Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета

Электрические цепи постоянного  тока и методы их расчета

1.1. Электрическая  цепь и ее элементы

В электротехнике рассматривается устройство и принцип действия основных электротехнических устройств, используемых в быту и  промышленности. Чтобы электротехническое устройство работало, должна быть создана электрическая цепь, задача которой передать электрическую энергию этому устройству и обеспечить ему требуемый режим работы.

Электрической цепью называется совокупность устройств  и объектов, образующих путь для  электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, ЭДС (электродвижущая сила) и электрическом напряжении.

Для анализа  и расчета электрическая цепь графически представляется в виде электрической схемы, содержащей условные обозначения ее элементов и способы их соединения.

1.2. Основные  понятия и определения для  электрической цепи

Для расчета и анализа реальная электрическая  цепь представляется графически в виде расчетной электрической схемы (схемы замещения). В этой схеме реальные элементы цепи изображаются условными обозначениями, причем вспомогательные элементы цепи обычно не изображаются, а если сопротивление соединительных проводов намного меньше сопротивления других элементов цепи, его не учитывают. Источник питания показывается как источник ЭДС E с внутренним сопротивлением r₀, реальные потребители электрической энергии постоянного тока заменяются их электрическими параметрами: активными сопротивлениями R₁, R₂, …, R_n. С помощью сопротивления R учитывают способность реального элемента цепи необратимо преобразовывать электроэнергию в другие виды, например, тепловую или лучистую.

При этих условиях схема на рис. 1.1 может быть представлена в виде расчетной электрической схемы (рис. 1.2), в которой есть источник питания с ЭДС E и внутренним сопротивлением r₀, а потребители электрической энергии: регулировочный реостат R, электрические лампочки EL₁ и EL₂ заменены активными сопротивлениями R, R₁ и R₂.

Рис. 1.2

Источник  ЭДС на электрической схеме (рис. 1.2) может быть заменен источником напряжения U, причем условное положительное направление напряжения U источника задается противоположным направлению ЭДС.

При расчете в схеме электрической цепи выделяют несколько основных элементов.

Ветвь электрической цепи (схемы) – участок  цепи с одним и тем же током. Ветвь может состоять из одного или  нескольких последовательно соединенных  элементов. Схема на рис. 1.2 имеет три ветви: ветвь bma, в которую включены элементы r₀, E, R и в которой возникает ток I; ветвь ab с элементом R₁ и током I₁; ветвь anb с элементом R₂ и током I₂.

Узел  электрической цепи (схемы) – место  соединения трех и более ветвей. В схеме на рис. 1.2 – два узла a и b. Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называют параллельными. Сопротивления R₁ и R₂ (рис. 1.2) находятся в параллельных ветвях.

Контур  – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В схеме на рис. 1.2 можно выделить три контура: I – bmab; II – anba; III – manbm, на схеме стрелкой показывают направление обхода контура.

Условные  положительные направления ЭДС  источников питания, токов во всех ветвях, напряжений между узлами и на зажимах  элементов цепи необходимо задать для  правильной записи уравнений, описывающих процессы в электрической цепи или ее элементах. На схеме (рис. 1.2) стрелками укажем положительные направления ЭДС, напряжений и токов:

а) для ЭДС источников – произвольно, но при этом следует учитывать, что полюс (зажим источника), к которому направлена стрелка, имеет более высокий потенциал по отношению к другому полюсу;

б) для токов в ветвях, содержащих источники ЭДС – совпадающими с направлением ЭДС; во всех других ветвях произвольно;

в) для напряжений – совпадающими с направлением тока в ветви или элемента цепи.

Все электрические цепи делятся на линейные и нелинейные.

Элемент электрической цепи, параметры которого (сопротивление и др.) не зависят  от тока в нем, называют линейным, например электропечь.

Нелинейный  элемент, например лампа накаливания, имеет сопротивление, величина которого увеличивается при повышении напряжения, а следовательно и тока, подводимого к лампочке.

Следовательно, в линейной электрической цепи все  элементы – линейные, а нелинейной называют электрическую цепь, содержащую хотя бы один нелинейный элемент.

1.3. Основные  законы цепей постоянного тока

Расчет  и анализ электрических цепей  производится с использованием закона Ома, первого и второго законов  Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается  взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.

Закон Ома для  участка цепи

Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи (рис. 1.3) выражается законом Ома

 
Рис. 1.3

(1.1)

 или U_R = RI.

