Модель межотраслевого баланса Леонтьева: основные положения, балансовые соотношения, матрица прямых и полных затрат, продуктивность матр

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Модель межотраслевого баланса Леонтьева: основные положения, балансовые соотношения, матрица прямых и полных затрат, продуктивность матрицы прямых материальных затрат (вопрос 21).

 

 

 Алгебраическая теория анализа Леонтьева «затраты - выпуск» сводилась к системе линейных уравнений, представленные коэффициентами затрат на производство продукции. Эти коэффициенты оцениваются статистически, их можно прогнозировать. Различают отчетный межотраслевой баланс, который отражает структуру производства и потребления продукции за год, и плановый межотраслевой баланс, предназначенный для планирования производства валового внутреннего продукта, в натуральном или стоимостном измерении. Каждая отрасль в стране выступает как производитель и как потребитель.

Рассматривая модель межотраслевого баланса (МОБ) Леонтьева, или модель «затраты - выпуск», разобьем весь сектор народного хозяйства на n- чистых отраслей и введем следующие  обозначения:

xij – количество продукции i-й отрасли расходуемое в j-й отрасли;

Xi – объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени так называемый валовой выпуск продукции j;

Yi – объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере, объем коечного потребления;

Zj – условно чистая продукция j-отрасли, включающая оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	…	n
1 2 … n	х11 х21 … хn1	х12 х22 … xn2	… … … …	х1n х2n   хnn	Y1 Y2 … Yn	X1 X2 … Xn
Условно чистая продукция	Z1	Z2	…	Zn	n           n ∑Xj = ∑Zj i=1        j=1
Валовой продукт	X1	X2	…	Xn		n          n ∑Xj = ∑Zj i=1        j=1

 

В таблице отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Рассматривая таблицу по столбцам, видим, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли, т.е.                   n                   __

                               Хj = ∑xij + Zj , j =1,n

                                                          i=1   

    Это соотношение охватывает систему из n уравнений, отражающих продукцию всех отраслей в стоимостном выражении.

Рассматривая таблицу по строкам, можно видеть, что валовая продукция любой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли, т.е.               n                   __

                                                            Хi = ∑xij + Yi , i =1,n

                                                                                                      j=1   

 Балансовый характер таблицы выражается в том, что

n           n

∑Xj = ∑Zj

i=1        j=1

 

n          n

∑Xj = ∑Zj

i=1        j=1

 

Основой экономико-математической модели МОБ является матрица коэффициентов прямых затрат А = (аij). Коэффициент прямых затрат аij показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо для производства единицы продукции j-той отрасли:

                               __

Аij = хij/Хj,   i, j = 1,n.

 

Если предположить, что производство постоянное, то матрица А = (аij) постоянна.

Если для производства продукции Хj отраслью j затратим продукцию i в количестве аijXj: хij = aijXj

Подставив в балансовое соотношение, получаем:

               n               

       Хi = ∑аijХj + Yi или в матричной форме Х = АХ + Y

                        j=1   

 

Задавая величины валовой продукции Х можно определить объемы конечной продукции Y отрасли:  Y = (E - A)X, где Е – единичная матрица n-го порядка

Задавая величины валовой продукции Y можно определить объемы конечной продукции Х отрасли:  X = (E - A)-1Y, где матрица (E - A)-1 обратная матрице (E - A), определитель которой не равен 0. Обозначив В = (E - A)-1 получим Х= ВY, где элементы матрицы В называются коэффициентами полных затрат.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно производить, если выполняется условие продуктивности, т.е. выполняется условие при Х ≥ 0:  

Х>AX, отсюда Y>0

При выполнении одного из нижеперечисленных условий матрица коэффициентов прямых затрат продуктивна:

- матрице (Е-А) существует обратная  матрица (E - A)-1 ;

                                                            ∞

- матричный ряд Е+А+А2+А3+…= ∑Ak сходится и его сумма равна обратной

                                                           k=0

матрице (E - A)-1 ;

 

- решение уравнения ǀλЕ-Аǀ = 0 строго меньше единицы;

- все главные миноры матрицы положительны.

