Термодинамика потоков жидкости и газа

ГЛАВА 14. ТЕРМОДИНАМИКА  ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

 

14.1. Модель течения и основные  допущения, уравнения энергии, Бернулли, неразрывности и состояния для одномерного стационарного потока.

 

Непрерывное течение  газа рассматривается в термодинамике  как равновесный процесс. Принимается, что течение – пространственно одномерное, т.е. параметры потока газа: давление р, температура Т, скорость w и плотность и др. изменяются только в направлении течения и, что течение - стационарное (установившиеся), т.е. параметры не изменяются во времени ; расход газа G=const( );      

Принимается также, что течение - адиабатное, т.е. =0, изоэнтропийное, т.е. ds=0, что техническая работа не совершается и что пьезометрическая высота не изменяется (dy=0).

Для определения  параметров потока (W, p, T, ) в каждом поперечном сечении по длине канала f_x решается при сделанных допущениях следующая система уравнений:

- уравнение энергии  (уравнение 1-го закона термодинамики):

 

; (1)

 

- уравнение движения (Бернулли):

 

; (2)

 

- уравнение неразрывности (уравнение  расхода):

; (3)

 

- уравнение состояния для газа:

 

,

и для несжимаемой жидкости: . (4)

 

Уравнения энергии (1), Бернулли (2) и неразрывности (3) справедливы для жидкостей и газов. Запись уравнения состояния (4) определяет в каком состоянии: жидком или газообразном, находится ТС. Из сопоставления уравнений (1) и (2) следует, что

 

, (5)

т.е. с ростом скорости W в адиабатном потоке газа его энтальпия h, температура Т и давление р уменьшаются.

 

14.2. Уравнение обращения воздействий. Сопла и диффузоры

 

Это уравнение  отражает воздействие на параметры  потока формы канала. Для его вывода рассмотрим стационарное течение в  канале (G=const). Из уравнения расхода:

 

, или  , (1)

 

после его дифференцирования имеем:

 

. (2)

 

Разделим выражение (2) на уравнение (1) почленно.

 

Тогда имеем:

 

, или  . (3)

 

Из уравнения адиабатного процесса

 

, (4)

 

после дифференцирования получим:

 

,

 

или . (5)

 

Разделим выражение (5) на . Тогда:

 

. (6)

 

где ; а – скорость звука, м/с; - vdp=WdW – уравнение Бернулли. После подстановки выражения (6) в уравнение (3) имеем:

 

, (7)

 

или

 

,  (8)

где - число Маха. Правая часть уравнения обращения воздействий для адиабатного изоэнтропийного течения идеального газа (8) содержит основные параметры потока: число Маха и изменение скорости , а левая часть – отражает воздействие на течение среды изменения площади поперечного сечения канала df, т.е. формы канала.

Рассмотрим воздействие формы  канала df на адиабатное течение в соплах и диффузорах. Сопла – это каналы, в которых происходит расширение газа и увеличение скорости его движения. В диффузорах происходит сжатие газа и уменьшение скорости его движения.

 

Течение в соплах

Для течения в соплах, где газ  расширяется и скорость растет dW>0. При этом знак df будет одинаковым со знаком скобки (М²-1) уравнения (8).

Если на входе в сопло число Маха M<1 и разность (М²-1) – отрицательна, то сопло является суживающимся, т.е. df<0.

Если на входе  в сопло число Маха М>1, то разность (М²-1) – положительна и df>0, т.е. сопло – расширяющееся. Увеличение скорости течения при М>1 происходит за счет увеличения площади поперечного сечения канала.

 

Течение в диффузорах

В диффузорах, где  происходит сжатие газа и уменьшение скорости его движения, dW<0 и знак df противоположен знаку выражения (М²-1). При M>1 df<0, т.е. диффузор суживающийся. При M<1 df>0, т.е. диффузор расширяющийся.

Таким образом, один и тот же канал в зависимости  от величины скорости газа на входе  в канал может работать и как  диффузор и как сопло. В суживающемся сопле нельзя достичь скорости газа, большей, чем местная скорость звука. Для получения скорости истечения большей скорости звука должны применяться комбинированные сопла – сопла Лаваля.

14.3. Параметры торможения

 

Для конечного  участка потока 1-2 уравнение энергии  имеет вид:

 

, (1)

 

где h* - полная энтальпия, или энтальпия адиабатного торможения при скорости потока W=0. Таким образом, при движении газа его полная энергия, состоящая из кинетической энергии видимого движения и энергии, выражаемой энтальпией h=u+pv, остается постоянной. Всякое изменение кинетической энергии вызывает соответствующее изменение его энтальпии, а, следовательно, и температуры. В соплах скорость увеличивается, а температура уменьшается. В диффузорах скорость уменьшается, а температура увеличивается.

При полном торможении потока (w=0) температура принимает наибольшее значение и называется температурой полного торможения Т*. Для идеального газа с_р=const, h=c_pT и h*=c_pT*. Тогда из уравнения (1) следует, что:

 

c_pT*=c_pT+ ,   или   , (2)

 

где Т – статическая температура (температура движущейся среды). В уравнении (2) второй член правой части преобразуем к следующему виду:

 

,

 

где R=c_p-c_v по уравнению Майера; c_p=кc_v, M=W/a – число Маха; a²=кRT;  
а – скорость звука. Тогда окончательно получим выражение для расчета скорости торможения:

 

Т*=Т . (3)

 

Расчет давления торможения проводится по формуле:

 

. (4)

 

Плотность заторможенного потока будет равна:

 

. (5)

 

Для расчета параметров можно использовать таблицы газодинамических функций, которые облегчают решение  задач. При этом вводится приведенная  скорость , где критическая скорость , а . Тогда получим:

 

 и газодинамическая функция  .

