Анализ влияния валютного курса на темпы экономического роста национального хозяйства

Матричная запись множественной линейной модели регрессионного анализа:

Y = Xb + e

где Y - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) наблюдаемых  значений результативного признака (y1, y2,..., yn);

X - матрица размерности  [n x (k+1)] наблюдаемых значений аргументов;

b - вектор - столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели;

e - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) ошибок  наблюдений (остатков).

На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза.

Задачи регрессионного анализа.

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных  коэффициентов регрессии b₀, b₁,..., b_k. Задачи регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных X_i и Y:

- получить наилучшие  оценки неизвестных параметров b₀, b₁,..., b_k;

- проверить статистические  гипотезы о параметрах модели;

- проверить, достаточно  ли хорошо модель согласуется  со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).

Построение моделей  множественной регрессии состоит  из следующих этапов:

1.выбор формы связи  (уравнения регрессии);

2.определение параметров  выбранного уравнения; 

3.анализ качества уравнения  и поверка адекватности уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.

Множественная регрессия:

- Множественная регрессия  с одной переменной 

- Множественная регрессия  с двумя переменными 

- Множественная регрессия  с тремя переменными

Пример решения нахождения модели множественной регрессии.

Множественная регрессия  с двумя переменными 

Модель множественной  регрессии вида Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂;

1) Найти неизвестные  b₀,b₁,b₂ можно, решим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными b₀, b₁,b₂:

 Для решения системы можете воспользоваться решение системы методом Крамера

2) Или использовав  формулы 

 

Для этого строим таблицу  вида:

Y	x1	x2	(y-yср)2	(x1-x1ср)2	(x2-x2ср)2	(y-yср)(x1-x1ср)	(y-yср)(x2-x2ср)	(x1-x1ср)(x2-x2ср)

       Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов множественной регрессии можно определить следующим образом:

 

Здесь z'_jj - j-тый диагональный элемент матрицы Z^-1 = (X^TX)^-1.

 

При этом:

 

где m - количество объясняющих  переменных модели.

В частности, для уравнения множественной регрессии

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂

с двумя объясняющими переменными используются следующие  формулы:

или

или

, ,

Здесь r₁₂ - выборочный коэффициент корреляции между объясняющими переменными X₁ и X₂; Sb_j - стандартная ошибка коэффициента регрессии; S - стандартная ошибка множественной регрессии (несмещенная оценка).

По аналогии с парной регрессией после определения точечных оценок b_j коэффициентов β_j (j=1,2,…,m) теоретического уравнения множественной регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов.

Доверительный интервал, накрывающий с надежностью (1-α) неизвестное  значение параметра βj, определяется как

Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения  множественной регрессии.

Как и в случае множественной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t-статистики:

имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы k=n-m-1. При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение t-статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.

В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента множественной регрессии подтверждается. Это означает, что фактор X_j линейно связан с зависимой переменной Y. Если же установлен факт не значимости коэффициента b_j, то рекомендуется исключить из уравнения переменную X_j. Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.

Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Для этой цели, как и  в случае множественной регрессии, используется коэффициент детерминации R²:

 

Справедливо соотношение 0<=R²<=1. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение Y.

Для множественной регрессии  коэффициент детерминации является неубывающей функцией числа объясняющих  переменных. Добавление новой объясняющей  переменной никогда не уменьшает  значение R², так как каждая последующая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной.

Иногда при расчете  коэффициента детерминации для получения  несмещенных оценок в числителе  и знаменателе вычитаемой из единицы  дроби делается поправка на число степеней свободы, т.е. вводится так называемый скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации:

Соотношение может быть представлено в следующем виде: 

 для m>1. С ростом значения m скорректированный коэффициент  детерминации растет медленнее, чем обычный. Очевидно, что  только при R² = 1. может принимать отрицательные значения.

Доказано, что  увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Рекомендуется после  проверки общего качества уравнения  регрессии провести анализ его статистической значимости. Для этого используется F-статистика:

 

Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости

	1	2	3	4	5	6	8	12	24
1	161,5	199,5	215,7	224,6	230,2	233,9	238,9	243,9	249,0	254,3
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1

 

Показатели F и R² равны или не равен нулю одновременно. Если F=0, то R²=0, следовательно, величина Y линейно не зависит от X₁,X₂,…,Xm.. Расчетное значение F сравнивается с критическим Fкр. Fкр, исходя из требуемого уровня значимости α и чисел степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1, определяется на основе распределения Фишера. Если F>Fкр, то R² статистически значим.

