Исследование динамики эконометрического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Исследовать динамику эконометрического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Задачи 1–10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2,…, 9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	74	34	50	38	23	44	60	41	63
2	43	47	50	48	54	57	61	59	65
3	3	7	10	11	15	17	21	25	23
4	30	28	33	37	40	42	44	49	47
5	5	7	10	12	15	18	20	23	26
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28
7	20	27	30	41	45	51	51	55	61
8	8	13	15	19	25	27	33	35	40
9	45	43	40	36	38	34	31	28	25
10	33	35	40	41	45	47	45	51	53
11	7,4	13,7	8,7	12,2	7,6	12,7	18,2	8,8	9
12	7	12,8	9,5	8,9	5,8	14,2	19,6	10,5	10,5
13	9,2	12,6	10,7	13,6	7,2	5,4	16,4	5,1	2,7
14	4,6	11,7	7,9	11,3	5,5	9	16	3,8	3,8
15	3,2	7,2	1,2	2,6	6,2	4,9	9,4	4,2	5,8
16	1,3	5	2	2,9	3,9	3,3	5,5	3,6	4,9
17	6,4	9,9	8,9	8,6	5,2	6,3	11,2	3,1	1,9
18	45	144	132	111	180	140	116	126	162
19	2,4	7,2	1,6	1,8	3,7	3,4	4	4,1	4,3
20	66	55	21	52	74	34	50	38	23
21	7,6	12,7	18,2	8,8	9	9,9	14,3	15,3	8,5
22	5,8	14,2	19,6	10,5	10,5	6,8	14,4	12,3	9,4
23	7,2	5,4	16,4	5,1	2,7	8,4	13,7	12,7	14,1
24	5,5	9	16	3,8	3,8	7,2	10,3	8,8	11,2
25	6,2	4,9	9,4	4,2	5,8	5,7	6,3	4,9	5,3
26	3,9	3,3	5,5	3,6	4,9	3,1	1,9	3,7	5,2
27	5,2	6,3	11,2	3,1	1,9	6,6	6	6,2	5,8
28	180	140	116	126	162	111	130	98	184
29	3,7	3,4	4	4,1	4,3	4,3	2,3	3,3	3,9

 

 

 

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных  наблюдений;

2. Построить линейную  модель Ŷ (t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3. Построить адаптивную  модель Брауна Ŷ (t) = a₀ + a₁k с параметром сглаживания α = (0,1); выбрать лучшее значения параметра сглаживания;

4. Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия  нормальному закону распределения  (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7);

5. Оценить точность моделей  на основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации;

6. По двум построенным  моделям осуществить прогноз  спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза  рассчитать при доверительной  вероятности p = 90%);

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
8. Используя SPSS, подобрать наилучшую модель тренда для осуществления прогноза. Осуществить прогноз на 2 периода вперед.
9. Произвести моделирование временных рядов с использованием программы Gretl.

Вычисления провести с  одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

 

 

 

 

 

 

 

 

 
1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика. 
, 
где  - стандартное отклонение уровней ряда.

Используем метод Ирвина, для этого найдем λ t
Подготовим Sy- выборочное среднее квадратичное отклонение признака У.
Sy=	7,293452
t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	43	47	50	48	54	57	61	59	65
λ t		0,548697	0,411523	0,274348	0,823045	0,411523	0,548697	0,274348	0,823045
λ кр.=1,5
Так как в данной задаче нет ни одного				λ t , которое было бы больше, чем
λ кр.=1,5, следовательно, нет  аномальных наблюдений, сглаженный ряд  не нужен.

