Надежность технических систем

Задача № 1

 

Необходимо проанализировать химико-технологическую схему производства продукта с точки зрения надёжности всей системы  при условии, что блоки из трёх и пяти элементов работают по принципу «2 из 3» и «3 из 3» или «2 из 5» и «3 из 5», остальные элементы или блоки элементов работают согласно предложенным схемам.

P
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
0,89	0,90	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,97	0,96	0,95

 

                              

Решение :

Комбинаторный метод

1. Р_с = Р₁·Р₂· Р_d1·Р_к· Р₁₂·Р₁₃

2. Р_d1 = 1- (1-р₃)·(1-р₄)·(1-р₅)·(1-р₆) = 1- (1-0,91)·(1-0,92)·(1-0,93)·(1-0,94) =

= 1- (0,09·0.08·0.07·0.06) = 1-0,0003 = 0,99997

3. Р_к =

    Принцип «2» из «5»

   

    =

=

   =

   =

P_k = + + +

· = 10p² (1 – p )³ + 10p³ (1 – p )² + 5p⁴ (1 – p ) + p⁵

Тогда надёжность всей системы  будет равна :

= 0,89 · 0,90 · 0,99997 · · 0,96 · 0,95

Принцип «3» из «5»

   

=

  =

   =

P_k = + + · =          =10p³ (1 – p )² + 5p⁴ (1 – p ) + p⁵

Тогда надёжность всей системы  будет равна :

= 0,89 · 0,90 · 0,99997 · · 0,96 · 0,95

 

 

Метод прямого перебора

№ состояния	Состояние элементов					Состояние системы
	1	2	3	4	5
1	+	+	+	+	+	+
2	+	+	+	+	-	+
3	+	+	+	-	+	+
4	+	+	-	+	+	+
5	+	-	+	+	+	+
6		+	+	+	+	+
7	+	+	+	-	-	+
8	+	+	-	+	-	+
9	+	-	+	+	-	+
10	-	+	+	+	-	+
11	+	+	-	-	+	+
12	+	-	+	-	+	+
13	-	+	+	-	+	+
14	+	-	-	+	+	+
15	-	+	-	+	+	+
16	-	-	+	+	+	+
17	+	+	-	-	-	+
18	+		+	-	-	+
19		+	+	-	-	+
20	+	-	-	-	+	+
21	-	+	-	-	+	+
22	-	-	-	+	+	+
23	+	-	-	+	-	+
24	-	+	-	+	-	+
25	-	-	+	-	+	+
26	-	-	+	+	-	+
27	+	-	-	-	-	-
28	-	+	-	-	-	-
29	-	-	+	-	-	-
30	-	-	-	+	-	-
31	-	-	-	-	+	-
32	-	-	-	-	-	-

 

1. Р_с = Р₁·Р₂· Р_d1·Р_к· Р₁₂·Р₁₃

2. Р_d1 = 1- (1-р₃)·(1-р₄)·(1-р₅)·(1-р₆) = 1- (1-0,91)·(1-0,92)·(1-0,93)·(1-0,94) =

= 1- (0,09·0.08·0.07·0.06) = 1-0,0003 = 0,99997

3. Принцип «2» из «5»

3.1 Р_к = Р_к1 + Р_к2 + Р_к3 = 0,841+0,148+0,010 = 0,999

3.2 Р_к1 = р₇· р₈· р₉· р₁₀· р₁₁ =0,95·0,96·0,97·0,98·0,97 = 0,841

3.3 Р_к2 = [р₇· р₈· р₉· р₁₀· (1 – р₁₁)] + [р₇· р₈· р₉· (1 – р₁₀) · р₁₁] + [р₇· р₈· (1 – р₉) · р₁₀· р₁₁] + [р₇· (1 – р₈) · р₉· р₁₀ · р₁₁] + [(1 – р₇) · р₈· р₉· р₁₀· р₁₁] = 0,026 + 0,017 + 0,026 + 0,035 + 0,044 = 0,148

