Построение трендовой модели

В случайной  выборке математическое ожидание числа  точек поворота р и дисперсия  выражаются формулами:

;      .                                          (53)

Критерием случайности  с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с  доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства:

,                                                     (54)

где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии (γ1) и эксцесса (γ2),так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

;   ;                                      (55)

;   ;                              (56)

В этих формулах - выборочная характеристика асимметрии; - выборочная характеристика эксцесса; и - соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

;      ,                                              (57)

то гипотеза о нормальном характере распределения  случайной компоненты принимается.

Если выполняется  хотя бы одно из неравенств:

;      ,                                               (58)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.

Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов  проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т. д. Наиболее простой из них - основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S.

R = εmax - εmin,  .                                           (59)

Вычисленное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней  границами данного отношения, и  если это значение не попадает в  интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается.

Проверка равенства  математического ожидания случайной  компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой:

   .                                                        (60)

где - среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности εt;

- стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

Если расчетное  значение t меньше табличного значения tα статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Проверка независимости  значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле:

      .                                                     (61)

Расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона в интервале  от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной  связи; в этом случае его надо преобразовать  по формуле и в дальнейшем использовать значение .

Расчетное значение критерия d (или d') сравнивается с верхним d2 и нижним d1 критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат.

2.5. Точность прогноза трендовой модели.

Для адекватных моделей имеет смысл ставить  задачу оценки их точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя). Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности применяются следующие:

- среднее квадратическое отклонение:

,                                                     (62)

- средняя относительная ошибка аппроксимации:

,                                                  (63)

- коэффициент сходимости:

    ,                                                       (64)

- коэффициент детерминации:

  .                                                           (65)

В приведенных формулах   n - количество уровней ряда,

k - число определяемых  параметров модели,

- оценка уровней ряда по модели,

- среднее арифметическое значение  уровней ряда.

На основании  указанных показателей можно  сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей экономической  динамики наиболее точной, хотя может  встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому - другая.

Данные показатели точности моделей рассчитываются на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств модели целесообразно использовать так называемый ретроспективный прогноз - подход, основанный   на выделении участка из ряда последних уровней исходного временного ряда в количестве, допустим, n2 уровней в качестве проверочного, а саму трендовую модель в этом случае следует строить по первым точкам, количество которых будет равно n1 = n – n2. Тогда для расчета показателей точности модели по ретроспективному прогнозу применяются те же формулы, но суммирование в них будет вестись не по всем наблюдениям, а лишь по последним n2 наблюдениям. Например, формула для среднего квадратического отклонения будет иметь вид:

,                                                  (66)

где - значения уровней ряда по модели, построенной для первых n1 уровней.

Оценивание  прогнозных свойств модели на ретроспективном участке весьма полезно, особенно при сопоставлении различных моделей прогнозирования из числа адекватных. Однако оценки ретропрогноза - лишь приближенная мера точности прогноза и модели в целом, так как прогноз на период упреждения делается по модели, построенной по всем уровням ряда.

Стандартная (средняя  квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого  показателя определяется по формуле:

,                                                       (67)

где yt — фактическое  значение уровня временного ряда для  времени t;

- расчетная оценка соответствующего  показателя по модели (например, по уравнению кривой роста);

n - количество  уровней в исходном ряду;

k - число параметров  модели.

В случае прямолинейного тренда для расчета доверительного интервала можно использовать аналогичную  формулу для парной регрессии, таким образом, доверительный интервал прогноза Uy в этом случае будет иметь вид:

,                                   (68)

где  L - период упреждения;

- точечный прогноз по модели  на (n+L)-й момент времени; 

n - количество  наблюдений во временном ряду;

- стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя, рассчитанная по формуле (62) для числа параметров модели, равного двум;

tα - табличное  значение критерия Стьюдента  для уровня значимости α и  для числа степеней свободы,  равного n-2.

Если выражение:

                                               (69)

обозначить  через К, то формула для доверительного интервала примет вид:

  .                                                     (70)

Значения величины К для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда табулированы.

Формула для  расчета доверительных интервалов прогноза относительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка, выглядит следующим образом:

.                              (71)

Аналогично  вычисляются доверительные интервалы  для экспоненциальной кривой роста, а также для кривых роста, имеющих  асимптоту (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), если значение асимптоты известно.

