Квантовая физика

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

 

Задача I.  Частица – р (протон) находится в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l=10-11м.

Энергия частицы Wn = 61.19 эВ.

1. Найти квантовое число n, характеризующее энергетическое состояние частицы.

Решение:

Известно, что внутри одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений Wn:

где n – квантовое число (номер уровня),

 – постоянная Планка (1,05·10-34 Дж·с),

m – масса частицы (1.67·10-27 кг),

l – ширина ямы.

Wn = 61.19 эВ = 9.804·10-18 Дж.

Таким образом, подставим:

Отсюда n2 = 30,124

Значит n = 5,48, то есть n = 5.

 

2. Вычислить вероятность р(х1, х2) обнаружения частицы в интервале от х1= 0,3l до х2 = 0,4l

Решение:

Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

Волновая функция частицы имеет вид:

Таким образом, вероятность нахождения частицы в интервале равна:

Подставим:

Таким образом – вероятность нахождения частицы равна 0,1.

 

3. Построить зависимость от координаты х плотности вероятности |Ψn(х)|2 обнаружения частицы. Показать на построенной зависимости найденную вероятность.

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

                 0,3l   0,4l

               n = 5              показана полученная вероятность                    

 

ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ

 

Электрон в атоме водорода перешёл из одного состояния 4s (исходного) в другое 2p (конечное). Найти:

1. Приращение энергии ΔW электрона (в Дж и эВ);

2. Кратность вырождения энергетических уровней, соответствующих начальному и конечному состояниям;

3. Модуль орбитального момента импульса электрона Lе  в начальном и конечном состояниях;

4. Возможные ориентации вектора момента импульса электрона в начальном и конечном состояниях (показать на рисунках);

5. Модули вектора спинового момента импульса Ls   и спинового магнитного момента  pms  электрона;

6. Возможные ориентации вектора спинового момента импульса электрона  (показать на рисунках с соблюдением масштаба).

7. Построить схему энергетических уровней атома водорода и показать на ней рассматриваемый переход.

 

Решение:

1. Для атома водорода приращение энергии равно:

ΔW = hν = (me4)/(2 )·(1/n12 – 1/n22)

где (me4)/(2 ) = R/h

ΔW = 1097,37/6,26·10-34(1/42 - 1/22) = 32,87·10-34 Дж = 2,05·10-14 эВ = 0,02 пЭв.

2. Кратность вырождения уровня с заданными L и S равна:

g0 =(2L+1)(2S+1).

Кратность вырождения уровня 4s:

l=0 – s-состояние – кратность вырождения равна 2.

Кратность вырождения уровня 2p:

l=1 – p-состояние - кратность вырождения равна 6.

3. Модуль орбитального момента импульса электрона Lе

Состояние 4s:

Состояние 2p:

4. Возможные ориентации вектора момента импульса электрона:

В начальном состоянии – импульс равен 0, так как это s- основное состояние.

В конечном состоянии: p-состоянию соответствует орбитальное квантовое число l=1. Существует пространственное квантование: вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция вектора на направление внешнего магнитного поля принимает квантовые значения; кратные : , где m – магнитное квантовое число, принимающее значения: , где – орбитальное квантовое число. Значит, p-уровню соответствуют следующие значения проекции

  :

5. Модули вектора спинового момента импульса Ls и спинового магнитного момента pms электрона:

Магнитное спиновое квантовое число может принимать только два значения ms = ±1/2, таким образом модуль спинового момента импульса может быть равен только Ls = 1/2

Спиновый магнитный момент pms = gs Ls

в котором коэффициент пропорциональности gs = pms /Ls = − e/me,

где me − масса электрона, называют гиромагнитным отношением спиновых моментов. Таким образом, спиновый магнитный момент: pms = ± gs(ħ/2).

6. Возможные ориентации вектора спинового момента импульса электрона:

 

 

7. Переход, рассмотренный в задании (ярко красная линия):