Круглый волоконный волновод со ступенчатым профилем показателя преломления

, (28)

где вектор

является вектор столбцом:

,  (29)

а S является матрицей:

 (30)

Система уравнений (28) является совместной при условии, что детерминант матрицы S равен нулю:

 (31)

Это уравнение называют характеристическим. Его решения зависят как от параметров волокна n1,n2,a, так и от параметров электромагнитного поля w и bq. Но можно составить из этих параметров такие комбинации, что искомые решения практически будут зависеть только от них. Вводится параметр V называемый нормализованной частотой. Он определяется так:

 (32)

Искомое решение теперь сильно зависит от этого параметра и слабо зависит от конкретных значений e1 и e2, при условии, что разница между ними много меньше их самих. Именно такой случай и имеет место на практике. Таким образом, решения характеристического уравнения (31) представляют собой неявную зависимость константы распространения от параметра V: . Для наглядности представления результатов вводят ещё один параметр bq:

 (33),

который называют нормализованным показателем преломления. И решения уравнения (31) представляют в виде набора зависимостей bq(V).

Раскрывая детерминант (30) получим уравнение:

Решения этого уравнения определяют значения bq. Однако его можно представить в более удобном виде, используя обозначения для параметров  bq и V , и выразив через них константы  vq и uq, получим:

 (34)

где приняты следующие обозначения:

,

,

,

,

и использовано универсальное для всех цилиндрических функций соотношение:

 

Каждое решение характеристического уравнения приводит к определённой конфигурации поля, которая называется модой. Все моды разделяют на два типа: HE и EH моды. Такое разделение связано с тем, что уравнение (34) можно разделить на два уравнения, определив его нули относительно h. Нули уравнения (34):

 

  И теперь получаем характеристические  уравнения для каждого типа  мод по отдельности:

h-h1=0           (35.a)

h-h2=0           (35.b)

Уравнение (35.a) соответствует HE модам, а (35.b) EH модам. Каждое из уравнений (35) может иметь несколько действительных корней. Количество этих корней зависит от параметра V, числа l и типа моды. Не для всех чисел l, при заданном V существуют решения. Но при достаточно больших значениях V может существовать несколько решений при данном значении l. Вводят второй индекс m который отвечает за номер решения при некотором l.При увеличении параметра V от нулевого значения сначала может не быть ни одного решения с заданным l, потом появляется одно решение, затем второе и т.д. Число m ставят в соответствии с этой очерёдностью появления решений. Таким образом, выстраивается семейство решений, или семейство мод, поскольку каждое решение приводит к одной определённой моде. Каждую моду обозначают следующим образом: HElm или EHlm, в зависимости от её типа и номеров l и m. Для каждого номера q ставиться в соответствие тип моды и два индекса l и m. Это соответствие строится таким образом, что бы большим номерам q соответствовало большее значение bq.

Следует выделить один исключительный случай, когда выполняется равенство l=0. При этом система уравнений (28) распадается на две независимые системы. Причём одна система связывает только коэффициенты A1 и A2 (при этом полагается, что B1=B2=0) , а вторая, только B1 и B2 (аналогично A1=A2=0). Условие совместности для каждой системы даст некоторое характеристическое уравнение. Впрочем, общий вид (35) разделения характеристического уравнения вмещает в себя этот случай (при этом для ненулевых коэффициентов A1,A2 используется первое уравнение с h1=0, а для ненулевых B1,B2 второе с h2=-p/a). В связи с тем, у мод с l=0 отсутствуют продольные компоненты либо электрического, либо магнитного полей, их называют также TE и TM модами. TM0m  (Transverse Magnetic) моды волокна соответствуют обозначению НЕ0m, а TE0m (Transverse Electric) - ЕН0m.

 

 

Само характеристическое уравнение не может быть решено аналитически. Оно решается численно. Результаты численного вычисления представлены на рисунках. Такие диаграммы позволяют легко определить число мод распространяющихся по волокну. А поскольку при наличии определённого волокна нормализованная частота может изменяться только за счёт изменения частоты, то эти зависимости могут также определить и характер дисперсии излучения в волокне. При наличии нескольких мод имеет место межмодовая дисперсия, связанная с тем, что различные моды имеют различные фазовые скорости. Кроме того, имеет место внутримодовая дисперсия, определяемая зависимостью фазовой скорости от частоты. Эта зависимость непосредственно связана с показанными диаграммами.

