Производственная функция в экономике

Спектр использования  функций в экономике очень  велик - от простейших линейных функций  к функциям, которые получены по некоторым алгоритмом, который связывает  рекуррентные отношения, исследуемых  объектов в разные периоды времени. Периодичность ряда экономических процессов, их колебания позволяют использовать и тригонометрические функции.

Наиболее часто в экономике  используют функции:

1. Функция спроса - зависимость  объема спроса, предлагаемых, потребности на различные товары и услуги от цены, дохода и т. д.

2. Функция полезности - в  широком смысле зависимость полезности  или результата, эффекта действия  от интенсивности этого действия.

3. Производственная функция  - зависимость результата производственной  деятельности от факторов, ее  обусловливающих.

4. Функция выпуска - зависимость  объема производства от материальных  ресурсов и спроса.

5. Функция издержек - зависимость  издержек производства от объема  продукции.

В связи с тем, что экономические процессы и явления обусловлены действием различных факторов, для их исследования широко используются функции многих переменных. Используются также сепарабельного функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую величину, аддитивные функции, представляют собой одну и ту же переменную, как при суммарном влиянии некоторых факторов, так и при одновременной их действия, так действия каждого фактора в отдельности. 

Производственная функция – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственно-хозяйственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей–факторов. Результатом процесса производства, может быть, объем выпуска, прибыль, пр. показатели.

Производственная функция  была предложена в 1890 г. английским математиком  А. Берри.

В общем виде уравнение  производственной функции можно  записать: (1.1),

где –вектор ресурсов; -вектор продукции; –вектор параметров ПФ

ПФ может быть задана не только аналитически, но и в виде таблицы.

Помимо общего представления  ПФ в виде (1.1) чаще используются следующие  частные случаи:

Производственная функция выпуска:  . (1.2)

Здесь в качестве независимых  переменных берутся затраты ресурсов, а зависимой переменной является  объем выпуска продукции.

Производственная функция затрат    (1.3)

Здесь независимыми переменными  являются объемы выпуска различных  видов продукции, а зависимой  переменной–затраты ресурсов.

Понятие ПФ одной переменной.

В этом случае производственная функция – это функция, независимая  переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции y=f(x). ПФ называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел.

Пример 1. Возьмем ПФ f в  виде f(x)=ax^b , где х – величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) – объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b – параметры ПФ f. Здесь a и b – положительные числа и число b1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). ПФ у=axb является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.  График ПФ изображен на рисунке :

 

На графике видно, что  с ростом величины затрачиваемого ресурса y растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

Производственные  функции нескольких переменных.

Производственная функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска: y=f(x)=f(x₁,…,х_n).       

          Пример 2. Для моделирования отдельного  региона или страны в целом  (то есть для решения задач  на макроэкономическом, а также  на микроэкономическом уровне) часто  используется ПФ вида y=а₀х₁^а1х₂^а2 , где а₀, а₁, а₂ – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а₁ и  а₂  таковы, что а₁+а2=1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется  для решения разнообразных теоретических  и прикладных задач благодаря  своей структурной простоте. ПФКД  принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях  ПФКД  х1=К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов – в отечественной терминологии), x₂=L - затратам живого труда, тогда ПФКД  приобретает вид, часто используемый в литературе: Y=a₀K^a1L^a2.

Свойства  и основные характеристики производственных функций.

Для производства конкретного  продукта требуется сочетание разнообразных  факторов. Несмотря на это, различные  производственные функции обладают рядом общих свойств.

Можно выделить два основных свойства.

1) Существует предел для  роста объема выпуска, который  может быть достигнут ростом  затрат одного ресурса при  прочих равных условиях. Так, в  фирме при фиксированном количестве  машин и производственных помещений  имеется предел роста выпуска  путем увеличения дополнительных  рабочих, поскольку рабочий не  будет обеспечен машинами для  работы.

2)Существует определенная  взаимная дополняемость факторов  производства, однако без уменьшения  объема выпуска вероятна и  определенная взаимозаменяемость  данных факторов производства. Так,  для выпуска блага могут быть  использованы различные комбинации  ресурсов; можно произвести это  благо при использовании меньшего  объема капитала и большего  объема затрат труда, и наоборот. В первом случае производство  считается технически эффективным  в сравнении со вторым случаем.  Однако существует предел того, насколько труд может быть  заменен большим объемом капитала, чтобы не сократилось производство. С другой стороны, имеется предел  применения ручного труда без  использования машин.

В графической форме каждый вид производства может быть представлен  точкой, координаты которой характеризуют  минимально необходимые для выпуска  данного объема продукции ресурсы, а производственная функция - линией изокванты.