В этом случае U_R = RI – называют напряжением или падением напряжения на резисторе R, а   – током в резисторе R.

При расчете  электрических цепей иногда удобнее  пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью:

.

В этом случае закон Ома для участка  цепи запишется в виде:

I = Uq.

Закон Ома для  всей цепи

Этот  закон определяет зависимость между  ЭДС Е источника питания с  внутренним сопротивлением r₀(рис. 1.3), током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением R_Э = r₀ + R всей цепи:

(1.2)

.

Сложная электрическая цепь содержит, как  правило, несколько ветвей, в которые  могут быть включены свои источники  питания и режим ее работы не может  быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.

Первый закон  Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

(1.3)

,

где m – число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1.2) I - I₁ - I₂ = 0.

Второй закон  Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической  цепи алгебраическая сумма ЭДС равна  алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

(1.4)

,

где n – число источников ЭДС в контуре; 
m – число элементов с сопротивлением R_к в контуре; 
U_к = R_кI_к – напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.

Для схемы (рис. 1.2) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

E = U_R + U₁.

Если  в электрической цепи включены источники  напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники  ЭДС равна нулю

(1.5)

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Запишем уравнения  по II закону Кирхгофа для контуров электрической  схемы (рис. 1.2):

контур I: E = RI + R₁I₁ + r₀I,

контур II: R₁I₁ + R₂I₂ = 0,

контур III: E = RI + R₂I₂ + r₀I.

В действующей  цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия

(1.6)

W = I²Rt.

Скорость  преобразования электрической энергии  в другие виды представляет электрическую  мощность

(1.7)

.

Из  закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания  в любой момент времени равна  сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.

(1.8)

.

Это соотношение (1.8) называют уравнением баланса  мощностей. При составлении уравнения  баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение E I подставляют в (1.8) со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение E I подставляют в (1.8) со знаком минус. Для цепи, показанной на рис. 1.2 уравнение баланса мощностей запишется в виде:

EI = I²(r₀ + R) + I₁²R₁ + I₂²R₂.

При расчете электрических цепей  используются определенные единицы  измерения. Электрический ток измеряется в амперах (А), напряжение – в вольтах (В), сопротивление – в омах (Ом), мощность – в ваттах (Вт), электрическая энергия – ватт-час (Вт-час) и проводимость – в сименсах (См)

Кроме основных единиц используют более мелкие и  более крупные единицы измерения: миллиампер (1мA = 10–3А), килоампер (1кA = 103А), милливольт (1мВ = 10–3В), киловольт (1кВ = 103В), килоом (1кОм = 103Ом), мегаом (1мОм = 106Ом), киловатт (1кВт = 103Вт), киловатт-час (1кВт-час = 103 ватт-час).

1.4. Способы соединения  сопротивлений и расчет эквивалентного 
сопротивления электрической цепи

Сопротивления в электрических цепях могут  быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной  схемы упрощается, если сопротивления  в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением R_экв, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где R=R_экв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.

Электрическая цепь с последовательным соединением  элементов

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Последовательным  называют такое соединение элементов  цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 1.4).

На  основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение U всей цепи равно  сумме напряжений на отдельных участках:

U = U₁ + U₂ + U₃ или IR_экв = IR₁ + IR₂ + IR₃,

откуда следует

(1.5)

R_экв = R₁ + R₂ + R₃.

Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное  сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных  участков. Следовательно, цепь с любым  числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением R_экв (рис. 1.5). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома

,

и по вышеприведенным  формулам рассчитывают падение напряжений U₁, U₂, U₃ на соответствующих участках электрической цепи (рис. 1.4).

Недостаток  последовательного включения элементов  заключается в том, что при  выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

Электрическая цепь с параллельным соединением  элементов

Параллельным  называют такое соединение, при котором  все включенные в цепь потребители  электрической энергии, находятся  под одним и тем же напряжением (рис. 1.6).

Рис. 1.6

В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании  первого закона Кирхгофа (1.3) можно  записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

I = I₁ + I₂ + I₃, т.е. 

,

откуда следует, что

(1.6)

.

В том случае, когда параллельно  включены два сопротивления R₁ и R₂, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением

(1.7)

.

Из  соотношения (1.6), следует, что эквивалентная  проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных  ветвей:

g_экв = g₁ + g₂ + g₃.

По  мере роста числа параллельно  включенных потребителей проводимость цепи gэкв возрастает, и наоборот, общее сопротивление R_экв уменьшается.