3.4 Р_к3 = [р₇· р₈· р₉· (1 – р₁₀)· (1 – р₁₁)] + [р₇· р₈· (1 – р₉)· р₁₀ · (1 – р₁₁)] + [р₇· (1 – р₈)· р₉ · р₁₀· (1 – р₁₁)] + [(1 – р₇)· р₈ · р₉· р₁₀ · (1 – р₁₁)] + [ р₇ · р₈· (1 – р₉)· (1 – р₁₀)·  р₁₁] + [р₇· (1 – р₈)· р₉· (1 – р₁₀)· р₁₁] + [(1 – р₇)· р₈· р₉· (1 – р₁₀) · р₁₁] + [р₇· (1 – р₈)· (1 – р₉) · р₁₀· р₁₁] + [(1 – р₇)· р₈ · (1 – р₉)· р₁₀ · р₁₁] + [(1 – р₇) · (1 – р₈)· р₉· р₁₀ · р₁₁] = 0,00053+0,00080+0,00108+0,00137+0,00053+0,000715+0,000903 +0,00108+0,00137+0,00184 = 0,010

         Тогда надёжность всей системы будет равна :

= 0,89 · 0,90 · 0,99997 ·0,999 · 0,96 · 0,95 = 0,7298

4. Принцип «3» из «5»

4.1  Р_к = Р_к1 + Р_к2 + Р_к3+ Р_к4 = 0,841+0,148+0,010+0,000345 = 0,9993

4.2  Р_к1 = р₇· р₈· р₉· р₁₀· р₁₁ =0,95·0,96·0,97·0,98·0,97 = 0,841

4.3  Р_к2 = [р₇· р₈· р₉· р₁₀· (1 – р₁₁)] + [р₇· р₈· р₉· (1 – р₁₀) · р₁₁] + [р₇· р₈· (1 – р₉) · р₁₀· р₁₁] + [р₇· (1 – р₈) · р₉· р₁₀ · р₁₁] + [(1 – р₇) · р₈· р₉· р₁₀·  р₁₁] = 0,026 + 0,017 + 0,026 + 0,035 + 0,044 = 0,148

4.4  Р_к3 = [р₇· р₈· р₉· (1 – р₁₀)· (1 – р₁₁)] + [р₇· р₈· (1 – р₉)· р₁₀ · (1 – р₁₁)] + [р₇· (1 – р₈)· р₉ · р₁₀· (1 – р₁₁)] + [(1 – р₇)· р₈ · р₉· р₁₀ · (1 – р₁₁)] + [ р₇ · р₈· (1 – р₉)· (1 – р₁₀)·  р₁₁] + [р₇· (1 – р₈)· р₉· (1 – р₁₀)· р₁₁] + [(1 – р₇)· р₈· р₉· (1 – р₁₀) · р₁₁] + [р₇· (1 – р₈)· (1 – р₉) · р₁₀· р₁₁] + [(1 – р₇)· р₈ · (1 – р₉)· р₁₀ · р₁₁] + [(1 – р₇) · (1 – р₈)· р₉· р₁₀ · р₁₁] = 0,00053+0,00080+0,00108+0,00137+0,00053+0,000715+0,000903 +0,00108+0,00137+0,00184 = 0,010

4.5  Р_к4 = [р₇· р₈· (1 – р₉) · (1 – р₁₀)· (1 – р₁₁)] + [р₇· (1 – р₈)· р₉· (1 – р₁₀)· (1 – р₁₁)] + [(1 – р₇)· р₈· р₉ · (1 – р₁₀)· (1 – р₁₁)] + [ р₇· (1 – р₈)·(1 – р₉)· (1 – р₁₀)· р₁₁ ] + [(1 – р₇)· р₈· (1 – р₉)· (1 – р₁₀) · р₁₁] + [(1 – р₇)· (1 – р₈)· (1 – р₉)· р₁₀· р₁₁] + [р₇· (1 – р₈)· (1 – р₉)· р₁₀ · (1 – р₁₁)] + [(1 – р₇)· р₈· (1 – р₉) · р₁₀· (1 – р₁₁)] + [(1 – р₇)· (1 – р₈) · р₉ · (1 – р₁₀)· р₁₁] + [(1 – р₇) · (1 – р₈)· р₉· р₁₀ · (1 – р₁₁)] = 0,0000164+ 0,0000221+0,0000279+0,0000221+0,0000279+0,000057+0,0000335+0,0000432+ 0,0000376+0,000057 = 0,000345

         Тогда надёжность всей системы будет равна :

= 0,89 · 0,90 · 0,99997 ·0,9993 · 0,96 · 0,95 = 0,7299