Изокванта в теории производственных функций это - геометрическое место  точек в пространстве ресурсов, в  которых различные сочетания  производственных ресурсов дают одно и то же количество выпускаемой продукции.

Изокоста - линия, демонстрирующая  комбинации факторов производства, которые  можно купить за одинаковую общую  сумму денег. Изокосту иначе называют линией равных издержек. Изокосты являются параллельными прямыми, поскольку  допускается, что фирма может  приобрести любое желаемое количество факторов производства по неизменным ценам. Наклон изокосты выражает относительные цены факторов производства. На рис.2 каждая точка на линии изокосты характеризуется одними и теми же общими издержками. Эти линии прямые, поскольку факторные цены имеют отрицательный наклон и параллельны.

Совместив изокванты и  изокосты, можно определить оптимальную позицию фирмы. Точка, в которой изокванта касается (но не пересекает) изокосты, означает наиболее дешевую по стоимости комбинацию факторов, необходимых для выпуска определенного объема продукта. На рис.2 показан метод определения точки, в которой минимизируются издержки производства заданного объема производства продукта. Эта точка расположена на самой нижней изокосте, где изокванта соприкасается с ней.

Рис.2

Изокванты определяют все  возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного  уровня продукции.

Изокванты обладают следующими свойствами:

1.  Изокванты не пересекаются.

2.  Большей удаленности  изокванты от начала координат  соответствует больший уровень  выпускаемой продукции. 

3. Изокванты - понижающиеся  кривые, имеют отрицательный наклон.

Примеры использования  производственных функций в задачах  экономического анализа, прогнозирования  и планирования.

Производственные функции  позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости  в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю  и предельную эффективность различных  ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.

Пример 1. Предположим, что  процесс производства описывается  с помощью функции выпуска Y=0,5K^1/3L^2/3.

Оценим основные характеристики этой функции для способа производства, при котором К=400, а L=200.

          Решение. 

1) Предельные производительности факторов.

Для расчета этих величин  определим частные производные  функции по каждому из факторов:

M_K=0,5^.1/3.400^-2/3.200^2/3=0,1

M_L=0,5^.2/3^.400^1/3.200^-1/3=0,4.

Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает  аналогичную величину для фактора  капитал.

2) Эластичность производства.

Эластичность производства определяется суммой эластичностей  выпуска по каждому фактору, то есть

E=E_K+E_L=1/3+2/3=1.

3) Предельная норма замещения ресурсов.

Эта величина обозначается MRTS_LK и равняется –ΔL/ΔK . Таким образом, в нашем примере

MRTS_LK=-0,4/0,1=-4, то есть для замещения единицы труда в этой точке необходимы четыре единицы ресурсов капитала.

4) Уравнение изокванты.

Для определения формы  изокванты необходимо зафиксировать  значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

Предельная норма замещения  ресурсов определяет тангенс угла наклона  касательной к изокванте в  соответствующей точке. Используя  результаты п. 3, можно сказать, что  точка касания расположена в  верхней части изокваны, так как  угол достаточно велик.

         Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде Y=AK^αL^β .

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом: Y=A(2K)^α(2L)^β=A2^αK^α2^βL^β=2^α+βAK^αL^β=2^α+βY.

 Определим эффект от  масштаба производства в случаях,  если ^α+β>1, ^α+β=1 и ^α+β<1.

          Если, например, ^α+β=1,2, а 2^α+β=2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если^α+β =1, а 2^α+β=2, то удвоение К  и L приводит к удвоению Y; если ^α+β=0,8, а 2^α+β =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза. Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться постоянный эффект от  масштаба производства.

          В заключение отметим, что производственные  функции можно использовать для  экстарполяции экономического эффекта  производства в заданный период  будущего. Как и в случае обычных  эконометрических моделей, экономический  прогноз начинают с оценки  прогнозных значений факторов  производства. При этом можно  использовать наиболее подходящий  в каждом отдельном случае  способ экономического прогноза.

Основные выводы

1. Факторами производства называются блага, необходимые для организации процесса производства.

2. Производственной функцией  называется зависимость между  максимальным объемом производимого  продукта и затратами используемых  факторов.

3. В производственной  функции с одним переменным  фактором величина общего продукта, начиная с определенного объема  данного переменного фактора,  убывает.

4. Изокванта показывает  максимальную величину продукта, которую можно получить при  различных комбинациях переменных  факторов.

5. При возрастании объемов  производства возникает три варианта  эффекта масштаба производства: постоянная, возрастающая и убывающая  отдача от масштаба.

6. Отношение предельной  производительности  i-го фактора к его средней производительности  называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства.