Точечные оценки параметров статистических распределений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Практическая часть

 

3.1 Составление интегральных статистических распределений

выборочной совокупности, построение гистограммы

 

Находим максимальное и минимальное значения генеральной совокупности и округляем их в большую и меньшую сторону соответственно.

 

наим.	0,2	наим	0
наиб.	12,34	наиб	13

 

Принимаем: k=10; h=3,1

 

разряды		mi
0	1,3	2
1,3	2,6	7
2,6	3,9	24
3,9	5,2	49
5,2	6,5	45
6,5	7,8	41
7,8	9,1	20
9,1	10,4	6
10,4	11,7	4
11,7	13	2
13		200

 

Частота на некоторых интервалах меньше 5,поэтому объединяем интервалы, чтобы увеличить на них частоту, так как для проверки гипотезы мы будем использовать критерий Пирсона (критерий Х^2).

Составляем таблицу для нахождения точечных оценок параметров генеральной совокупности и строим гистограмму.

 

разряды		mi	pi	bi	xi	xi*pi	xi^2*pi	xi^3*pi	xi^4*pi
0	2,6	9	0,045	0,017308	1,3	0,0585	0,07605	0,098865	0,005784
2,6	3,9	24	0,12	0,092308	3,25	0,39	1,2675	4,119375	1,606556
3,9	5,2	49	0,245	0,188462	4,55	1,11475	5,072113	23,07811	25,72633
5,2	6,5	45	0,225	0,173077	5,85	1,31625	7,700063	45,04537	59,29096
6,5	7,8	41	0,205	0,157692	7,15	1,46575	10,48011	74,9328	109,8328
7,8	9,1	20	0,1	0,076923	8,45	0,845	7,14025	60,33511	50,98317
9,1	10,4	6	0,03	0,023077	9,75	0,2925	2,851875	27,80578	8,133191
10,4	13	6	0,03	0,011538	11,7	0,351	4,1067	48,04839	16,86498
		200

3.2 Вычисление точечных оценок параметров

 

Вычисляем начальные моменты

 

альфа1	2	3	4
5,83375	38,69466	283,4638	272,4437315

 

Вычисляем центральные моменты

 

M3	3,33466
M4	963,491

 

x	5,83375
D^2	4,662023
D	2,159172
V%	0,370117
As	0,331276
Ex	-0,96038

 

 

 

 

 

x_ - Выборочное среднее

D^2 - Выборочная дисперсия

D - Выборочное среднее квадратичное отклонение

V - Коэффициент вариации

As - коэффициент асимметрии

Ex - эксцесс

Считаем по следующим формулам:

 

α1=еxi*pi     α 2=еxi^2*pi    α3=еxi^3*pi    α 4=еxi^4*pi

M3= α3-3* α1* α2+2* α1^3       M4= α4-4* α1* α3+6* α2* α1^2-3* α1^4

x_= α1                        As=M3/D^3

D^2= α2- α1*2        Ex=M4/D^4-3

D=ЦD^2       V%=D/x_

 

 

 

В данном случае As=0,331276- больше нуля, значит пологая часть полигона распределения справой стороны, Ex=-0,96038- больше нуля, значит полигон распределения имеет острую вершину.

 

3.3 Выдвижение гипотезы о виде распределения генеральной

совокупности

 

Так как Аs=0, Ех=0, V≤0,3 (V=0,03107) и анализируя вид гистограммы, мы можем выдвинуть гипотезу о нормальном распределении.

 

D	M
2,159172	5,83375

 

3.4 Проверка статической гипотезы о виде распределения

 

Используем критерий проверки гипотез - критерий Пирсона. Возьмем уровень значимости 0,01.

 

 

 

xi	mi	xi-x	Zi	фи(zi)	yi	pi	n*pi	mi-n*pi	(mi-n*pi)^2/n*pi
1,3	9	-4,53375	-2,09976	0,044005	0,020381	0,05299	10,59797	-1,59797	0,240943275
3,25	24	-2,58375	-1,19664	0,19497	0,090298	0,117388	23,47757	0,52243	0,011625266
4,55	49	-1,28375	-0,59456	0,33431	0,154832	0,201282	40,25642	8,743579	1,899080273
5,85	45	0,01625	0,007526	0,398931	0,184761	0,240189	48,03789	-3,03789	0,192114031
7,15	41	1,31625	0,609609	0,331294	0,153436	0,199466	39,89324	1,106758	0,030704797
8,45	20	2,61625	1,211691	0,191468	0,088676	0,115279	23,05587	-3,05587	0,405030538
9,75	6	3,91625	1,813774	0,077009	0,035666	0,046366	9,273215	-3,27322	1,15536398
11,7	6	5,86625	2,716898	0,009955	0,00461	0,011987	2,397432	3,602568	5,413501186
								хи^2	9,348363347
								хи^2кр	15,08627247

 

 

 

 

3.5. Формулировка вывода о результатах исследования статистического распределения

 

Получаем что критерий согласия попадает в область принятия гипотезы хи^2< хи^2кр (9,35<15,086) - гипотеза о нормальном распределении верна. Таким образом, данная выборочная совокупность имеет нормальный закон распределения с параметрами m=5,83 и D=2,16.