 

 
2. Линейную трендовую  модель   строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия»: 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,970013862
R-квадрат	0,940926893
Нормированный R-квадрат	0,932487878
Стандартная ошибка	1,895064601
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	400,4166667	400,4166667	111,4972376	1,4929E-05
Остаток	7	25,13888889	3,591269841
Итого	8	425,5555556
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%		Верхние 95%		Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	40,86111111	1,376732514	29,67977489	1,27015E-08	37,60565602		44,1165662		37,60565602	44,1165662
t	2,583333333	0,244651788	10,55922524	1,4929E-05	2,004823782		3,161842884		2,004823782	3,161842884
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y(t)	Остатки
1	43,44444444	-0,444444444
2	46,02777778	0,972222222
3	48,61111111	1,388888889
4	51,19444444	-3,194444444
5	53,77777778	0,222222222
6	56,36111111	0,638888889
7	58,94444444	2,055555556
8	61,52777778	-2,527777778
9	64,11111111	0,888888889
Таким образом, а0=40,86, a1=2,6
Модель построена, ее уравнение  имеет вид
Коэффициент регрессии a1=2,6, показывает, что спрос на ресурсы  кредитной компании У, с каждой неделей увеличивается в среднем на 2,6 млн. руб.

Коэффициент детерминации уравнения R²»0,941 превышает критическое значение  для a=0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R² показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной моделью. 
 
3. Построение адаптивной модели Брауна.

 
1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а₀ и а₁ линейной модели 
.

 

 

Расчет параметров по первым пяти точкам
№	yt	t	t-tср	(t-tср)^2	yt-yср	(t-tср)(yt-yср)
1	43	1	-2	4	-5,4	10,8
2	47	2	-1	1	-1,4	1,4
3	50	3	0	0	1,6	0
4	48	4	1	1	-0,4	-0,4
5	54	5	2	4	5,6	11,2
сумма	242	15		10		23
среднее	48,4	3

 

 

t	yt	a0	a1	yрасч	et	abs(et)/yt
0		41,5	2,3
1	43	43,288	2,172	43,8	-0,8	0,018605
2	47	46,4456	2,4184	45,46	1,54	0,032766
3	50	49,59104	2,60016	48,864	1,136	0,02272
4	48	49,50883	1,929568	52,1912	-4,1912	0,087317
5	54	53,07782	2,339424	51,4384	2,5616	0,047437
6	57	56,43021	2,592664	55,41725	1,582752	0,027768
7	61	60,28823	2,909005	59,02287	1,977126	0,032412
8	59	60,51101	2,237446	63,19724	-4,19724	0,07114
9	65	64,18944	2,597694	62,74845	2,251548	0,034639
среднее	53,77778					0,374803

 
Получаем начальные значения параметров модели Брауна  и , которые соответствуют моменту времени t=0. 
 
2) Находим прогноз на первый шаг (t=1): 
 
. 
 
3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического: 
 
. 
 
4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания =0,1 по формулам: 
; 
 
, 
где  - коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания ( = );  - отклонение (остаточная компонента). 
 
По условию =0,1, следовательно значение b равно: 
 
= 1 – 0,1 = 0,9 

 

 
Получим: 
 
_{= 43,648}; 
 
_{= 2,292}, 
 
5) По модели со скорректированными параметрами a_0(t) и a_1(t) находим прогноз на следующий момент времени: 
. 
Для t=2: 
 
^{43,648 + 2,292*1= 45,94} 
6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда. 
 
7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания: 
 
Е_отн. » 3,4 % 
8) Корректировка параметров модели для =0,7 и =0,3:  
 
; 
 
 
 
9) Средняя относительная ошибка для данного параметра: 
 
 
 
Таким образом, судя по средней относительной ошибке при =0,1 и =0,7, в первом случае =3,4%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,1 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше. 

 

 
4. Оценим адекватность линейной модели.

 

 
Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем  случае общее число поворотных точек  в ряду остатков составляет p=4.  
 
Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n=9 определяется по формуле 
 
Так как , остатки признаются случайными. 
 
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции).Для расчета  
d-статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL: 
 
d-статистика имеет значение: 
 
; 
 
; 
 
Критические значения d-статистики для a=0,05 и n=9 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32. Так как выполняется условие 
 
, 
 
то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен :  
 
. 
 
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL: 
 
Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна. 
 
Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю:  . Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. 
 
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле 
 
 
, 
где e_max; e_min - наибольший и наименьший остатки соответственно;  - стандартное отклонение ряда остатков. 
 
Критические границы R/S-критерия для a=0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)₁=2,7 и (R/S)₂=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна. 
 
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.  
 
Оценим адекватность построенной модели Брауна:  с параметром сглаживания  = 0,1