Формирование теории хаоса

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Камчатский  государственный УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  ВИТУСА БЕРИНГА»

 

 

 

 

 

 

Становление теории динамического  хаоса

 (реферат для сдачи экзамена кандидатского минимума

по истории и философии науки)

 

 

Выполнил: Заляев Т.Л.   Проверил: В.В. Давыдов

 

 

Петропавловск-Камчатский 2012

 

Содержание

 

 

 

Введение

Данная работа рассматривает историческое развитие науки изучающей динамику поведения сложных нелинейных систем. В данной работе были рассмотрены  исторические причины необходимости  нелинейного подхода, показаны основные пути которые вели пионеров этой науки к фундаментальным открытиям в данной области.

Основная часть работы разбита  на 4 раздела. Каждый из них посвящен фундаментальному понятию теории динамического  хаоса, описаны исторические предпосылки  натолкнувшие исследователей на эти  понятия, кратко описаны исследования, которые привели ученых к полученным результатам. В конце каждого раздела даётся краткая характеристика этих понятий, и список работ с которыми следует ознакомиться для получения более полных знаний по ним.

Данный подход к развитию данной темы был выбран мной по ряду причин. Во-первых, данная дисциплина достаточно молодая, ей чуть более 50 лет, и проблемы, которые привели к её созданию, не потеряли своей актуальности и сейчас, и ознакомиться с выводами сделанными пионерами данной науки будет крайне интересно, особенно с учетом того, что сейчас технологии развиты намного сильнее чем 50 лет назад, и повторить все опыты ученых в домашних условиях не представляет труда. Во-вторых,  несмотря на то что основные понятия теории хаоса достаточно просты для понимания, математический аппарат используемый для решения систем нелинейных дифференциальных уравнений крайне сложен, поэтому было принято решения рассмотреть только лишь зарождение фундаментальных понятий теории хаоса, не вдаваясь в конкретные исследования.

 

 

 

 

1. Общие проблемы теории динамического хаоса

Понятие «хаос» дало название стремительно развивающейся дисциплине, которая перевернула всю современную науку. Хаос дал толчок к развитию новых компьютерных технологий, специальной графической технике, способной воспроизводить структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. Новая наука познакомила мир с такими понятиями как: фрактал, бифуркация, прерывистость, периодичность, аттрактор, сечение фазового пространства. Все они являются элементами движения, подобно элементарным частицами материи в традиционной физике. Теория хаоса это наука о движении, о переходных процессах. [1]

Как утверждают современные теории, динамический хаос присутствует везде. Он обнаруживает себя как в погодных явлениях, так и в траектории движения летательного аппарата, в поведении автомобилей в дорожной пробке, и в движении жидкостей по трубопроводам. Независимо от особенностей конкретной системы, ее поведение подчиняется одним и тем же закономерностям.

Теория хаоса родилась на стыке областей знания. Поскольку это наука о глобальной природе систем, она объединила в себе ученых работающих в совершенно различных сферах.  Хаос поднимает вопросы, которые практически не решаются традиционными методами, однако позволяют сделать общие заключения о поведении сложных систем. Все первые теоретики хаоса имели нечто общее: они выявляли определенные закономерности, которые проявляются в разном масштабе в одно и то же время. Они выработали особое чутье, которое позволило им оценивать случайность и сложность, предвидеть внезапные скачки мысли. Они чувствовали, что поворачивают вспять развитие науки, следовавшей по пути редукционизма – анализа систем как совокупностей составляющих их элементарных объектов: кварков, хромосом, нейронов. Они верят, что ищут пути к анализу систем как целого.

В 1980-м году космолог Стивен Хокинг, декан физического факультета Кембриджского  университета, в обзорной лекции, посвященной  развитию теоретической физики и  названной «Не наступает ли конец физической теории?»: «Мы уже знаем физические законы, описывающие абсолютно все, с чем приходится сталкиваться в обычной жизни… И можно считать своеобразным комплиментом успехам теоретической физики тот факт, что нам приходится создавать сложнейшие приборы и тратить огромные деньги и усилия для того, чтобы поставить эксперимент, результаты которого мы не можем предсказать». [1]

 Тем не менее Хокинг признал, что несмотря на успехи физики в понимании законов природы в терминах физики элементарных частиц, современные законы всё ещё невозможно применять к любым системам отличным от самых простейших. Ситуации, когда две частицы, разогнанные ускорителем сталкиваются в пузырьковой камере, и когда те же частицы сталкиваются не в лабораторных условиях принципиально разные.