 

 

Задание 2.5.

 

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены ниже.

 

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска Е	Краска I
А В	1 2	2 1	6 8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

1. Введем переменные:

Х1 – суточная реализация краски Е (тонн),

Х2 – суточная реализация краски I (тонн).

2. Составим целевую функцию:

Z = f(х1, х2) = 3000Х1 + 2000Х2 ⇒ max

3. Составим ограничения:

Х1  ≥ 0                                                                                                            ①                                             

Х2  ≥ 0                                                                                                            ②

Ограничения по расходу А и В:

А:    Х1 + 2Х2 ≤  6;                                                                                        ③

В:    2Х1 + Х2  ≤   8.                                                                                       ④

По условию сказано, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более, чем на 1 т. Отсюда вытекает ограничение: Х2 - Х1 ≤  1;                                                                           ⑤

По условию спрос на краску I никогда не  превышает 2 т в сутки, тогда

ограничение Х2  ≤   2.                                                                                   ⑥

4. Решением уравнения Х1  = 0 является прямая, совпадающая с осью ОХ2, решением неравенства Х1  ≥ 0 является правая верхняя полуплоскость.
5. Решением уравнения Х2  = 0 является прямая, совпадающая с осью ОХ1 , решением неравенства Х2  ≥ 0 является правая верхняя полуплоскость.
6. Решением уравнения Х1 + 2Х2 =  6 является прямая,

решением неравенства Х1 + 2Х2 ≤  6 является полуплоскость. Подставим в неравенство координаты точки О(0;0) – верно, значит искомая полуплоскость содержит точку О.

Х1	0	6
Х2	3	0

7. Решением уравнения 2Х1 + Х2  = 8 является прямая,

решением неравенства 2Х1 + Х2  ≤ 8 является полуплоскость. Подставим в неравенство координаты точки О(0;0) – верно, значит искомая полуплоскость содержит точку О.

Х1	0	4
Х2	8	0

8. Решением уравнения Х2 - Х1 = 1 является прямая,

решением неравенства Х2 - Х1 ≤  1 является полуплоскость. Подставим в неравенство координаты точки О(0;0) – верно, значит искомая полуплоскость содержит точку О.

Х1	0	1
Х2	1	2

9. Решением уравнения Х2  = 2 является прямая, параллельная оси ОХ1 , решением неравенства Х2 ≤ 2 является полуплоскость, содержащая точку О.

 

10. Построим вектор С с координатами (3000;2000), или (3;2). Проведем нормаль к этому вектору. Т.к. задача на максимум, то, передвигая нормаль, смотрим, какая точка последней коснется нормали. Это точка D. Определяем ее координаты. Она лежит на пересечении прямых  ③ и ④ (рис.1)

  

{       -2  |             -2  |

                              ________________        ________________

                                      2Х1 + Х2 = 8                - 4Х1 – 2Х2 = -16 

                            +     - 2Х1 – 4Х2 = -12         +       Х1 + 2Х2 = 6

                                   ________________         ________________     

                                            - 3Х2 = - 4                   - 3Х1 = - 1

                                                Х2 = 1,333                   Х1 = 3,333

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение можно представить средствами Microsoft Excel:

 

 

Вывод: Максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666,67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I в количестве 1,333 т, а краски Е в количестве 3,333 т.

При решении задачи на минимум необходимо линию уровня двигать в направлении, противоположном вектору С. В таком случае min f(x) достигнет в точке О (0;0). Минимальный суточный доход от производства красок составит 0 ден.ед.

 

Ответ: оптимальный размер заказа 212 компьютеров, число заказов в течение года 43 и совокупные издержки на заказ и хранение составляют 217 тыс. руб. в год.

Задание 4.5.

 

Дистрибьюторская фирма заказывает компьютеры у фирмы-производителя. Издержки на одну партию заказа составляют 5000 руб., издержки на хранение 2000 руб. в год. Годовой спрос составляет 9000 шт. Дистрибьютор работает 300 дней в году. Определите оптимальный размер заказа, число заказов в течение года и совокупные издержки на заказ и хранение. Постройте график общих годовых затрат. 

 

Решение: