Теория магнитного экранирования

А₁ обязательно должно быть равно нулю, так как только в этом случае в решении будет отсутствовать слагаемое .

Потенциал есть функция непрерывная  и на конечном отрезке он не может  измениться на бесконечно большую величину. Из физических соображений ясно, что потенциал точек оси z не может быть равен бесконечности. Между тем, если бы , то в решении для потенциала присутствовало бы слагаемое , равное - ∞ для всех точек, у которых r = 0.

Найдём решение уравнений (12), (13)

 

                                                      

                                                   (18)

или

                                                    

.                                                (19)

 

Применим подстановку  Эйлера

 

                                                            

,                                                        (20)

тогда

                                                        

,                                                   (21)

                                                 

.                                            (22)

 

Подставим производные  в уравнение (19)

 

                                  

                               (23)

или

                                                               

.                                                           (24)

Найдём корни квадратного  уравнения

 

                                                           

.                                                        (25)

 

Значение p определим при интегрировании уравнения

 

                                                         

.                                                     (26)

 

Его решение можно  записать в виде

 

                                                          

.                                                      (27)

 

Убедимся в этом путём  подстановки и одновременно найдём значение p:

 

                                                        

;                                                    (28)

                                                      

;                                                   (29)

                                                   .                                              (30)

 

Следовательно, p = 1.

Подставим значение числа p в (25) и найдём .

Таким образом, полное решение  запишется в виде

 

                                                  

.                                             (31)

 

Тогда можно записать:

- для первой области

                                      ;                                              (32)

 

- для второй области 

                                      ;                                              (33)

 

- для третьей области

                                      .                                              (34)

 

Постоянная интегрирования, с точностью до которой определяется потенциал, принята равной нулю.

Для определения шести  постоянных ( , , , , , ) составим  шесть уравнений:

1) сопоставим с выражением “на бесконечности” . Из сопоставления находим, что ;

2) в первой области  при r = 0 должен оставаться конечным. Это может быть только в том случае, если в выражении будет отсутствовать слагаемое . Оно будет отсутствовать при ;

3) равенство  и при даёт уравнение

 

                                            ;                                                 (35)

 

4) равенство на границе между второй и третьей (при r = b) областями приводит к уравнению

                                                    ;                                         (36)

 

5) равенство нормальных составляющих индукции

 

                                                                                                              (37)

 

на границе между  первой и второй областями (при  )

 

                                                       ;                                                (38)

 

6) равенство нормальных  составляющих индукции при r = b даёт уравнение

 

                                                    .                                         (39)

 

Совместное решение  всех уравнений приводит к выражению  потенциала в первой области

                                                    .                                      (40)

 

Или при переходе к  декартовой системе координат (ось x направлена вверх, )

                                                         .                                           (41)

Здесь

                                                           ,                                             (42)

                                                              ,                                               (43)

                                                                .                                                (44)

 

Напряжённость поля в  первой области (по модулю)

                                           

                                                      .                                        (45)

 

Отношение напряжённости  поля внутри экрана к напряжённости  внешнего поля

                                                                                                               (46)

или

                                                      .                          (47)

 

Подставив числовые значения, получим

 

 

то есть напряжённость  поля внутри экрана составляет 1 % от напряжённости  внешнего поля.

Для наглядного представления  действия рассчитываемого экрана воспользуемся программным комплексом ELCUT.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 – Действие магнитного сферического экрана

 

Как видно из рисунка,  линии магнитной индукции внешнего поля, стремясь пройти по пути с наименьшим магнитным сопротивлением, сгущаются внутри стенок экрана, почти не проникая в его полость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной курсовой работе был рассчитан стальной сферический магнитный экран, доказана его способность уменьшать внешнее поле в 300 раз.

Расчёты проводились  аналитически с применением метода Фурье для интегрирования уравнения Лапласа. Для подтверждения полученных результатов был использован ELCUT, который позволил в течение пятнадцатиминутного сеанса на персональном компьютере, не прибегая к помощи больших ЭВМ или рабочих станций, описать задачу – её геометрию, свойства сред, источники поля, граничные и другие условия, решить её с большой точностью и проанализировать решение с помощью средств цветной графики. 

ELCUT очень удобен для использования в учебном процессе, а также в производственной и исследовательской деятельности инженера - электрика при решении научных и практических задач, так как начать работу с ELCUT можно практически сразу, не отвлекаясь на изучение математических основ вычислительных алгоритмов и особенностей их реализации, редактор модели позволяет легко и быстро описать геометрию модели, при построении сетки конечных элементов можно использовать удобные средства управления ее густотой или полностью довериться автоматической системе построения сетки, кроме того, источники и граничные условия полностью независимы от сетки, и могут быть изменены в любое время.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Альтшулер И.Б. и др. Расчет электромагнитных полей в электрических машинах. – М.: Энергия, 1969. – 88 с.
2. Бессонов В.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – М.: Высшая школа, 1986. – 263 с.
3. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. – М.: Энергия, 1970. – 376 с.
4. Буль Б.К. Основы теории и расчета магнитных цепей. - М.: Энергия, 1964. – 464 с.
5. Каплянский А.Е., Лысенко А.П., Полотовский Л.С. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1972. – 488 с.
6. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2 т. - Л.: Энергоиздат, 1981. - Т. 2. – 416 с.
7. Теоретические основы электротехники. / Г.И. Атабеков и др. – М.: Энергия, 1979. - Ч. 2 и 3. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле. – 432 с.
8. Журнал «Новости ЭлектроТехники» ., //www.news.elteh.ru/
9. ELCUT., // www.tor.ru/elcut.