110	0	0	0	1	0	0	0	0	70	0	7,5
0	Х7	145	20	16	0	0	0	0	1	0	0	0	15	0	7,2
0	Х8	310	46	36	0	0	0	0	0	1	0	0	30	0	6,74
0	Х9	15	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	15
0	Х10	9	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
90	X3	9	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	-1	1
	Z	810	-186	-125	0	0	0	0	0	0	0	0	-90	90
	M	0	0	0	0								0
186	x1	6,67	1	0,67	0	0,00	0	0	0	0	0	0	0,44	-0,44	15
0	Х5	30,00	0	10,00	0	-0	1	0	0	0	0	0	10	-10,00	3
0	Х6	113,33	0	23,33	0	-0,29	0	1	0	0	0	0	12,22	-12,22	9,3
0	Х7	11,67	0	2,67	0	-0	0	0	1	0	0	0	6,11	-6,11	-1,9
0	Х8	3,33	0	5,33	0	-0,10	0	0	0	1	0	0	9,56	-9,56	0,3
0	Х9	8,33	0	-0,67	0	-0	0	0	0	0	1	0	-0,44	0,44
0	Х10	9	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
90	X3	9	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	-1	1
	Z	2050	0	-1	0	0,41	0	0	0	0	0	0	-7,33	7,33
186	X1	6,51	1	0,42	0	0,035	0	0	0	-0,047	0	0	0	0
	Х5	26,51	0	4,42	0	0,035	1	0	0	-1,047	0	0	0	0
0	Х6	109,07	0	16,51	0	-0,79	0	1	0	-1,279	0	0	0	0
0	Х7	9,53	0	-0,74	0	0,10	0	0	1	-0,64	0	0	0	0
0	Х11	0,35	0	0,56	0	-0,92	0	0	0	0,10	0	0	1	-1
0	Х9	8,49	0	-0,42	0	-0,03	0	0	0	0,05	1	0	0	0
0	Х10	9	1	0,00	0	0,00	0	0	0	0,00	0	1	0	0
90	X3	9,35	0	0,56	1	0,00	0	0	0	0,10	0	0	0	0
	Z	2052,56	0	3,09	0	0,33	0	0	0	0,77	0	0	0	0
	M	0	0	0	0								0

 

Оптимальное решение.

 

Х^* = (6,5; 0; 9,35; 0,26,5; 109,1; 9,5; 0,8,5; 9; ), по которому достигается максимальный экономический эффект

Э_max (Х^*)=2052,56тыс.руб.

Ответ: Максимальный экономический  эффект может достигнуть 2052,56 тыс.руб. если построить скважины так:

I - категории – 6,5

II - категории – 0

III - категории – 9,3

Остатки сырья составят:

1. обсадные трубы -0
2. Химреагенты– 26,51
3. Глина и глинопорошок– 109,1
4. Талевый канат –9,5
5. Гсм - 0

При округлении количества скважин  по категориям получаем:

 

I категория - 6 скважины

II категория - 0 скважины

III категория – 9 скважин

 

f = 186*6+125*0+90*9 = 1926

 

Максимальный экономический эффект может достигнуть 1926 тыс.руб. следовательно  изменятся остатки:

 

4800-450*6-300*0-200*9=300          Обсадные трубы - 300

600- 45*6-40*0-30*9= 60                   хим/ реагенты - 60

1610-130*6-110*0-70*9=200               глина и глинопорошок - 200

280-20*60-16*0-15*9=25                       талевый канат - 25

580-46*6+36*0+30*9=34                     ГСМ - 34

2. Двойственная задача.

Решая двойственную задачу, мы решаем вопрос минимизации общей оценки всего имеющегося количества ресурсов.

6. Математическая модель двойственной задачи.

 

Пусть у_i - стоимость единицы i-го ресурса

 

Z= 4800у₁+600у₂+1610у₃+280у₄+580у₅+15у₆+9у₇-9у₈® min

 

 

7. Экономическое содержание  двойственной задачи.

 

При каких значениях у_I  стоимости единицы каждого из ресурсов в пределах ограниченного объема ресурсов и заданном Экономическом эффекте Э_j     j-ой  скважины общая стоимость затрат Z будет минимальной ?

 

8. Оптимальное решение двойственной задачи.

Оптимальное решение двойственной задачи найдем из последней строки симплекс-таблицы

Y*=(0,33;0 ,0 ;0 ;0,77  )

 

Z min(Y^*)= 4800*0,33+0+*0+*0+580*0,77=2052,56

 

Величина двойственной оценки того или оного ресурса показывает, насколько  возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

Вывод:  можно построить новый  оптимальный план, в котором экономический  эффект возрастет на 0,33 тыс.руб , если ввести единицу обсадных труб. А если увеличить расход гсм на единицу, то экономический эффект возрастет на 0,77 тыс.руб.

 

9. Оценка степени дефицитности ресурсов.

 

В нашей задаче целью является повышение  экономической эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то наш анализ оценок позволит выбрать правильное решение.

Прирост различных ресурсов будет  давать неодинаковый эффект, т.е. в избытке  у нас такие ресурсы как : глина и глинопорошок, талевый канат и химреагенты. (Остатки даны в пункте 5)

Дефицитными ресурсами в нашей  задаче являются обсадные трубы  у₁= 0,314  и   гсм у₂= 0,77.

10. Оценить рентабельность производства.

450*0,33+46*0,77=184

200*0,33+30*0,77=89

так как цена не превышает затраты  значит предприятие рентабельно.

Литература.

1. Замков О.О.,  Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н., Математические методы в экономике. Учебник. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд. «ДИС», 1997г.
2. Коршунов Н.И., Плясунов В.С., Математика в экономике. - М.: Изд. «Вита-Пресс», 1996г.
3. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б., Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1976г.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Брайлов А.В., Математика в экономике. Учебник: В 3-х ч. Ч.1. - М.: Финансы и статистика, 1998г.
5. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г., Задачи и методы линейного программирования. - М.: Сов. Радио, 1964г.

6.Корманов В.Г. Математическое  программирование.Учеб.пособие

3-е издание –М: наука 1986 г.