Не линейные модели простой регрессии.

К основным не линейным моделям  относятся:

1. степенная модель ỹ=a* x^b

2. показательная модель ỹ=a* b^x

3. гиперболическая модель ỹ=a+b/x

Для того, чтобы применять  к этим моделям метод наименьших квадратов, их необходимо линеализировать, т.е. привести их к линейному виду, к основным способам линеализации, относятся:

1. логарифмирование,

2. замена переменной.

2.2. Теоретические расчеты по фактическим данным.

Исходные данные в  табл. 2.2.1. и  в табл. 2.2.2.

 

Табл. 2.2.1.                Динамика официальных курсов евро

 по отношению к  рублю (на конец года)

Год	2000	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Руб./евро	26,14	36,82	37,81	34,19	34,70	35,93	41,44

Табл. 2.2.2.           Значения ВВП

Год	2000	2003	2004	2005	2006	2007	2008
ВВП	110,0	107,3	107,2	106,4	107,7	108,1	105,6

 

х – курс евро по отношению  к рублю (на конец года)

у – ВВП

 

года	2000	2003	2004	2005	2006	2007	2008
x	26,14	36,82	37,81	34,19	34,70	35,93	41,44
y	110,0	107,3	107,2	106,4	107,7	108,1	105,6

 

1. Линейная  модель

 

ỹ=a+bx

n=7;

∑x=26,14+36,82+37,81+34,19+34,70+35,93+41,44=247,03;

∑y=110,0+107,3+107,2+106,4+107,7+108,1+105,6=752,3;

∑x²=683,3+1355,712+1429,596+1168,956+1204,09+1290,965+1717,274=

=8849,893;

∑xy=2875,4+3950,786+4053,232+3637,816+3737,19+3884,033+4376,064=

=26514,521;

=∑y/n=752,3/7=107,47;

 

na+∑xb=∑y,                  7a+247,03b=752,3,

∑xa+∑x²b=∑xy;            247,03a+8849,893b=26514,521;

7а=752,3-247,03b, /:7                     

247,03a+8849,893b=26514,521;   

а=107,471-35,29b, 

247,03(107,471-35,29b)+8849,893b=26514,521;    

26548,561-8717,689b+8849,893b=26514,521,

132,204b=-34,04,

b=-0,25748086.

а=107,471-35,29 (-0,25784086),

а=116,5575.

b=-0,25748086,

а=116,5575.

 

ỹ=116,558-0,257x

 

Найдём R

x	26,14	36,82	37,81	34,19	34,70	35,93	41,44
y	110,0	107,3	107,2	106,4	107,7	108,1	105,6
ỹ	109,84	107,1	106,84	107,77	107,64	107,32	105,91

 

                                      

 

(110,0-109,84)2+(107,3-107,1)2+(107,2-106,84)2+(106,4-107,77)2+

(110-107,47)2+(107,3-107,47)2+(107,2-107,47)2+(106,4-107,47)2+

R=√1−

 

+(107,7-107,64)2+(108,1-107,32)2+(105,6-105,91)2

+(107,7-107,47)2+(108,01-107,47)2+(105,6-107,47)2

=

 

 

= = = .

 

 

 

 

2. Степенная  модель

 

ỹ=a*x^b

ln ỹ= ln (a * x^b)

ln ỹ= ln a + ln x^b

ln ỹ= ln a + b* ln x

Пусть  ln y= Y, lna=A, lnx=X, тогда

Y=А+ b*Х

 

Х	3,263	3,606	3,633	3,532	3,547	3,582	3,724
Y	4,70	4,676	4,675	4,667	4,679	4,683	4,66

 

n=7;

∑Х=3,263+3,606+3,633+3.532+3,547+3,582+3,724;

∑Y=4,70+4,676+4,675+4,667+4,679+4,683+4,66=32,74;

∑Х²=10,647+13,003+13,199+12,475+12,581+12,831+13,868=88,604;

∑ХY=15,336+16,862+16,984+16,484+16,596+16,775+17,354=116,391;

 

nА+∑Хb=∑Y,                7А+24,887b=32,74, /:7

∑ХА+∑Х²b=∑ХY;         24,887А+88,604b=116,391;