Шпаргалка по "Прикладной метрологии"

Билет №18. Критерий согласия Пирсона (χ²) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизв-х значениях их пар-в, что обычно имеет место при анализе рез-в мех-х исп-й. В этом закл-ся его универ-ть. Исп-е критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьир-я выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины. Число инт-в зависит от объема выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 ÷ 15, при n = 200 e = 15 ÷ 20, при n = 400 e = 25 ÷ 30, при n = 1000 e = 35 ÷ 40. Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2. Статистикой критерия Пирсона служит величина 
,   где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞. Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (3.91) величины с критическим значением χ²_α, найденным по табл. VI приложения для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство 
χ² ≤ χ²_α   то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению. Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необх-ю группировки рез-в наблюдений в инт-ы и объединения отдельных инт-в с малым числом наблюдений. В связи с этим рек-ся дополнять проверку соот-я распр-й по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

Билет № 19. При числе результатов наблюдений n < 50 нормальность их распределения проверяют при помощи составного критерия. Критерий 1. Вычисляют отношение,  где S* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

 

Результаты наблюдений группы можно считать  распределенными нормально, если

,

где и - квантили распределения, получаемые из табл. 1 по n, q₁/2 и (1 – q₁/2), причем q₁ - заранее выбранный уровень значимости критерия.

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превзошли значение z_p/2 S, где S - оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле ,

где z_p/2 - верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности Р/2. Значения Р определяются из табл. 2 по выбранному уровню значимости q₂ и числу результатов наблюдений n. При уровне значимости, отличном от предусмотренных в табл. 2, значение Р находят путем линейной интерполяции. В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости q₁, а для критерия 2 - q₂, то результирующий уровень значимости составного критерия q ≤ q₁ + q₂. В случае, если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

 

Билет №22. Суть метода наименьших квадратов (МНК).

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. Вывод формул для нахождения коэффициентов.

Составляется и решается система  из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю. 
Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК). 

При данных а и b функция принимает  наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы. Вот и весь метод наименьших квадратов. Коэффициент b находится после вычисления a. Пришло время вспомнить про исходый пример.

 

 

Билет № 13. Для проверки нулевой  гипотезы о том, что указанные  выборки принадлежат генеральным  совокупностям с разными дисперсиями  , используется односторонний F - критерий (критерий Фишера). По результатам испытаний двух независимых выборок подсчитывается  оценка дисперсий в соответствии с п/р. 6.2. Находится статистика:                                                         ,                                                      

и сопоставляется с критическим  табличным значением , представленным в зависимости от   и . Если , то гипотеза о равенстве дисперсий не отклоняется. Оценка генеральной дисперсии по двум выборочным дисперсиям производится по формуле:                                                              ,   где n₁ и  n₂ – объем первой и второй выборки соответственно.

 

 

 

Билет № 20. Наблюдения независимы и неравноточны. Теперь будем считать, что каждое наблюдение xk содержит погрешности, дисперсии которых не обязательно равны. Пусть соответственно дисперсии погрешностей . Теперь дисперсия линейной оценки будет равна Определим минимум при условии, что . Поступим по аналогии с предыдущими рассуждениями:

,

.

Поскольку , то получим уравнение  . Полученное равенство говорит о том, что все произведения вида равны между собой и не зависят от индекса к. Кроме того, сумма должна равняться единице. Пусть , где - некоторый нормировочный множитель, а - константа, имеющая размерность дисперсии. Отсюда

, . Обозначим  ,  . Теперь jпределим: .  Итак, .

Наилучшая линейная оценка в этом случае равна , где    ,  .Величины hr носят название веса наблюдения, ибо формула для определения аналогична той, которую применяют для вычисления центра тяжести, если “вес” точки с координатой будет равен . Постоянная может быть произвольной, так как ее выбор не влияет на оценку . Ее можно также интерпретировать как дисперсию наблюдения, вес которому мы приписываем равным единице (“дисперсия единицы веса”).