 Как видно, не всегда  может распространяться та или  иная мода, но мода HE11 может существовать при любом положительном V. Величина нормализованной частоты, ниже которой определенная мода не может существовать называется нормализованной частотой отсечки. Сразу оговоримся, что имеются в виду моды, которые локализованы в окрестности жилы, т.е. такие моды, для констант распространения которых выполняется условие (18). Согласно этому условию параметр bq должен находиться в пределах: bqÎ(0,1). Поэтому частота отсечки определённой моды с номером q будет определяться условием bq=0.

Для моды HE11 частота отсечки нулевая, поэтому её называют основной. Значение Vc»2.405 является отсечкой для мод HE01 и EH01. При всех значениях V меньше этого значения волокно является одномодовым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Распределение полей.

Найдя одно из решений характеристического уравнения, можно решить систему уравнений (28) , выразив все коэффициенты через какой-либо один. А его в свою очередь можно задать из соображений нормировки. Таким образом определяться все четыре коэффициента, а значит и полная структура поля.

Выразим все коэффициенты через A1:

 (36.a)

(36.b)

 (36.c)

Здесь уравнение (36.b) справедливо только при l¹0. При l=0 связи между коэффициентами A1,A2 и B1,B2 нет.

Ниже представлены распределения электрического поля в волокне посчитанные  для некоторых мод. Как отмечено выше особое значение имеет основная мода. Также рассмотрим моды HE01 и EH01..На рисунках представлены только распределения электрического вектора и интенсивности света. Поле основной моды проникает далеко в оболочку при V меньше чем 0.5. Это ограничивает применение решения этой задачи, поскольку в таком случае становится значительным влияние конечных размеров оболочки. Поэтому основная мода тоже имеет некоторую эффективную частоту отсечки, но она находиться уже за пределами выбранного приближения. Относительно всех мод можно сказать, что они имеют некоторые эффективные частоты отсечки, которые имеют значение несколько выше номинального, определяемого в рамках этой модели. Условие отсечки, которое взято в модели за основу это условие (18). Это условие обеспечивает требуемую локализацию поля в некоторой конечной области жилы, его характерное затухающее поведение в глубине оболочки. Однако, при эффективных частотах близким к частотам отсечки, область локализации может быть хоть и конечной, но всё же больше или сравнима с размерами самого волокна. Как правило, это приводит к сильному поглощению света или к сильному его высвечиванию даже на не больших на изгибах волокна. Поэтому не наблюдается эффективного прохождения излучения по волокну. Как говорят “мода не волноводится”. Откуда и возникает понятие об эффективной частоте отсечки, как о таком значении  параметра V, когда начинают проявляться указанные эффекты. Количественные расчёты, учитывающие эффекты такого рода довольно сложны, и здесь не представлены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все распределения, показанные на рисунках, построены для коэффициента d, в выражении  (16.а), равного нулю. При этом показаны только действительные части амплитуды . Но несложно представить себе и мнимую часть распределения амплитуды электрических колебаний. Распределение мнимой продольной компоненты будет таким же, как и для действительной, но “повёрнутое” на угол 90/l градусов вокруг оси z. Тогда если мы положим d=-90/l градусов, и посчитаем действительные распределения амплитуд, то они будут такими же как мнимые распределения при d=0. Но угол d есть ничто иное, как угол поворота  относительно выбранной системы координат. Значит, картина распределения мнимой части амплитуды поля будет такая же, как и действительная, но только повёрнутая на угол 90/l. В частности, для показанной моды HE11 мнимая часть распределения амплитуды  будет поляризована вдоль оси x.

Как показывает выражение (2.c) колебания с мнимым распределением амплитуды будут отставать по фазе от колебаний с действительным распределением на величину p¤2. Если вектора и в какой-либо точке поперечного сечения волокна равны по модулю и ортогональны друг другу, то согласно (2.c) электромагнитное поле в этой точке будет иметь круговую поляризацию. В противном случае имеет место эллиптическая поляризация, а при условии, что один из векторов равен нулю, получим линейную поляризацию.

Рассмотрим теперь моды с l=0.  Эти моды имеют следующую особенность. Один из векторов или для TM мод ( или для TE мод)  имеет только продольную составляющую, а другой только поперечную. Поэтому поле этих мод в каждой точке поперечного сечения волокна имеет линейную поляризацию. (См рис. 16)

Жабин С.Н.     26.02.2002