Физику Хокингу, направленную на поиск  единой Теории Всего Сущего, часто называют революционной. Физики проследили развитие энергии и материи во Вселенной всюду и везде, лишь кроме момента ее зарождения. Но была ли она столь революционной, или же просто продолжала идеи Эйнштейна, Бора и других создателей квантовой механики и теории относительности? Достижения физики действительно изменили реальность 20-ого века. И, тем не менее, круг вопросов, которыми занималась физика частиц, стал существенно более узким. Не одно поколение физиков сменилось, прежде чем появилась идея, изменившая взгляд на мир рядового обычного человека. [1]

Физика Хокинга не могла ответить на некоторые фундаментальные вопросы природы: как зародилась жизнь, что такое турбулентность, как во Вселенной, подчиняющейся закону повышения энтропии и неумолимо движущейся ко все большему и большему беспорядку, может существовать порядок? Кроме того, многие объекты повседневной жизни, например, жидкости и системы, подчиняющиеся законам классической механики, являются уже слишком хорошо изученными, чтобы физики ожидали от них каких-либо сюрпризов.

 Вместе с развитием эволюции хаоса, виднейшие ученые всё чаще возвращаются к явлениям «человеческого масштаба». Они рассматривают не галактики, а облака. Компьютерные расчеты, приносящие прибыль, выполняются на «макинтошах». Ведущие научные журналы рядом со статьями по квантовой физике размещают исследования, посвященные движению мяча прыгающего по столу. Многие простейшие системы подчинены исключительно сложным и непредсказуемым хаотическим законам. И все же в подобных системах иногда самопроизвольно возникает некоторая упорядоченность, то есть в них сосуществуют порядок и хаос. Для преодоления разрыва между знаниями о том, как действует единичный объект – одна молекула воды, одна клеточка сердечной ткани, один нейрон – и как ведет себя миллион таких объектов, нужна новая научная дисциплина и ей стала теория динамического хаоса.[1]

2. «Эффект бабочки»

Первым исследования в области  нелинейной динамики начал французский математик Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая». [16]

В этих словах Пуанкаре можно увидеть постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Подлинное развитие этих исследований было проведено только половине 20-ого века вместе с работами Эдварда Лоренца.

Закончив в 1938-м году колледж в Дартмуте, Эдвард Лоренц решил посвятить себя математике. Однако в связи с началом Второй Мировой войны этим планам не суждено было сбыться. Лоренц стал метеорологом ВВС США. По окончанию войны он продолжил заниматься метеорологией, изучив ее теоретические основы, а кроме того расширив и углубив свои математические познания. Ему принесла известность среди метеорологов работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Одной из сфер интересов Лоренца было прогнозирование атмосферных событий.[4]

В среде серьезных и опытных  метеорологов прогнозы погоды не считались  наукой, скорее заурядным ремеслом для набивших руки и не лишенных интуиции людей. В крупных научных центрах, вроде Массачусетского технологического института, метеорологи более склонны были решать проблемы, имеющим строгое решение. Лоренц, как и любой другой специалист, вполне сознавал прагматическое значение прогнозов, составляемых в помощь военной авиации, но долгое время прятал свой теоретический интерес к прогнозированию как математик.

В 60-е годы большинство уважающих себя ученых с недоверием относилось к компьютерному моделированию. Вот уже два столетия наука об атмосфере ждала появления вычислительных мощностей, способных снова и снова производить тысячи вычислений. Лишь таким путем можно было доказать, что мир идет по пути детерминизма, что погода подчиняется законам, столь же строгим, что и принципы движения планет, наступления солнечных и лунных затмений, морских приливов и отливов. Теоретически компьютер позволял метеорологам выполнить то, что астрономы проделывали с помощью карандаша и логарифмической линейки: рассчитать будущее Вселенной исходя из ее начального состояния и известных физических закономерностей. Уравнения, описывающие циркуляцию воздуха и воды, были также хорошо известны, как и те, которым подчинялся ход планет.[1]