 

3.6 Интервальные оценки параметров распределения по данным шести

выборок

 

Для нормально распределенной выборочной совокупности сформируем методом случайного отбора 5 выборочных совокупностей объемом по 20 данных и одну объемом 100 данных. Найдем интервальные оценки параметров распределения по данным шести выборок.

Сформируем 5 выборочных совокупностей объемом 20 данных и одну объемом 100 данных, используя подпрограмму «Выборка» из пакета «Анализ данных».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1		2		3		4		5
8,41		12,34		3,27		6,3		4,02
3,93		5,05		5,77		4,99		9,68
8,45		2,8		6,99		4,87		7,42
8,29		7,71		11,88		6,95		5,48
6,06		6,91		3,2		6,85		9,28
6,71		6,54		6,67		3,15		7,43
4,09		4,22		3,12		6,68		6,49
3,73		4,38		5,11		2,61		2,95
4,78		5,1		8,16		5,15		6,33
7,82		7,62		5,54		8,12		3,96
3,94		8,92		4,91		2,47		9,01
6,03		6,41		0,2		6,8		4,39
2,14		5,99		5,89		4,55		4,14
5,78		4,087		4,95		6,25		3,71
4,48		7,85		4,77		10,82		6,4
5,07		4,4		6,94		1,54		4,5
3,55		0,66		5,27		8,17		5,91
8,15		4,79		7,21		6,67		6,53
6,55		6,38		6,31		4,07		4,5
5,61		2,57		4,16		3,2		4,88
6
8,49	3,28		2,83		6,01		2,9
4,32	6,2		4,2		6,34		5,42
4,72	5,6		5,92		11,57		4,16
9,17	2,56		7,63		6,84		7,52
4,5	2,85		8,04		6,42		10,36
7,75	5,51		3,55		7,62		6,82
6,64	5,1		7,07		7,58		9,53
6,99	4,25		4,22		6,93		5,5
8,11	3,58		4,59		5,22		7,02
3,62	2,4		11,28		8,45		7,45
5,23	5,05		8,16		6,31		7,07
7,59	4,59		1,54		10,83		5,98
6,98	2,81		7,83		5,96		4,48
2,95	5,91		3,55		5,62		5,3
0,66	8,17		9,68		8,03		3,19
6,31	8,41		4,38		6		6,24
6,78	9,68		6,54		3,27		5,1
3,74	3,93		3,16		7,75		8,91
3,73	7,71		6,78		9,23		5,3
4,59	7,02		6,25		6,03		4

 

 

Для нахождения значений нижней б1* и верхней б2* границ среднего квадратического отклонения, а также нижней m1* и верхней m2* границ математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности необходимо найти точечные оценки параметров выборок 1,2,3,4,5,6: выборочные дисперсии D, выборочные средние xi_, «исправленные» выборочные дисперсии Sa^2 и «исправленные» стандартные ошибки Sa.

Также необходимо вычислить квантили уровней доверительной вероятностей x1, x2, t,y,r, U, при значениях доверительной вероятности 0,9 0,95 0,99.

Результаты вычислений для выборок 1,2,3,4,5,6 представлены ниже.

 

 

Выборка 1

 

Макс	8,45	максч	9	к	5
Мин	0,77	мин	0	h	1,8
разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
0	1,8	1	0,05	0,9	0,045	1,13765
1,8	3,6	1	0,05	2,7	0,135	0,44105
3,6	5,4	7	0,35	4,5	1,575	0,47912
5,4	7,2	6	0,3	6,3	1,89	0,11907
7,2	9	5	0,25	8,1	2,025	1,47623
9	сумма	20	1		5,67	3,6531

 

sa^2	3,84537
sa	1,96096
	дов.вер.	0,9	0,95	0,99
	t,y,r	1,72913	2,09302	2,86093
	x1	30,1435	32,8523	38,5823
	x2	10,117	8,90652	6,84397
	m1*	4,89	4,73	4,38
	m2*	6,45	6,61	6,96
	б1*	1,60	1,53	1,41
	б2*	2,76	2,94	3,35
		длины
	m	1,56	1,88	2,57
	б	1,16	1,41	1,94