Таким образом, формулы расчета доверительного интервала для трендовых моделей разного класса различны, но каждая из них отражает динамический аспект прогнозирования, т.е. увеличение неопределенности прогнозируемого процесса с ростом периода упреждения проявляется в постоянном расширении доверительного интервала.

2.6. Верификация прогноза.

При экстраполяционном  прогнозировании экономической  динамики с использованием трендовых  моделей весьма важным является заключительный этап — верификация прогноза. Верификация  любых дескриптивных моделей, к которым относятся трендовые модели, сводится к сопоставлению расчетных результатов по модели с соответствующими данными действительности — массовыми фактами и закономерностями экономического развития. Верификация прогнозной модели представляет собой совокупность критериев, способов и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценивать качество получаемого прогноза. Однако чаще всего на этапе верификации в большей степени осуществляется оценка метода прогнозирования, с помощью которого был получен результат, чем оценка качества самого результата. Это связано с тем, что до сих пор не найдено эффективного подхода к оценке качества прогноза до его реализации.

Проверка точности одного прогноза недостаточна для оценки качества прогнозирования, так как она может быть результатом случайного совпадения. Наиболее простой мерой качества прогнозов при условии, что имеются данные об их реализации, является отношение числа случаев, когда фактическая реализация охватывалась интервальным прогнозом, к общему числу прогнозов. Данную меру качества прогнозов k можно вычислить по формуле:

     ,                                                           (72)

где р — число  прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q — число  прогнозов, не подтвержденных  фактическими данными.

Однако в  практической работе проблему качества прогнозов чаще приходится решать, когда период упреждения еще не закончился и фактическое значение прогнозируемого  показателя неизвестно. В этом случае более точной считается модель, дающая более узкие доверительные интервалы прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Регрессионный анализ деятельности рекламной компании (на примере ОАО "Красцветмет").

История предприятия:

23 марта 2008 г.  исполнилось 65 лет со дня основания одного из крупнейших российских аффинажных заводов — "Красноярского завода цветных металлов имени В. Н. Гулидова".

23 марта 1943 года через месяц после окончания легендарной Сталинградской битвы в Красноярске были получены первые граммы платины и палладия из норильских шламов. Именно эту дату принято считать официальным днем рождения Красноярского завода цветных металлов.

Производство  драгоценных металлов ОАО "Красцветмет" начиналось в годы войны в тяжелейших условиях. Создание аффинажного предприятия и разработка новой технологии извлечения платиновых металлов были задачей большой государственной важности. Ее решение обеспечивало не только комплексность переработки норильских руд, в которых содержались драгоценные металлы, но и укрепляло обороноспособность и авторитет страны в мире. Эту миссию Красноярский завод цветных металлов выполняет и сегодня, через 65 лет после своего создания.

Красноярский завод  цветных металлов - значимое предприятие не только для экономики нашего региона, но и для всей России. На такой уровень его выводит объем промышленного аффинажа металлов платиновой группы, золота и серебра, масштаб производства и переработки драгметаллов, качество всей выпускаемой продукции. Ее ассортимент не только широк, он поистине уникален и находит применение в самых разных отраслях хозяйствования. Добавим к этому, что "Красцветмет" является лидером российской ювелирной промышленности в области производства изделий из платины и палладия. Акционерное общество также успешно развернуло полупроводниковое производство, продуктом которого становится солнечный кремний различных марок. Продукция завода соответствует мировым стандартам и включена в списки "Good Delivery" (а это очень высокое качество поставки!) на всемирно известных международных торговых биржах в Лондоне, Нью-Йорке, Токио и Дубаи. "Красцветмет" уверенно и динамично развивается. Четыре года назад на предприятии открылся новый цех по производству катализаторных сеток для химической промышленности. В этом году начнется производство автокатализаторов. Инвестиционная деятельность предприятия направлена, прежде всего, на освоение и развитие различных производств, связанных с металлургией драгметаллов. Большое значение придается инвестированию в научные разработки. Пакет акций ОАО "Красцветмет" является собственностью Красноярского края. Предприятие своевременно и в полном объеме осуществляет платежи в бюджеты всех уровней и внебюджетные фонды. Руководство акционерного общества неотъемлемой частью своего бизнеса считает и деятельность по охране окружающей среды, которая предполагает поэтапное сокращение выбросов загрязняющих веществ в атмосферу и другие, не менее важные меры. Стабильность и успешное развитие завода, эффективная социальная политика, партнерские отношения с органами государственной власти Красноярского края и органами местного самоуправления вносят серьезный вклад в экономическое развитие края в целом.