Контрольная работа по «Эконометрика»

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Гулевская Римма Михайловна

3 курс

Группа БУ

Личное дело № 09УБД11133

Преподаватель:

Суровцев А.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Липецк 2012 г.

 

Задача

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• Гиперболической;
• Степенной;
• Показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Х	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
Y	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

 

Решение

1. Найти параметры  уравнения линейной регрессии,  дать экономическую интерпретацию  коэффициента регрессии.

Введем исходные данные (рис.1).

 

Рис 1. Исходные данные

 

Уравнение линейной регрессии  имеет вид:

y=a₀+a₁*x (1)

По формулам (2) и (3) определим значения а₀ и а₁ (рис.2).

а₁=(у*х-у_ср*х_ср)/(х^2-х_ср*х_ср), (2)

а₀=у_ср-а₁*х_ср (3)

 

 

Рис 2. Нахождение а₁ и а₀

 

Рис 3. Значение параметров а₀ и а₁

 

В результате этого уравнение  регрессии будет иметь вид:

y= 12,57+1,32*x

Угловой коэффициент а₁=1,32. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 1,32 млн. руб.

 

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Для нахождения остатков используем формулу:

 (4)

Рис 4. Нахождение остатков

 

Формула остаточной суммы  квадратов:

 (5)

Рис 5. Остаточная сумма квадратов

 

Оценим дисперсию остатков:

   (6)

Рис 6. Дисперсия остатков

 

Построим график остатков

Рис 7. График остатков

 

3. Проверить выполнение  предпосылок МНК.

Исследования остатков предполагают проверку наличия следующих  пяти предпосылок МНК:

1. случайный характер остатков. Случайность остатков можно определить графически. Они имеют хорошую разбросанность по горизонтальному коридору, что свидетельствует об их случайности (рис 7.).
2. нулевая средняя величина остатков. Чтобы средняя была равна нулю, необходимо, чтобы сумма остатков была равна нулю.

Рис 8. Сумма остатков

 

Сумма всех остатков равна  нулю, предпосылка выполнена.

3. Гомоскедастичность — дисперсия каждого отклонения   одинакова для всех значений хj. Определим по методу Гольдфельда-Кванта. Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной Х.

Рис 9. Наблюдения по мере возрастания Х

 

Разделим совокупность на 2 группы и определим по каждой уравнение регрессии

Рис 10. Первая группа

 

ŷ_x =5,17+1,57x

 

Рис 11. Вторая группа

 

ŷ_x =37,96+0,71x

Найдем отношение  

_{Рис 12. Нахождение Fрасч}

 

F_расч=2,62<F_табл=5,391, следовательно, свойство гетероскедастичности не имеет места, т.е. остатки обладают свойством гомоскедастичности.                   

4. Отсутствие автокорреляции остатков. Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:

 

Рис 13. Нахождение d-критерия

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

 

4. Осуществить проверку  значимости параметров уравнения  регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

 (7)

,  (8)

где 

тогда по формулам (7) и (8)

Рис 14. Проверка значимости параметров уравнения

 

Табличное значение t - критерия при  и степенях свободы (10-1-1=8) составляет 2,3060. Так как t расч > t табл, то параметры модели значимы.

Рис 15. t_расч., t _табл.

 

5. Вычислить коэффициент  детерминации, проверить значимость  уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

1. Коэффициент детерминации находится по формуле (9).

 (9)

R²=0,9173, значит вариация результата у объема выпуска продукции на 91,73% объясняется вариацией фактора х объемом капиталовложений.

2. F - критерий Фишера:

Табличное значение F - критерия Фишера при  равно:

Так как Fрасч>Fтабл, то уравнение регрессии является адекватным, т.е. статистически значимым.

3. Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле (10).

 (10)

А=3,65

Рис 16. Средняя относительная  ошибка аппроксимации

Поскольку найденная  средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, модель считается достаточно точной.

 

6. Осуществить прогнозирование  среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

Ширина доверительного интервала  находится по формулам:

 (11)

 (12)

- прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

- точечный прогноз.

(36,8; 61,11) – точка должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

 (13)

Нижняя граница: 61,11-1,86 3,26=55,06

Верхняя граница: 61,11+1,86 3,26=67,17

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 36,8, точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 61,11. Доверительный интервал: 55,06 67,17.

 

7. Представить графически: фактические и модельные значения  точки прогноза.

Рис 17. Фактические и модельные значения

точки прогноза

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• Гиперболической;
• Степенной;
• Показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

 

а) Гиперболическая функция.

Уравнение гиперболической  функции имеет вид:

   (14)

Произведем линеаризацию путем замены: X=1/x, получим:

 

Для получения необходимых  значений построим таблицу:

Рис 18. Данные

Значения параметров a₁ и а₀ получим, используя таблицу и формулы.

 

 

б) Степенная функция.

 (15)

 

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Для получения необходимых  значений построим таблицу:

Рис 19. Данные

 

Уравнение регрессии будет иметь  вид:

 

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив операцию потенцирования данного уравнения.

 

в) Показательная функция.

Уравнение показательной  кривой имеет вид:

 (16)

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

 

Для получения необходимых  значений построим таблицу:

Рис 20. Данные

Значения параметров а₀ и а₁ получим, используя таблицу и формулы.

 

    

 

Уравнение регрессии  будет иметь вид:

            0,01 + 1,42 * x

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив операцию потенцирования данного уравнения.

10 ^0,01 * (10 ^1,42)^x = 1,02 * 26,3^x    

      

Рис. 21 График построенных уравнений регрессии

 

9. Для указанных моделей  найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам  и сделать вывод.

 

Коэффициент детерминации:

    ₍₁₇₎

Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

 

(18)

 

Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Таблица 1. 

Модель	R2	Ae/y,%
Гиперболическая	0,94	3,33
Степенная	0,92	3,53
Показательная	0,9	4,08

 

 

 

 

 

При сравнении гиперболической, степенной и показательной  моделей  по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² имеет гиперболическая модель, при этом она имеет наименьшую ошибку аппроксимации, следовательно именно её можно считать лучшей.