 

Функция .

 

Функция .

 

Располагая таблицами, в которых для каждого значения или М указаны значения функций , можно быстро переходить от действительных (термодинамических) параметров потока к параметрам торможения и обратно. Выбор для расчета чисел М или определяется удобствами применения в каждом конкретном случае. Для определения расхода газа через произвольный канал по известной площади проходного сечения f, числу М или и по параметрам заторможенного потока можно воспользоваться газодинамической функцией , которая возрастает с ростом числа М при М<1, достигает максимума q_max=1 при М= =1 и снова убывает при M>1.

Тогда уравнение расхода  можно записать в виде , где и , где , т.е. . Для воздуха к=1,4, R=297 Дж/кгК, m=0.3965.

Например, при определении изменения  параметров потока газа по длине сопла, принимая р₁=р* и Т₁=Т* при заданном значении показателя адиабаты к и известных геометрических размерах сопла и расхода G можно определить изменение массовой скорости по длине сопла, величину а_{кр кр} и функцию q. Далее по таблицам при заданном к можно определить функции и величины и .

14.4. Расчет располагаемой  работы, скорости истечения и  расхода газа

 

Рассмотрим истечение газа из сосуда неограниченной емкости. В этом случае параметры на входе в сопло равны параметрам торможения , а скорость W₁=0. Скорость на выходе из сопла с площадью поперечного сечения f₂ равна скорости истечения W₂=W, а давление газа на выходе из сопла – давлению окружающей среды р₂. Схема сопла представлена на следующем рисунке:

1. Расчет располагаемой работы

 

Располагаемая работа при адиабатном течении газа в сопле идет на увеличение кинетической энергии потока газа:

 

.

 

В p-v координатах располагаемая работа равна:

 

.

В h-s координатах: l₀=h₁-h₂

В T-s координатах:

 

Располагаемая работа при течении  в сопле несжимаемой жидкости (v=const) равна:

 

.

2. Расчет скорости истечения газа

Скорость истечения газа определяется из выражения  . Тогда , при . Тогда имеем: , м/с,  или , м/с.

 

Скорость истечения  газа зависит от состояния газа на входе в сопло и глубины его расширения, т.е. от отношения давлений газа р₂/р₁.

Если выразить располагаемую работу через изменение  энтальпий газа, то получим 

 

, м/с.

 

Таким образом, скорость истечения газа зависит от значений энтальпий газа перед соплом и на выходе из него.

Максимальная  скорость истечения газа будет при  его истечении в вакуум, т.е. при р₂=0:

 

.

 

Скорость истечения  несжимаемой жидкости определяется по формуле:

 

, м/с.

 

3. Расчет секундного расхода газа

Расход: , где .

Тогда . (1)

Подставим в (1) скорость истечения  . Тогда получим:

 

, кг/с (2)

 

Таким образом, секундный  расход газа G зависит от площади выходного сечения сопла f₂, начального состояния газа на входе в сопло (p₁, v₁, T₁) и глубины расширения газа (от отношения давления на выходе из сопла к давлению газа на входе в сопло р₂/р₁).

Если изобразить график зависимости расхода газа от отношения давлений р₂/р₁= , то он будет иметь вид:

где ab0 – теоретическая зависимость (2); abc – действительная зависимость, полученная опытным путем; I – подкритическая область истечения (дозвуковая): ;  II – надкритическая область истечения (сверхзвуковая): .

В точке «b» скорость истечения газа равна местной скорости звука W=a, и скорость распространения возмущений вверх по потоку , т.е. волны возмущений не проходят вверх по потоку от среза сопла при дальнейшем уменьшении величины =р₂/р₁.

 

14.5. Особенности истечения  газа через суживающиеся сопла

На этом рисунке показан характер изменения параметров потока газа вдоль  сопла. При этом изменение энтальпии  газа преобразуется в кинетическую энергию потока:

.

 

При уменьшении отношения давлений =р₂/р₁ скорость истечения растет, а скорость звука уменьшается. При р₂=р_к скорость истечения W_к=а₂, где р_к – критическое давление; W_к – критическая скорость.

Скорость истечения газа, равная местной скорости звука, называется критической скоростью. Критическая скорость W_к – это максимальная скорость, которую может иметь газ при истечении через суживающееся сопло W_к=f(p₁, v₁). Критическая скорость наступает при критическом отношении давлений . Величина определяется из равенства:

 

, (1)

 

т.е.: .

 

Отсюда имеем:

 

. (2)

 

Учитывая соотношение  между параметрами в адиабатном процессе:

 

, (3)

 

и приравнивая правые части уравнений (2) и (3), получим:

. (4)

 

После преобразований (4) окончательно получим:

 

. (5)

 

Критическое отношение давлений зависит от показателя адиабаты к. При к=1,66     , при к=1,4       , при к=1,3      .

Для идеального газа . Следовательно, можно сделать вывод, что при истечении газа через суживающиеся сопла его давление не может уменьшиться более, чем в два раза, т.е. р₂ р₁.

При этом формулы для расчета  критических параметров имеют вид:

- критическая температура

,   ;

 

- критическая плотность

;

 

- критическая скорость истечения

 или  .

 

Рассмотрим три характерных  случая истечения через суживающиеся сопла.

1.В первом случае  наблюдается полное расширение от начального давления р₁ на входе в сопло до давления среды р₂, а скорость истечения меньше скорости звука (W<a). Скорость истечения рассчитывается по формуле:

 

, м/с,

 

т.е. . Чем больше удельная газовая постоянная R и выше температура Т₁ и чем меньше , тем больше скорость истечения.

Для расчета расхода газа G используется формула: