Кибернетические модели и их математическое описание

Кибернетические модели и их математическое описание.

 

"Черный ящик". - Концепция "вход-выход". - Оператор как  модель для описания концепции "вход-выход". - Линейный оператор (однородный и неоднородный). - Матрица, операции дифференцирования и  интегрирования как примеры линейных операторов. - Процессы "без памяти" - Марковские процессы. - Уравнение Колмогорова (Фоккера-Планка) и его статистическая интерпретация. – Вопросы и задания.

 

"Черный ящик".

Как мы уже знаем, исследуемый объект, рассматриваемый как система, входит составной частью в целый ряд разных иерархических систем. В социальных и экономических системах – в основном объекте изучения экономической кибернетики – главным действующим лицом является человек. Поэтому, изучая конкретную социальную или экономическую задачу, мы вынуждены «обрывать» на некотором этапе иерархию систем, «идущую вниз». Сделаем ли мы это на человеке, или на некоей совокупности людей – это уже зависит от исследуемой задачи.

В качестве «наименьшего» элемента, который мы будем рассматривать как «неделимый», конечно, не обязательно выступает человек. Вполне может оказаться, что в качестве такого «неделимого» элемента мы будем рассматривать, например, отдельные фирмы (для задач оптимизации управления экономикой региона), социальные группы (для задач распределения средств госбюджета), или отрасли экономики (при рассмотрении баланса ресурсов в рамках валового внутреннего продукта).

Другими словами: на некотором этапе исследования некие составляющие нашу систему элементы полагаются нами уже не системами, а «конечными» и «неделимыми» объектами. Таким образом, иерархия систем разворачивается вверх, исходя от таких объектов, которые, тем  самым, становятся объектами самого низкого уровня иерархии.

Такой объект – в силу сделанных нами предположений (то есть с нашей ситуативной точки зрения) – уже не будет иметь «внутреннего строения». Поэтому он должен рассматриваться как объект, который может быть охарактеризован  - в рамках рассматриваемой нами задачи – только двумя классами характеристик. Необходимость этого возникает вследствие той причины, что такие объекты должны формировать систему – то есть они должны обладать возможностью образовывать связи друг с другом.

Но это возможно только при выполнении двух условий.

Во-первых, объект должен обладать способностью воспринимать воздействие со стороны других подобных объектов (это может быть  информация, сведения, данные, сигналы и т.п.). Во-вторых, он сам должен обладать способностью «генерировать» такие воздействия, которые будут оказывать влияние на другие подобные ему объекты. Наконец, в-третьих, и воспринимаемые, и генерируемые воздействия должны принадлежать к одному и тому же классу, то есть характеризоваться «примерно одинаковыми» переменными, данными, характеристиками. (Последнее условие не всегда является обязательным: например, некоторые такие объекты могут быть «задействованы напрямую» на более высокие иерархические уровни. Однако, как правило, такое бывает чрезвычайно редко, и поэтому это третье условие часто упускают. Таким образом, приходим к определению

 

Фрагмент системы, который рассматривается как единое целое и характеризуется только своим «входом» (обладая, тем самым, способностью воспринимать воздействия от других фрагментов системы) и «выходом» (посредством которого он сам взаимодействует с другими объектами системы, в том числе и «отвечает» на из воздействия на него), называется черным ящиком.

 

Черный ящик – это, пожалуй, наиболее мощное абстрактное понятие, существующее в рамках кибернетики. Именно вследствие его введения появляется возможность построения замкнутых систем, моделирующих исследуемый объект или процесс. Черный ящик – это «мера нашего незнания» об исследуемой системе.

Как правило, он обозначается следующим образом в виде прямоугольника, в который входящими стрелочками обозначены входные (in) характеристики черного ящика – параметры, которые им преобразуются в выходные (out) характеристики черного ящика.

 

 

 

 

 

 

 

 

Концепция "вход-выход".

