Контрольная работа по "Математические модели в экономике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Сентября 2013 в 15:14, контрольная работа

Краткое описание

Используя графический метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное значения линейной функции на одном и том же множестве планов.

Вложенные файлы: 1 файл

7175 Мат. модели в.6 450 руб..doc

— 145.00 Кб (Скачать файл)

Вариант 6.

Задание 1.

Используя графический  метод решения линейных программ, найти максимальное и минимальное  значения линейной функции на одном  и том же множестве планов.

Решение:

Решим задачу максимизации. Областью решения линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой, а областью решения системы линейных неравенств – часть плоскости, ограниченная данными прямыми. Строим в прямоугольной системе координат прямые 5х1-2х2=4, -х1+2х2=4, х1=4/3, х12=4.

Находим область решения  данной системы:


Для всех ограничений  получаем область в виде точки А. Находим ее координаты:

 откуда А(1,33; 2,67). 

Определяем значение целевой функции:

L(А)=х1+2х2 = 1,33 + 2*2,67 = 6,7.

То есть и минимум функции, и максимум, равный 6,7, достигается в точке А(1,33; 2,7).

Ответ: 1) Lmax = Lmin = L(1,33; 2,67) = 6,7.

 

Задание 2.

Построить математическую модель задачи и решить ее средствами Excel. Записать сопряженную задачу. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

Чаеразвесочная фабрика  выпускает чай сорта А и  В, смешивая три ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай. В таблице приведены нормы расхода ингредиентов и прибыль от реализации 1 т чая сорта А и В.

Ингредиенты

Норма расхода

Объем запасов

А

В

Индийский чай

0,5

0,2

600

Грузинский чай

0,2

0,6

870

Краснодарский чай

0,3

0,2

430

Прибыль от реализации одной  тонны продукции

3200

2900

 

Требуется составить  план производства чая с целью максимизации суммарной прибыли.

Решение:

Обозначим через х1, х2 – количество тонн чая видов А и В соответственно. Строим математическую модель:

L(x) = 3200x1 + 2900x2  - целевая функция

   - ограничения по индийскому чаю,

    - ограничения по грузинскому чаю,

    - ограничения по краснодарскому  чаю.

Имеем задачу линейного  программирования. Для решения задачи средствами Excel заполним следующую таблицу:

Ингредиенты

Норма расхода

Вычисленные значения

Соотношения

Ограничения

А

В

Количество, Х

         

Индийский чай

0,5

0,2

0

<=

600

Грузинский чай

0,2

0,6

0

<=

870

Краснодарский чай

0,3

0,2

0

<=

430

Прибыль от реализации одной тонны  продукции

3200

2900

0

   

Применяем команду Сервис/Поиск решения:

Устанавливаем параметры:

и получаем результат:

Исходная таблица принимает  вид:

Ингредиенты

Норма расхода

Вычисленные значения

Соотношения

Ограничения

А

В

Количество, Х

600

1250

     

Индийский чай

0,5

0,2

550

<=

600

Грузинский чай

0,2

0,6

870

<=

870

Краснодарский чай

0,3

0,2

430

<=

430

Прибыль от реализации одной тонны  продукции

3200

2900

5545000

   

То есть максимальную прибыль в 5545000 тыс. единиц предприятие получит, реализуя 600 т чая вида А и 1250 т чая В.

 

Задание №3.

Решить симплексным  методом одну из пары двойственных задач задания №2. Обосновать выбор  модели для применения симплексного метода. Записать ответы для обеих  задач. Провести анализ и сделать  выводы по полученным результатам.

 

Решение:

Имеем прямую задачу:

L(x) = 3200x1 + 2900x2  

 

  

Сопряженная задача имеет  вид:

Здесь у1, у2, у3 – количество затраченного сырья, а целевая функция сводит к минимуму потребление ресурсов (в денежном выражении). То есть предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить максимальную производительность, или продать ресурсы по оптимальным ценам, и возместить минимальные затраты на ресурсы.

В данном случае проще  решить прямую задачу, добавляем ослабляющие переменные и составляем первую симплексную таблицу:

L(x) = 3200x1 + 2900x2  

 

.  

 

x1

x2

x3

x4

x5

Правая часть

Оценка

x3

0,5

0,2

1

0

0

600

3000

x4

0,2

0,6

0

1

0

870

1450

x5

0,3

0,2

0

0

1

430

2150

L

3200

2900

         

Критерий оптимальности  для задачи максимизации – отрицательность переменных нижней строки, опорное решение Х = (0, 0, 600, 870, 430) не оптимально. Разрешающий элемент – второй столбец, вторая строка, составим новую симплексную таблицу:

 

x1

x2

x3

x4

x5

Правая часть

Оценка

x3

0,433333

0

1

-0,33333

0

310

715,3846

х2

0,333333

1

0

1,666667

0

1450

4350

x5

0,233333

0

0

-0,33333

1

140

600

L

2233,333

0

0

-4833,33

0

-4205000

 

Критерий оптимальности  для задачи максимизации – отрицательность  переменных нижней строки, опорное  решение Х = (0, 4350, 715, 0, 600) не оптимально. Разрешающий элемент – первый столбец, третья строка, составим новую симплексную таблицу:

 

 

x1

x2

x3

x4

x5

Правая часть

Оценка

x3

0

0

1

0,285714

-1,8571

50

 

х2

0

1

0

2,142857

-1,428

1250

 

х1

1

0

0

-1,42857

4,2857

600

 

L

0

0

0

-1642,86

-9571,428

-5545000

 

Критерий оптимальности  выполнен, решение Х* = (600, 1250, 50, 0, 0) оптимально.

В данной задаче соответствие между переменными принимает  вид:

x1

x2

x3

x4

x5

y4

y5

у1

у2

у3


На основании первой теоремы двойственности Zmin = Lmax = 5545000. На основании второй теоремы двойственности оптимальное решение двойственной задачи У* = (0, 0, 0, 1642, 9571).


Информация о работе Контрольная работа по "Математические модели в экономике"