Будучи исследователем-метеорологом, Лоренц на основании 12 основных уравнений, описывающих связь между температурой и атмосферным давлением, а также между давлением и скоростью ветра, создал компьютерную модель погоды. Исследуя её, он обнаружил некоторые интересные для метеоролога закономерности. Ученый выяснил, что, когда кривая плавно идет вниз, не образуя явно выраженного максимума, на графике вскоре обозначатся две резких выпуклости. Лоренц утверждал, что эта закономерность вполне может быть применена в метеорологии. Однако в рамках общей модели всякий раз обнаруживались отклонения – своего рода упорядоченный беспорядок.

Для наглядности своих исследований, Лоренц использовал несложную символьную графику. Ученый рисовал динамику изменения хода одной переменной, к примеру, направления воздушного потока, и отслеживал, как она изменяется со временем, согласно используемым  им законам. В этих линиях снова и снова проявлялись узнаваемые циклы, но каждый раз в несколько ином обличье.

Переломный момент в исследованиях  произошёл зимой 1961-го года, когда намериваясь изучить определенную последовательность событий, он приступил к построению не с начальной точки, а с середины, таким образом, несколько сократив исследование. В качестве исходных данных он использовал данные из предыдущей распечатки. Когда он получил результат, то увидел нечто неожиданное, то что в последствии дало начало новой науке. Новый отрезок согласно детерминистским законам должен был полностью повторить предыдущий, поскольку использовались старые данные, и программа оставалась неизменной. Тем не менее, график существенно расходился с ранее полученным.

Разгадка таилась в том, что компьютер, который использовал Лоренц мог хранить данные с точностью до 6-ого знака после запятой. На распечатку же выносились только данные с точностью до 3-его знака. Можно было допустить, что при незначительном отличии начальной точки от введенной ранее модель будет чуть-чуть расходиться с предыдущим вариантом. Однако, в системе Лоренца малые погрешности оказались катастрофическими.  Данные погрешности в своих масштабах, были сравнимы с ветром поднимавшимся от крыла бабочки и ураганом, так этот феномен и получил своё название – «эффект бабочки». Если сформулировать его формально, то он гласит что в нелинейных системах самые малые отклонения от начальных условий, подобные округлениям компьютеров, или погрешностям в датчиках. Это ставит крест на попытках точных долгосрочных прогнозов погоды, поскольку ни один параметр невозможно измерить абсолютно точно.[3]

3. Аттрактор

Лоренц, отложив на время занятия  погодой, стал искать более простые  способы воспроизведения сложного поведения объектов. Один из них  был найден в виде системы из трех нелинейных, то есть выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются прямой линией в фазовой плоскости, и они достаточно просты. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: можно рассматривать отдельные уравнения как порознь, так и вместе.

Нелинейные системы в общем  виде не могут быть решены. Рассматривая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы. Если пренебречь, например, трением можно получить простую линейную зависимость между ускорением шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв же его в расчет, мы усложним формулу, поскольку сила будем меняться в зависимости от скорости движения шайбы. Из-за этой сложной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем, все реально существующие системы нелинейны.

Лоренц использовал упрощенный нелинейные уравнения, описывающие кругообразное перемещение нагретой жидкости при конвенции. Подобными уравнениями описывается, например динамо машина, в которой ток течет через диск, вращающийся в магнитном поле. Другой системой, вполне точно описываемой данными уравнениями, является водяное колесо определенного типа, механический аналог вращающихся конвенционных кругов. Вода постоянно льется с вершины колеса в емкости, закрепленные на его ободе, а из каждой емкости она вытекает через небольшое отверстие. В том случае, когда поток воды мал, верхние емкости заполняются недостаточно быстро для преодоления трения. Если же скорость водяной струи велика, колесо начинает поворачиваться под воздействием веса жидкости и вращение становится непрерывным. Однако, коль скоро струя сильна, черпаки, полные воды, некоторое время колеблются внизу, а затем начинают стремиться в другую сторону, таким образом, замедляя движение, а затем останавливая колесо; и в дальнейшем оно меняет направление движения на противоположное, поворачиваясь сначала по часовой стрелке, а потом – против нее. [3]