Итак, чтобы задать (например, описать) черный ящик, необходимо задать соответствие «входные параметры» - «выходные параметры». При этом следует помнить, что внутреннее строение такого ящика остается для нас неизвестным: мы не знаем, как он устроен, не знаем, как он функционирует, не знаем, какие он может иметь состояния и как осуществляется переход между его состояниями (даже если они у него есть). Единственное, что можно сказать – это только построить модель описания входных характеристик такого объекта (совокупность классов переменных, на которые он «отвечает»), и соотнести ее (определенными соотношениями) с моделью выходных характеристик черного ящика (то есть с совокупностью классов переменных, в рамках которых могут быть выражены его «ответы»).

В общем случае, тем самым предполагается, что такой объект – черный ящик – интегрирован в качестве «активного элемента» в некую систему. Особенно наглядно это видно в случае графического (например, в виде блок-схемы) описания системы.

 

Данные (характеристики, параметры, информация и т.п.), которыми характеризуется вход, часто называются входными сигналами черного ящика. Данные (характеристики, параметры, информация и т.п.), которыми характеризуется выход, часто называются выходными сигналами черного ящика. Такая терминология пришла из технических систем, к которым и было впервые применено представление о черном ящике.

 

Оператор как модель для описания концепции "вход-выход".

При переходе к математическим моделям, на математический уровень описания, такой преобразователь переменных из одного множества (входные характеристики) в другое (выходные характеристики) моделируется оператором.

Известно математическое определение оператора:

 

Пусть V и W -  некие множества (например, векторные или линейные пространства). Оператором А, действующим из V в W, называется отображение вида A: V®W, которое сопоставляет каждому элементу х множества V  некоторый элемент у множества W. Как правило, для оператора используется обозначение у=А(х) или у=Ах.

 

Таким образом, черный ящик выступает как оператор в том случае, когда:

1. Параметры, которые характеризуют вход черного ящика, могут быть сгруппированы в некое множество V .
2. Параметры, которые характеризуют выход черного ящика, могут быть сгруппированы в некое множество W.
3. Задано некоторое правило (алгоритм, способ преобразования, расчета, и т.п.), которое позволяет по известному входному сигналу – значению х из множества V, рассчитать значение у из множества W выходных сигналов черного ящика.

 

В силу сказанного, черный ящик выступает как модель исследуемой системы. А в операторе, которым он моделируется, и заключена, по сути, математическая модель элемента, составляющего нашу систему. По этой причине, математическое описание черного ящика и отодвинуто, как правило, на последние этапы моделирования.

 

Линейный оператор.

Важным классом операторов являются так называемые линейные операторы. Хотя сегодня поле деятельности в моделировании реальных систем с помощью линейных операторов крайне ограничено, они, тем не менее, все еще выступают в качестве мощного средства математического анализа систем.

 

Как мы уже писали, модели систем также являют собой иерархическую систему логически связанных терминов и понятий. Поэтому достаточно часто оказывается, что система, которая описывается нелинейным образом на определенном уровне логической глубины понимания, на более высоком уровне вполне может быть описана в рамках уже линейного аппарата и линейных операторов. Примеры таких описаний будут приведены в последующих главах.

 

Однако вернемся к линейным операторам. Дадим, наконец, их определение.

 

Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов х1 их2 из множества V  и любого комплексного числа l выполняются соотношения:

1. А(х1+х2)=Ах1+Ах2 (свойство аддитивности оператора), и
2. А(lх)=lАх (свойство однородности оператора).

 

Примеры линейных операторов.

Приведем несколько примеров математических объектов, которые являются линейными операторами.

Матрица как линейный оператор.

Обычная матрица является линейным оператором, если рассматривать ее как преобразование одного вектор-столбца х в другой вектор-столбец, у.

 

 (4.1)

 

Соотношения (4.1) записаны для случая квадратной матрицы оператора А, что соответствует тому, что множества Х и У в нашем случае совпадают и представляют собой совокупности вектор-столбцов размерности n.

Легко убедиться, что матрица действительно является линейным оператором. Действительно, первое условие выполняется вследствие свойства умножения матриц. Второе условие доказывается путем перегруппировки множителей в записи умножения матриц:

 

  (4.2)

 

Здесь под знаком матрицы был расписан i–тый элемент матрицы-столбца, соответствующего результату умножения квадратной матрицы на вектор-столбец.

