Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей, консолидирование задолженности, определение размера и срока консолидиров

При наращении по простым  процентам имеем:   

где J_p – индекс цен за учитываемый период.

Очевидно, что при больших  темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных операций.

Перейдем теперь к  измерению реальной доходности финансовой операции, т. е. доходности с учетом инфляции. Если r объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при наращении сложных процентов на основе (6):        (7)

Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле (6), то

Аналогичный по содержанию показатель, но при начислении простых  процентов, находим как           (8)

Как видно, реальная доходность  здесь зависит от срока операции. Положительной простая ставка i может быть только при условии, что

1 + nr > J_p.

Компенсации инфляции можно  достичь и путем индексации исходной суммы задолженности. В этом случае:  .      Следует обратить внимание, что формулы расчета наращенной суммы с учетом инфляции выбираются в зависимости от применяемого процента (простой и сложный).

С экономической точки зрения, правильнее рассчитывать инфляционные изменения методом сложного начисления, так как инфляция – процесс непрерывный, то есть обесцениваются уже обесцененные деньги или, начисление процентов осуществляется не на первоначальную стоимость, а на стоимость с учетом ранее начисленных процентов.

 

Пример: Рассчитаем реальную годовую ставку для следующий условий: годовой темп инфляции – 20%, брутто-ставка – 25% годовых,

n =0,5 года.

Решение: Индекс цен за половину года:

Для простых процентов  получим   

Изменим условия задачи. Пусть срок теперь равен 5 годам и  речь идет о сложной ставке. Индекс цен за этот период 1,7. В этом случае:

,             .

 

 

 

 

 

 

3. Виды потоков  платежей и их основные параметры, прямой метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей.

Любой поток характеризуется  следующими основными параметрами:

- размер отдельного  платежа (величиной элемента потока);

  - период – временной  интервал между двумя последовательными платежами   (элементами     потока);

- срок потока –  время от начала первого периода  потока до конца последнего  периода; 

- число элементов потока  в году.

Потоки платежей могут  быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).

Классификация  потоков:

1. По количеству элементов потока на протяжении года потоки делятся:

1.1.    на годовые, у которых в течение года осуществляется только один платеж;

1.2.    р-срочные, у которых количество платежей в году равно  р.

2. По частоте осуществления платежей потоки делятся:

2.1.    на дискретные, у которых элементы потока осуществляются с периодичностью в один шаг:

2.2.    непрерывные, у которых платежи производятся в бесконечно малые отрезки времени.

3. По величине элементов потоки делятся:

3.1.    на постоянные, элементы которых равны по величине;

3.2.    переменные, элементы которых изменяются по величине во времени, следуя определенному закону.

4. По вероятности выплат потоки делятся:

4.1.    на верные, то есть подлежащие безусловной уплате;

4.2.    условные, то есть выплаты ставятся в зависимость от наступления некоторого случайного события.

5. По количеству элементов выделяют потоки:

5.1.    ограниченные, с конечным числом элементов;

5.2.    бесконечные (вечные), в которых срок не определен.

6. По соотношению начала срока платежа потоки делятся:

6.1  немедленные

6.2  отложенные (отсроченные)

7. По моменту выплат платежей в пределах периода потоки делятся:

7.1.    на постнумерандо (обыкновенные), если платежи осуществляются в конце периодов:

7.2.    пренумерандо, если платежи осуществляются в начале периодов;

7.3.    потоки с платежами в середине периодов.

В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы (сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами) или современной стоимости потока (сумма всех членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени). Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением.

Наращенная сумма может  представлять собой общую сумму  накоплений задолженности к концу  срока, итоговый объем инвестиций, накопленный  денежный резерв и т.д. В свою очередь  современная стоимость характеризует  приведенные к началу осуществления  проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т.п.

 

Прямой метод  расчета наращенной суммы и современной  стоимости потока платежей.

Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей R_t,

выплачиваемых спустя время n_t после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке I, то, обозначив искомую величину через S, получим по определению

Современную стоимость  такого потока находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей:

где А – современная стоимость потока платежей,

- дисконтный множитель по  ставке i.

Наращенная сумма также  является обобщением всех членов потока в виде одного числа, однако эта оценка приурочена к концу срока. Нетрудно обнаружить, что между величинами A и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтируем сумму S с помощью дисконтного множителя  , получим

.

