Линейная регрессия

 

Задача 1.

1. В таблице представлены данные об объемах продаж универмага (в млн. руб.). Проанализируйте эти данные и дайте прогноз продаж на 2010, 2011 года методом линейной регрессии.

Год	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Объем продаж	23,2	24	24,9	25,6	26,6	27,4	28,5

 

Построим график, на котором отобразим точки (рис. 1).

рис.1. Объем продаж

 

Составим уравнение  линейной регрессии вида:

.

Для расчета параметров и уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (таблица 1).

Таблица 1

 

№	x	y	x^2	y^2	x*y	y(x)	A%
2003	1	23,2	1	538,24	23,2	23,13	0,307881773
2004	2	24	4	576,00	48	24,00	0
2005	3	24,9	9	620,01	74,7	24,87	0,114744693
2006	4	25,6	16	655,36	102,4	25,74	0,558035714
2007	5	26,6	25	707,56	133	26,61	0,053705693
2008	6	27,4	36	750,76	164,4	27,49	0,31282586
2009	7	28,5	49	812,25	199,5	28,36	0,501253133
Сумма	28,00	180,20	140,00	4660,18	745,20	180,20	1,85
Сред.знач.	4,00	25,74	20,00	665,74	106,46	25,74	0,26

 

2. Вычислим коэффициенты и по формуле:

.

Тогда

.

Уравнение линейной регрессии примет вид:

,

.

С увеличением года объем продаж возрастет на 0,8714 % пункта.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент  корреляции:

.

Коэффициент детерминации равен

.

Это означает, что 99,75% вариации объема продаж объясняется вариацией фактора – годом продаж.

3. Оценку статистической значимости коэффициента корреляции проведем с помощью t-критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу о  статистически незначимом отличии  коэффициента от нуля.

.

Фактическое значение t-статистики равно

.

Фактическое значение превосходит  табличное значение, поэтому гипотеза отклоняется, т. е. не случайно отличается от нуля, а статистически значим.

Определим качество модели. Для этого рассчитаем среднюю  ошибку аппроксимации:

.

Качество построенной  модели оценивается как хорошее.

Следовательно, уравнение  линейной регрессии точно описывает зависимость между имеющимися данными.

Выдвинем гипотезу о статистически  незначимом отличии параметров и от нуля.

С помощью t-критерия Стьюдента вычислим

.

Рассчитаем дисперсию ошибки:

.

Тогда

.

Определим случайные  ошибки параметров и :

,

.

Тогда

,

.

Так как , то гипотеза отклоняется, т. е. параметр не случайно отличен от нуля, а статистически значим.

Так как  , то гипотеза отклоняется, т. е. параметр не случайно отличен от нуля, а статистически значим.

Рассчитаем доверительный  интервал для параметров и . Для этого определим предельную ошибку показателя:

,

.

Доверительные интервалы примут вид:

,

,

,

,

,

.

Следовательно, , .

4. Выполним прогноз продаж на 2010, 2011 года.

Прогноз на 2010 год составит

 млн. руб.

Прогноз на 2011 год составит

 млн. руб.

 

6. Построим график полученной линейной регрессии (рис 2).

 

рис. 2. Уравнение линейной регрессии