Контрольная работа по «Экономико-математическому моделированию»

     Задача. Построить модель связи между указанными факторами, проверить ее адекватность, осуществить точечный и интервальный прогноз.

Решение

1. Оформим исходные данные в виде таблицы:

                                                      Таблица 1.0.

i, номер	X Стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Y Среднесуточная производительность
1	2,50	33,80
2	2,00	30,60
3	2,90	37,80
4	3,30	40,20
5	3,80	41,50
6	4,00	44,30
7	5,00	50,00
8	7,40	60,20
9	7,50	58,30
10	6,90	62,60

    

     На основе таблицы исходных данных построим поля рассеяния (рис.1.).

     Анализируя построенное поле рассеяния, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость среднесуточной производительности Y от стоимости основных производственных фондов X, описывается линейной моделью вида:

         ,

где - неизвестные постоянные коэффициенты,

      - случайная переменная, отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.

Рис.1 « Зависимость среднесуточной производительности от стоимости основных производственных фондов»

     На основе  таблицы 1.0. составим вспомогательную  таблицу 1.1., необходимую для вычисления оценок неизвестных постоянных коэффициентов .

                                             Таблица 1.1.

i
1	2,50	33,80	84,5	6,25
2	2,00	30,60	61,2	4
3	2,90	37,80	109,62	8,41
4	3,30	40,20	132,66	10,89
5	3,80	41,50	157,7	14,44
6	4,00	44,30	177,2	16
7	5,00	50,00	250	25
8	7,40	60,20	445,48	54,76
9	7,50	58,30	437,25	56,25
10	6,90	62,60	431,94	47,61
Сумма	45,3	459,3	2287,55	243,61

 

     Для нахождения оценок используем следующие формулы:

     Найдем среднее  значение:

n = 10

     

   .

Следовательно,

Таким образом, получим линейное уравнение: .

 

     2. Коэффициент  парной корреляции  характеризует тесноту линейной зависимости между X и Y:

;

     Подставим  значения из таблицы 1.1., дополнив  ее еще одним столбцом:

                  Таблица 2.1.

33,8	1142,44
30,6	936,36
37,8	1428,84
40,2	1616,04
41,5	1722,25
44,3	1962,49
50	2500
60,2	3624,04
58,3	3398,89
62,6	3918,76
Сумма = 459,3	Сумма = 22250,11

    

.

     Используем t – критерий Стьюдента. Пусть уровень значимости равен 0,5: ,

для  получаем:

    Следовательно, гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается и между X и Y существует тесная линейная связь, причем положительная.

     Рассматривая  другие  варианты уровня значимости, получаем, что гипотеза принимается при любом уровне значимости.

     Коэффициент  парной корреляции  связан с коэффициентом уравнения регрессии следующим образом:

,

где  - выборочные среднеквадратические отклонения случайных переменных  X и Y соответственно.

Рассчитаем дополнительно столбцы:

                                                                                     Таблица 2.2.

i
1	2,5	33,8	-2,03	4,1209	-12,13	147,1369
2	2	30,6	-2,53	6,4009	-15,33	235,0089
3	2,9	37,8	-1,63	2,6569	-8,13	66,0969
4	3,3	40,2	-1,23	1,5129	-5,73	32,8329
5	3,8	41,5	-0,73	0,5329	-4,43	19,6249
6	4	44,3	-0,53	0,2809	-1,63	2,6569
7	5	50	0,47	0,2209	4,07	16,5649
8	7,4	60,2	2,87	8,2369	14,27	203,6329
9	7,5	58,3	2,97	8,8209	12,37	153,0169
10	6,9	62,6	2,37	5,6169	16,67	277,8889
Сумма	45,3	459,3	0	38,401	0	1154,461
Среднее	4,53	45,93

     Результат совпал с полученным выше.

 

     3.

     1) Используя  наблюдения над переменными X и Y, то есть , и уравнения регрессии , в котором коэффициенты неизвестны, составим отклонения

.

     2) Определим  сумму квадратов отклонений

     , которая является некоторой функцией .

     3) Оценки  неизвестных параметров регрессионной модели   ,   найдем из условия минимума функции  .

     4) Для нахождения точки минимума функции запишем необходимые условия экстремума .