 

Билет №27 Весом наз-ся величина, обратно пропор-я дисперсии . Значение c постоянно для всех измерений и выбирается произвольно. При  и формула веса принимает вид , т.е.   — дисперсия такого измерения, вес которого равен единице. Дисперсии результатов измерений  , как правило, неизвестны. Заменяя неизвестные дисперсии их оценками, т.е. квадратами средних квадратических ошибок, получаем следующие формулы веса , ,где m — средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице (сокращённо m называют ошибкой единицы веса). Одной из причин введения весов является возможность установить их, не зная величин m_i. Так, в нивелирной сети веса назначают по формуле ,

где L_i — длины ходов в км. Эта формула получена из формулы  \* MERGEFORMAT (3.4), пользуясь произвольностью выбора m. Пусть имеется ряд многократных неравноточных измерений одной и той же величины: , истинное значение Х которой неизвестно. Известны веса результатов измерений: . Под математической обработкой ряда неравноточных измерений понимают: 1. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины — среднего весового, или общей арифметической средины (наилучшей оценки неизвестного истинного значения): , где x₀ — наименьшее значение из ряда , а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет № 21. При косвенных измерениях значение искомой величины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Вначале рассмотрим тот простейший случай, когда искомая величина определяется как сумма двух величин и : Поскольку результаты прямых измерений величин и (после исключения систематических погрешностей) включают в себя некоторые случайные погрешности, то формулу косвенного измерения суммы можно переписать в виде ,где – средние арифметические (или средние взвешенные), полученные при обработке результатов прямых измерений величин и , и – случайные погрешности средних, и – оценка истинного значения косвенно измеряемой величины и его случайная погрешность. Из уравнения непосредственно вытекает справедливость двух следующих равенств: , ,т.е. оценкой истинного значения косвенно измеряемой величины должна служить сумма оценок истинных значений исходных величин, случайные погрешности которых складываются. Математическое ожидание оценки равно, очевидно, истинному значению искомой величины: а ее дисперсия: Входящее в это выражение математическое ожидание произведения случайных погрешностей называется корреляционным моментом и определяет степень “тесноты” линейной зависимости между погрешностями. Вместо корреляционного момента часто пользуются безразмерной величиной, называемой коэффициентом корреляции: . Отсюда, в частности, следует, что коэффициент корреляции между погрешностями и средних арифметических равен коэффициенту корреляции между погрешностями и результатов отдельных измерений величин и : . С учетом коэффициента корреляции дисперсия результата косвенных измерений, т. е. оценки истинного значения косвенно измеряемой величины, . Если погрешности измерения величин и не коррелированы, то выражение (76) упрощается:

Билет № 24. При совместных измерениях полученные значения используются для построения зависимостей между измеряемыми величинами. Рассмотрим многофакторный эксперимент, по результатом которого должна быть построена зависимость Предположим далее, что зависимость то есть параметр состояния есть линейная комбинация из входных факторов. В процессе эксперимента проводится совместных измерений для нахождения коэффициентов В этом случае искомые величины определяются в результате решения системы линейных уравнений: Где – искомые коэффициенты зависимости, которую необходимо определить, – измеряемые значения величин. В предположении, что система уравнений является точной, но значения получены с погрешностями, запишем: где – погрешность измерения , тогда Для решения задачи мы вынуждены использовать значения . При этом, если число измерений больше числа неизвестных в уравнении, то система не имеет однозначных решений. Поэтому уравнения системы иногда называют условными. Оценим случайную погрешность совместных измерений. Пусть погрешность имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Измерения независимы. В этом случае по аналогии с обработкой прямых измерений может быть построена функция максимального правдоподобияДля нахождения экстремума функции правдоподобия воспользуемся уже известной процедурой. Прологарифмируем и найдём значения, при которых функция достигает экстремума. Таким образом урав-я отвечают требованиям метода наименьших квадратов. Следовательно, при нормальном распределении случайной погрешности оценки по методу максимального правдоподобия и по методу наименьших квадратов совпадает. Для нахождения оценки удовлетворяющей необходимо добиться равенства нулю всех частных производных этой функции по .Система уравнений является линейной относительно и называется системой нормальных уравнений. Число уравнений в системе всегда совпадает с числом . Система решается методом определителей