Наращивая сумму А по той же ставке, получим

Пример: График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени: 1 июля 2005 г. – 5 млн. руб., 1 января 2006 г. – 15 млн. руб., 1 января 2008 г. – 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2009 г. При условии, что проценты начисляются по ставке 20%.

 

Решение:

 млн. руб.

По этим же данным определим  современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. При  прямом счете получим:

  млн. руб.

Или по другой формуле:

 млн. руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В современных условиях инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без ее учета конечные результаты часто представляют собой условную величину. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции.

При расчетах, связанных  с корректировкой денежных потоков  в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два  основных понятия:

номинальная и реальная сумма денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств не учитывает изменение покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств - это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:

темп инфляции, характеризующий  прирост среднего уровня цен в  рассмотренном периоде, и индекс инфляции (изменение индекса потребительских  цен).

Обобщающие поток платежей характеристики, особенно его современная  стоимость, широко применяются в  различных финансовых расчетах. Так, без них, например, невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов, решать многие другие практические задачи.

 

 

 

 

Список литературы:

1. Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы  и статистика,  2007. -  256 с.

2. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие. М.: Издательство «Экзамен», 2005. — 128 с.

3. Левин Л.А. Финансовая  математика: Учебное пособие. Красноярск. 2006. – 120с.

4. Лукашин Ю.П. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА: Учебно-методический комплекс / М.: Изд.  центр ЕАОИ, 2008. – 200 с.

5. Малыхин В.И. Финансовая  математика:  Учеб. пособие  для вузов. —

2-е изд., перераб. и  доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,  2003.  — 237 с.

6. Четыркин Е . М . Ф и н а н с о в а я математика: Учебник.  — 5-е  изд.,  испр. — M:  Д е л о ,  2005.  -  400  с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2.

Задача 12. Г-н Иванов приобрел в кредит набор мебели, обязавшись выплачивать за него по 200 р. каждый квартал в течение трех лет. Через год, сделав четыре платежа, г-н Иванов пожелал сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить, если на деньги начисляются 8% годовых (простых)?

Решение:

;

  ;

- за год

Ответ: Г-н Иванов должен заплатить 1135,5р.

 

 

Задача 42. Рассчитайте будущую стоимость облигации номиналом 500 тыс. р., выпущенной на пять лет, если предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первые два года — 13,5% годовых, в следующие два года — 15% и в последний год — 20% годовых.

Решение:

Ответ: 885000 руб.

 

 

Задача 72. Сумма в 5 млн. р. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12% годовых.

Решение:

 

Ответ: 2,837 млн. руб.

 

Задача 102. На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов =12%, если начислять сложные проценты ежеквартально по 3 %?

Решение:

 → 12,6%

Ответ: 12,6%

 

Задача 132. Заем был взят под 18% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 100 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения в стране процентная ставка снизилась до 10% годовых. В банке согласились с необходимость. Перерасчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?

 

Решение:

Ответ: 90,14

 

 

Задача 21.  Клиент вложил в банк 1-000 р. Какая сумма будет на счете этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке: a) j₁ = 5%, б) j₆=5%, в) j₁₂ = 5%, г) j₃₆₀ = 5%, д) j_¥=5% (для j_¥  )?

Какая сумма будет на счете клиента  при условии д) j_¥=5%  через 8 лет?

Решение:

Ответ: 1400 руб.

 

 

Задача 51. Рассчитайте, через сколько лет произойдет погашение займа размером 50 млн. р., если выплаты по 400 тыс. р. производятся в конце каждого квартала, а ставка процента — 15% годовых.

Решение:

; 

Ответ: 32,8

 

 

Задача 81.  Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб., на поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5 % годовых. Найти величину фонда на конец срока.

Решение:

млн. руб.

Ответ: 28,9 млн. руб.

 

 

 

Задача 111.   Первые два года переменная ставка сложных процентов равна 8% плюс маржа 2%, в третий год 3% и четвертый 5%. Определить множитель наращения за 4 года.

Решение:

Ответ: 1,31

 

Задача 46.  Рассчитайте, какую сумму надо положить на депозит, чтобы через четыре года она выросла до 20-000 тыс. р. при норме процента 9% годовых.

Решение:

Ответ: 14 706.