     5) Определим  частные производные функции  :

     6) Необходимые  условия экстремума запишем еще раз:

     7) Система уравнений  записывается в виде системы  нормальных уравнений:

     Найдем численные  значения оценок  . Обозначим

  , ,  ,

     Тогда    .

     В матричном  виде система запишется  ,

ее решением будет вектор А:

,

 где  - матрица, обратная к матрице .

    Используя вычисленные  в таблице 1.2. значения, получим

  .

     Найдем матрицу  , обратную к . Для этого сначала вычислим главный определитель:

.

     Определим  матрицу алгебраических дополнений:

,

 где  - минор элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца.

 составим присоединенную  матрицу

 здесь  , так как матрица симметрична.

.

     Найдем вектор  оценок А:

=

= - решение системы нормальных уравнений.

Отсюда, .

     4.Составим таблицу:

                                                                                      Таблица 4.1.

i			1,75
1	2,5	33,8	13,475	34,995	-1,195	1,428025
2	2	30,6	10,78	32,3	-1,7	2,89
3	2,9	37,8	15,631	37,151	0,649	0,421201
4	3,3	40,2	17,787	39,307	0,893	0,797449
5	3,8	41,5	20,482	42,002	-0,502	0,252004
6	4	44,3	21,56	43,08	1,22	1,4884
7	5	50	26,95	48,47	1,53	2,3409
8	7,4	60,2	39,886	61,406	-1,206	1,454436
9	7,5	58,3	40,425	61,945	-3,645	13,28603
10	6,9	62,6	37,191	58,711	3,889	15,12432
Сумма	45,3	459,3	244,167	459,3	0,0	39,48276
Среднее	4,53	45,93

 

     Рассчитаем  коэффициент детерминации:

,

коэффициент детерминации ;

     Следовательно, регрессия Y на Х объясняет 97 % колебаний значений  Y. Это свидетельствует о значительном влиянии независимой переменной Х на зависимую переменную Y.

     Проверим гипотезу  о статической незначимости коэффициентов уравнения регрессии и показания тесноты связи.

     Используем t – критерий Стьюдента. Он связан со статистикой Фишера:

. Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера:

  .

     Для парной регрессии , поэтому

, где  - коэффициент детерминации.

У нас

.

     Так как  , то гипотеза отвергается  и признается статистическая значимость коэффициентов уравнения.

    

     5. Рассчитаем  коэффициент детерминации: (результат был получен выше), то есть вариация среднесуточной производительности на 98% объясняется вариацией стоимости основных производственных фондов.

     Выдвинем гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя полноты связи.

     Рассчитаем  фактическое значение F-статистики Фишера: - результат получен выше.

     Табличное  значение  = 5,32 при уровне значимости равном 0,05. Для зависимости Х от Y выполняется неравенство < . Гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость, надежность уравнения регрессии.

 

     6. Построим дисперсионный анализ.

 

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1115,63	1115,63	226,0	0,00
Остаток	8	39,48	4,935
Итого	9	1155,11

 

     Разложение  суммы квадратов зависимой переменной  на сумму квадратов модели и остатков :

     = + , где   

     Составим таблицу:

 

 

 

                                                                                 

      Таблица 6.1.

-10,935	119,5742
-13,63	185,7769
-8,779	77,07084
-6,623	43,86413
-3,928	15,42918
-2,85	8,1225
2,54	6,4516
15,476	239,5066
16,015	256,4802
12,781	163,354
0,0	1115,63

     MS – средние квадраты – это суммы квадратов, приходящихся на одну степень свободы df.

    Для регрессии:

                              .

    Для остатков:

                            .

     Выборочное  значение F-статистики Фишера определяется по формуле:

                 - это совпадает с результатами, полученными через коэффициент детерминации.

    

     7. Точечный  прогноз величины Y в точке есть

= , где =(1, ) – вектор независимого переменного, для которого определяется прогноз.

     Пусть прогнозная  точка  = 8 млн. руб.

Определим вектор =(1;8).

Найдем точечный прогноз:

= 21,52 + 5,39 * 8 = 64,64.

     Таким образом, получили, что при стоимости основных производственных фондов 8 млн. руб. получим среднесуточную производительность равную 64,64 тонн.

 

     8. Для получения интервального прогноза рассчитаем доверительные интервалы для признака .

Вычислим значения всех параметров,

                                                                  ,

где  - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала,

         =(1, ) – вектор независимой переменной,

         - квантиль распределения Стьюдента.