Контрольная работа по "Физике"

         1 Что характеризует вероятность безотказной работы? Расчет вероятности                                                                

          Безотказной  работы. Приведите пример расчета.

   

    Вероятность безотказной работы – это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникает.

Вероятность безотказной работы может применяться  как количественный критерий надежности для восстанавливаемых и невосстанавливаемых  объектов.

Для режимов  хранения и транспортирования может  применяться аналогичный термин «вероятность невозникновения отказа».

Вероятность безотказной работы выражается в  долях единицы или в процентах  и изменяется от единицы до нуля. На рисунке до наработки t₁ вероятность безотказной работы равна 1, а при наработке t₄ она равна 0,1.

Вероятность безотказной работы P(t) представляет собой безусловную вероятность того, что в интервале от 0 до t не наступит отказ, т.е. вероятность того, что отказ наступит в интервале от t до :

P(t) =                              (1)

Вероятность безотказной работы – безразмерный показатель, и при его назначении или определении необходимо указывать  время или наработку, в течение  которых его значение должно быть не ниже указываемой величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Функция вероятности безотказной  работы в зависимости от наработки  объекта

Рис.2. графики функций P(t) и Q(t)

 

Аналитическое выражение для определения  P(t):

F₀ (

где T – среднеарифметическое значение наработки.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оцениваются выражением:

(t) = = 1- ,                       (2)

где (t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы;

      N₀ – число объектов в начале испытания;

      n(t) – число отказавших объектов за время t.

При большом  числе объектов N₀ статистическая оценка (t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P(t).

На практике иногда более удобной характеристикой  может стать вероятность отказа.

Вероятность отказа – вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки возникает хотя бы один отказ.

Вероятность отказа Q(t) при t=0 равна нулю, изменяется от 0 до 1 и вычисляется по формуле:

Q(t) = 1 – P(t).                                              (3)

Для статистического  определения:

Q(t) = 1 – P(t) = 1 - = ,                    (4)

где n(t) – число отказавших объектов за время t

Из рисунка 2 (графики функций P(t) и Q(t) и формулы (3) видно, что при

P(t) = 0,5Q(t) также равна 0,5, и  график функции вероятности отказа – зеркальное отображение функции вероятности безотказной работы.

Вероятность безотказной работы машин зависит  от числа деталей в машине и  их вероятности безотказной работы: P_м = P₁(t) P₂(t) …P_n(t) (по теореме умножения вероятностей).

Если Р₁(t) = P₂(t) = …P_n(t), то P_м(t) = P_iⁿ(t), что является примером практического применения теории вероятностей и математической статистики в надежности.

Пример: Для группы тракторов, находящихся в эксплуатации после наработки  1000 моточасов, получено (t) = 0,05 или Q(1000) = 0,05. Это означает, что 5% тракторов будут иметь отказ раньше, чем через 1000 моточасов наработки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 30

       2 Оценка долговечности объектов  по результатам эксплуатационных                

        испытаний

 

       По условиям задания необходимо  определить числовые значения  показателей  долговечности, используя  информацию, полученную при испытании  50 двигателей СМД – 14 М.

       Интервальный статистический ряд  эмпирического распределения наработки  для заданных условий приведен  в таблице 1. В этой таблице  указаны границы интервалов, значения  частот m_i, частостей m_i/N и накопленных частостей Σm_i/N по отдельным интервалам. При этом сумма частот m_i по всем интервалам должна быть равна N=50, а сумма накопленных частостей по всем интервалам Σm_i/N=1.

Таблица 1 – Интервальный статистический ряд эмпирического распределения  наработки двигателей СМД – 14М  до капитального ремонта.

Границы интервалов, мото-ч	600-1500	1500-2400	2400-3300	3300-4200	4200-5100	5100-6000
Частоты mi	2	4	19	18	6	1
Частости mi/N	0,04	0,08	0,38	0,36	0,12	0,02
Накопленные частости Σmi/N	0,04	0,12	0,5	0,86	0,98	1,00

 

      Закон распределения ресурса  характеризует связь между его  значениями и соответствующими  им вероятностями. Наглядное представление о распределении ресурса по отдельным интервальным значениям дает его графическое изображение в виде гистограммы рисунок 1.

   При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы (по данным таблицы 1) и на каждом интервале строятся прямоугольники. На этом же рисунке показан график опытного распределения ресурса, построенный с учетом значений накопленных частостей к концу каждого интервала наработки. По виду гистограммы и графика значений накопленных частостей можно заключить, что наиболее вероятная наработка двигателей СМД-14М до капитального ремонта находится в интервале значений от 2400 до 4200 мото-ч.

  Числовые значения распределения ресурса следующие

   Среднее  значение

=ΣТ_ср∙

Т_ср - среднее значение наработки на каждом интервале, мото-ч

=1050∙0,04+1950∙0,08+2850∙0,38+3750∙0,36+4650∙0,12+5550∙0,02=3300 мото-ч

 

  Среднее  квадратическое отклонение

σ=

σ=

=904 мото-ч

 

         Коэффициент  вариации

V=

V==0,274

         V=0,2740,33, поэтому следует ожидать, что ресурс двигателя СМД – 14М распределен по нормальному закону с параметрами

       =3300 мото-ч

        σ=904 мото-ч

           В этом случае вероятность появления ресурсного отказа найдем, используя табличные значения нормальной функции распределения

F(T)=Ф^*(

          Пользуясь  выражением, вычислим значения F(Т) для граничных значений каждого из шести интервалов наработки, указанных в таблице 1 и по ним построим график теоретического распределения ресурса двигателя СМД – 14М. Результаты вычислений запишем в таблицу 2.

Таблица 2 – Результаты расчета  значений вероятности того, что за наработку Т двигатель потребует отправки в капитальный ремонт

Значения наработки Т, мото-ч	600	1500	2400	3300	4200	5100	6000
Значения Х=	-2,98	-1,99	-0,99	0	0,99	1,99	2,98
Значения F(Т)	0,0015	0,02308	0,16118	0,5	0,83882	0,97664	0,9985

 

             График теоретического распределения  ресурса двигателя с учетом  данных таблицы 2 приведен на  рисунке 2

            На этом же рисунке показано графическое определение 80% ресурса двигателя – это наработка, до которой дорабатывают  и остаются в работоспособном состоянии 80% двигателей СМД -14М. При этой же наработке 20% двигателей уже достигли предельного состояния, т.е. Т_80% определяется для значения F(Т)=0,2

F(Т_80%)=0,2= Ф^*(=Ф^*(х)

            Из таблицы находим, что при  Ф(х)=0,2 х=-0,84

            Следовательно 

            = - 0,84

            Т_80%=-0,84∙904+3300=2540 мото-ч

           Имея  сведения о значениях функции  F(Т) для граничных значений каждого из шести интервалов наработки (таблица 2), по ним определяется вероятность попадания ресурса в каждый из этих интервалов Р_i и путем деления этой вероятности на ширину интервала (900 мото-ч). Устанавливается значения средней плотности распределения ресурса по каждому интервалу – f i(T).

           Последнее  позволяет построить график дифференциальной  функции распределения ресурса  двигателя. При этом полученные средние значения плотности распределения ресурса f i(T) на графике откладываются на середине каждого интервала. Данные для построения этого графика приведены в таблице 3, график на рисунке 3

Таблица 3 – Расчет значений средней плотности распределения ресурса двигателя СМД – 14М по рассматриваемым интервалам

№ интер-вала	Границы интервала		F(Тв)	F(Тн)	Pi= (Тв)- F(Тн)	f i(T)= Pi/800 х10-4	Середина интервала (Тн+Тв)/2
	Тн	Тв
1	600	1500	0,02308	0,0015	0,02158	0,26975	1050
2	1500	2400	0,16118	0,02308	0,1381	1,72625	1950
3	2400	3300	0,5	0,16118	0,33882	4,23535	2850
4	3300	4200	0,83882	0,5	0,33882	4,23525	3750
5	4200	5100	0,97664	0,83882	0,13782	1,72275	4650
6	5100	6000	0,9985	0,97664	0,0286	0,27325	5550

 

            По виду полученного графика  можно заключить, что также  как и по гистограмме рисунок 1, наиболее вероятная наработка двигателя до предельного состояния находится в интервале от 1950 до 4650 мото-ч.

           Таким  образом, в рассматриваемом примере  получены следующие значения  показателей долговечности двигателя  СМД – 14М:

          Средний  ресурс между капитальными ремонтами  =3300 мото-ч

           80 –  процентный гамма – ресурс  Т_80%=2540 мото-ч

Список литературы

 

            1 Л.С. Ермолов, В.М. Кряжков, В.Е. Черкун. «Основы надежности сельскохозяйственной техники»; Москва, «Колос» 1982

            2 Е.А. Пучин, О.Н. Дидманидзе, П.П. Лезин, Е.А. Лисунов, И.Н. Кравченко «Надежность технических систем»; Москва, УМЦ Триада, 2005

           

3