 

Таким образом, матрица, известная из курса высшей математики, в рамках экономической кибернетики может рассматриваться как линейный оператор, который моделирует ряд свойств черного ящика. В частности, таким образом могут описываться модели управления – тогда вектор-столбец х являет собой необходимую для решения информацию, а вектор-столбец у – описывает само решение. Матрица А в этом случае – это сокращенная запись алгоритма принятия решений, который соответствует нашей модели.

 

Операция дифференцирования как линейный оператор.

Операция дифференцирования – взятия производной от определенной функции – также является линейным оператором.

В этом случае Х – это множество всех (дифференцируемых нужное количество раз!) функций, а У – это тоже множество функций (но уже дифференцируемых количество раз, на единицу меньше, чем у функций из множества Х!).

Обозначая элемент множества Х через f(t), легко проверяем выполнимость условий 1) и 2) из определения линейного оператора.

 

  (4.3)

 

Отметим, что, как легко доказывается таким же способом, оператор

 

   (4.4)

 

где Q(t) – произвольная функция, также является линейным. Подчеркнем, что в записи (4.4) первым на функцию f(t) всегда действует дифференцирование, а уж потом – умножение результата дифференцирования на функцию Q(t). Выполнение именно такой последовательно действий чрезвычайно важно, в чем легко убедиться, сравнивая результаты двух разных алгоритмов действий: первого – «сначала продифференцировать а уж потом умножить», и второго – «сначала умножить, а уж потом продифференцировать»!

 

 

Операция интегрирования.

С операцией интегрирования, после всего рассмотренного выше, вопросов не возникает: конечно, она – взятие неопределенного интеграла – также является оператором линейным. Собственно, об этом говорилось еще в рамках курса высшей математики – но тогда Вы даже и не подозревали, что это, по сути, идет рассказ о математических моделях!

 

Что такое банк? – это объект «интегрирующий». Что такое рейтинги – экономические или социальные? – это процедура дифференцирования.

 

Процессы "без памяти" - марковские процессы.

Рассмотрим систему. Пусть она может быть в некотором количестве разных состояний. Пусть вследствие каких-то причин – то ли внутреннего, то ли внешнего происхождения – система будет переходить из одного состояния в другое.

Такие переходы могут быть двух родов. Переходы первого рода – когда система из состояния i переходит в состояние k: i®k, и притом такой переход осуществляется всегда. Таким образом, процессы в системе – для этого класса случаев – могут быть заданы как цепочка сменяющих друг друга состояний.

Но может быть и другой случай: система осуществляет переход i®k в вероятностном смысле. Другими словами, конечное состояние системы уже не фиксировано (как было ранее!), и для следующего состояния системы открыты, в общем случае, все состояния (включая и вероятность – возможность – остаться в прежнем).

Для практических приложений весьма важное значение имеет случай, когда вероятности перехода системы в иное состояние зависят только от текущего ее состояния, - то есть от того состояния, в котором она находится в настоящий момент, но не от того, в каких состояниях она находилась ранее.

Именно такие случаи имеют место во многих экономических ситуациях. Нам, например, совершенно безразлично, какие достижения имела фирма ранее: нас, как инвесторов, интересует ее прогноз на будущее – а он определяется только ее настоящим положением на рынке.

 

Таким образом, случайные процессы могут служить достаточно мощным аппаратом для моделирования динамики, смены состояний и перспектив развития в социальных и экономических системах. Существуют разные способы рассмотрения такой случайности. Например, случайность может быть «введена» в на уровне модели исследуемой системы посредством того, что переходы между состояниями системы осуществляются в случайные моменты времени. Или же – сами переходы являются случайными, - например, существует вероятность перехода в несколько разных состояний. В общем же случае – может быть все: и случайные моменты времени, и случайные переходы между состояниями, да и сами вероятности таких переходов могут быть случайными – например, когда они происходят под воздействием случайных изменений во внешней по отношению к исследуемой системе среде. Заметим, что в последнем случае мы приходим к модели описания взаимодействия изучаемой системы со внешней средой!