Модель рыночной экономики Кейнса

 

По заданным в таблице 1 значениям: a, b, d, f , используя табличный редактор Excel, рассчитываем по формуле (1.13) зависимость Y^G = F₁(r). Значения r задаём в пределах от 0 до 1,0 с шагом ∆r=0,05. Результаты вычислений представлены в таблице 2:

Таблица 2

r	YG
0	365384,62
0,05	345653,85
0,1	325923,08
0,15	306192,31
0,2	286461,54
0,25	266730,77
0,3	247000,00
0,35	227269,23
0,4	207538,46
0,45	187807,69
0,5	168076,92
0,55	148346,15
0,6	128615,38
0,65	108884,62
0,7	89153,85
0,75	69423,08
0,8	49692,31
0,85	29961,54
0,9	10230,77
0,95	-9500,00
1	-29230,77

Аналогично производим расчёты значений функции Y^М = F₂(r), используя формулу (1.15). Численные значения M^S, h, j, k, p приведены в таблице 1.

Результаты вычислений приведены в таблице 3:

Таблица 3

r	YM
0	100000,00
0,05	118000,00
0,1	136000,00
0,15	154000,00
0,2	172000,00
0,25	190000,00
0,3	208000,00
0,35	226000,00
0,4	244000,00
0,45	262000,00
0,5	280000,00
0,55	298000,00
0,6	316000,00
0,65	334000,00
0,7	352000,00
0,75	370000,00
0,8	388000,00
0,85	406000,00
0,9	424000,00
0,95	442000,00
1	460000,00

По полученным данным строим графики зависимостей Y^G = F₁(r) и Y^М = F₂(r), применив «Мастер диаграмм» табличного редактора Excel (Приложение 1). По точке пересечения этих графиков находим величиныY₀ и r₀, определяющие равновесие на рынках денег и товаров:

r0	0,4
YG0	184266,67

Исходя из условия равновесия на рынках денег и товаров, определяем аналитическим путём величину r₀ по формуле:

По формуле (1.17) получаем: r₀ = 0,38

Сравнивая полученное значение r₀ со значением r_0, найденным графическим путем, делаем вывод, что они совпадают. Подставляем значение r₀ в формулы (1.13) и (1.15) и находим аналитическое значение Y₀. Аналитическое значение Y₀ = 180134,09. Сравнивая его с Y_0, полученным графическим путем, делаем вывод, что они практически совпадают.

Используя производственную функцию вида:

Y=A*L^b,                                    (1.18)

находим величину L₀ по формуле:

                           (1.19)

Значения величин A и b берём из таблицы 1. По формуле (1.19) получаем:

 L₀ = 3775,08.

Рассчитываем по формуле (1.18) производственную функцию Y = F₃(L) и строим её график, используя возможности табличного редактора Excel (Приложение 2). Результаты вычислений приведены в таблице 4:

Таблица 4

L	Y
0,00	0,0
730,34	62004,4
1460,68	90779,8
2191,02	113459,1
2921,36	132909,4
3651,70	150264,4
4382,04	166113,9
5112,38	180811,7
5842,72	194590,7
6573,06	207613,7
7303,40	220000,0
8033,74	231840,2
8764,08	243204,9
9494,42	254150,8
10224,76	264723,9
10955,10	274962,1
0,00	0,0
730,34	62004,4
1460,68	90779,8
2191,02	113459,1
2921,36	132909,4

По значению Y₀ находим графическим путем величину L_0. Графическое значение L₀ = 3775,08. Сравнивая его со значением L₀, полученным аналитически, делаем вывод, что они совпадают.

 

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

2.1. Постановка задачи

В данной работе необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры  уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет  вид:

C_t = a + b*Y_t + u_t ;                                       (2.1)

  Y_t = C_t + I_t,                                                                               (2.2)

где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (2.1), (2.2) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t₁-t_n;

u_t – случайная составляющая;

C_t, Y_t – функции потребления и дохода, соответственно являющиеся эндогенными переменными;

I_t – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.

Переменные C_t и Y_t являются эндогенными. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри уравнения регрессии, внутри модели. В качестве экзогенной переменной в данной задаче выступают инвестиции I_t. Экзогенной является та переменная, значение которой определяется вне уравнения регрессии, вне модели и поэтому берется как заданная.

Параметры уравнения  регрессии необходимо определить двумя  способами:

• косвенным методом наименьших квадратов;
• прямым методом наименьших квадратов.

 

2.2. Определение параметров уравнения регрессии с использованием КМНК

Исходные значения величин C_t и I_t представлены в таблице 5:

Таблица 5

t	Ct	It
1	266641	95000
2	281601	87305
3	250001	79610
4	263907	71915
5	250296	64220
6	243906	56525
7	234192	48830
8	244723	41135
9	241617	33440
10	222335	25745
11	223667	18050
12	220656	10355
13	230848	2660
14	222318	95

 

Методом наименьших квадратов (МНК) из уравнения (2.1) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещёнными. В связи с этим необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

Для этого эндогенные переменные C_t, Y_t выражаем через экзогенную переменную I_t. С этой целью подставляем выражение (2.1) в (2.2):

Y_t = a+b*Y_t + u_t   +I_t,                               (2.3)

отсюда получаем:

                                           (2.4)

 

Подставляем выражение (2.4) в уравнение (2.1) и получаем:

                                (2.5)

Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде I_t (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей u_t и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.

 

Представим это уравнение  в следующем виде:

                            (2.6)                                          

где

                          (2.7)

Используя имеющиеся в таблице 5 данные о величинах C_t и I_t, находим с помощью МНК несмещенные оценки a* и b*  из уравнения:

                                              C_t = a¹+b¹I_t ,                                                        (2.8)

где a¹ - несмещенная оценка a*;

b¹- несмещенная оценка b*.

Для этих целей применяем имеющийся в табличном редакторе  Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: «Сервис» – «Анализ данных» – «Регрессия».

a1	b1
234403,8	0,48

После определения значений a¹ и b¹ необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, использовав соотношения:

       ,                                   (2.9)

 

где a", b" – соответственно несмещенные оценки a, b.

Сами значения величин a", b" определяем по формулам:

                                       (2.10)

 

a"	b"
157874,9	0,32

 

Использовав найденные значения a" и b", записываем уравнение функции потребления (2.1):

C(t)= 127811,09 + 0,31*Y_t+u_t.

Сравниваем найденные по формуле (2.10) значения a" и b" с величинами a и b, заданными в таблице 1 (a_табл. = 127500, b_табл. = 0,31) и рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:

                         (2.11)

,

.

2.3. Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК

Для определения параметров уравнения регрессии с помощью  прямого МНК, необходимо определить по формуле (2.2)значения величин Y_t (для t в пределах от t1 до t14), используя значения C_t и I_t из таблицы 5. Полученные значения заносим в таблицу 6.

Таблица 6

t	Yt
1	361641
2	368906
3	329611
4	335822
5	314516
6	300431
7	283022
8	285858
9	275057
10	248080
11	241717
12	231011
13	233508
14	222413

 

Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения C_t и Y_t, определяем с помощью МНК смещённые оценки a^см и b^см величин a и b, используя уравнение (2.1). Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В рассматриваемой задаче:

aсм	bсм
152344,7	0,34

Далее сравниваем полученные значения a^см и b^см с табличными значениями a и b, и находим проценты несовпадения данных величин по формулам: