Исследование переходных процессов а цепях первого и второго порядка

Page 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА
Цель работы - экспериментальное изучение переходных процессов,
происходящих в простых линейных цепях при включении их под постоянное
напряжение и при замыкании цепи на резистор.
1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Переходные процессы в электрических цепях возникают при
изменении режимов их работы: включениях, выключениях, замыканиях цепи
на резистор, изменениях параметров цепи, называемых в общем случае
коммутацией. Переход от одного установившегося режима работы цепи к
другому при наличии в ней реактивных элементов происходит не мгновенно,
а в течение некоторого времени. Это объясняется тем, что каждому режиму
соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных
полей. Энергия магнитного поля, запасенная катушкой индуктивности,
2
2
LI
W
L

, и электрического поля, запасаемая конденсатором,
2
2
CU
W
C

, не
могут изменяться скачкообразно (мгновенно). В противном случае
мощность, необходимая для изменения уровня энергии, которая равна
производной от энергии по времени, достигла бы бесконечно больших
значений, что практически невозможно. Из этого положения вытекают
законы коммутации: ток в катушке индуктивности и напряжение на
конденсаторе не могут изменяться скачкообразно. Математически законы
коммутации записываются следующим образом:
)0
(
)0
(



L
L
i
i
и
)0
(
)0
(



C
C
u
u
,
т.е. в начальный момент после коммутации (
0


t
) ток в катушке
индуктивности и напряжение на конденсаторе остаются такими же, какими
они были до коммутации (
0


t
).
Несмотря на то, что переходные процессы протекают достаточно
быстро (обычно доли секунды), они могут оказывать существенное влияние
на работоспособность электротехнических устройств. Изучение переходных
процессов в энергетических установках позволяет выявить возможные
превышения напряжения на отдельных участках цепи, определить
возможные увеличения токов, которые могут в десятки раз превышать их
установившиеся значения.
В устройствах автоматики и связи расчет переходных процессов
позволяет установить, как искажаются по форме и амплитуде сигналы при их
прохождении через усилители, фильтры, трансформаторы и другие элементы
цепей.
Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами
описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок
уравнений определяется количеством реактивных элементов в цепи,

---

Page 2

имеющих независимые начальные условия. Например, для последовательной
цепи R – L, (рис.1, ключ К2 замкнут) при включении ее под постоянное
напряжение U
0
(контакты реле КР разомкнуты) дифференциальное
уравнение, описывающее переходный процесс, имеет вид
0
0
)
(
U
dt
di
L
R
R
i



.
(1)
Решение неоднородного дифференциального уравнения (1) находится
как сумма принужденной i

и свободной i

составляющих тока
i
i
i



.
(2)
Физическое толкование этих составляющих показывает, что
принужденная составляющая равна установившемуся значению тока (или
напряжения, если дифференциальное уравнение написано относительно
напряжения). Свободная составляющая определяет поведение цепи при
отсутствии внешних источников энергии и зависит только от ее параметров и
начальных условий.
Рис.1. Схема коммутируемой RLC-цепи
Для рассматриваемой цепи
)
(
0
0
R
R
U
i


;
t
e
A
i



,
где А - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий; α -
корень характеристического уравнения.
Окончательный вид уравнения тока в цепи R-L-R
0
при подключении ее
к постоянному напряжению U
0
имеет вид













t
L
R
R
e
R
R
U
i
0
1
0
0
.
(3)
При замыкании контактов реле КР катушка индуктивности замыкается
на резистор R; произойдет отдача энергии, запасенной катушкой, на
резистор. Уравнение переходного процесса в этом случае будет
0


dt
di
L
R
i
.
(4)
Решение однородного дифференциального уравнения содержит только
одну свободную составляющую













 t
L
R
e
R
R
U
i
i
1
0
0
.
(5)

---

Page 3

Напряжение на катушке индуктивности во время переходного процесса
равно
dt
di
L
u
L

.
Следовательно, для случаев подключения цепи к постоянному
напряжению и замыканию катушки индуктивности на резистор
соответственно получим
t
L
R
R
L
e
U
u
0
0



,
(6)
t
L
R
L
e
R
R
R
U
u



0
0
.
(7)
Графики токов и напряжения на катушке индуктивности показаны на рис.2.
Скорость протекания переходного процесса определяется постоянными
времени τ, которые для рассматриваемой цепи равны:
0
1
R
R
L



,
R
L


2
.
Графически постоянная времени τ определяется подкасательной к кривой i(t),
u
L
(t) (рис.2).
Аналогично можно получить уравнения и графики для переходных
процессов в последовательной цепи R-С (см. рис.1: ключ К1 замкнут, К2 -
разомкнут) для тех же режимов: подключения цепи к постоянному
напряжению U
0
и замыкания конденсатора на резистор. В первом случае
конденсатор будет заряжаться (уравнения (8) и (9)), во втором - разряжаться
(уравнения (10) и (11)).














C
R
R
t
C
e
U
u
)
(
0
0
1
,
(8)
C
R
R
t
e
R
R
U
i
)
(
0
0
0




,
(9)

---

Page 4

RC
t
C
e
U
u


0
,
(10)
RC
t
e
R
U
i


0
.
(11)
При двух реактивных элементах в цепи характер переходного процесса
принципиально отличается от процесса в цепи с одним реактивным
элементом. Для последовательной цепи R –L–C цепи (см. рис.1: ключи и К1и
К2 разомкнуты) переходный процесс при подключении ее к постоянному
напряжениюU
0
описывается неоднородным дифференциальным уравнением
2-го порядка:
0
0
)
(
U
u
dt
di
L
R
R
i
C




,
(12)
где с учетом зависимости
dt
du
C
i
C
C

получается дифференциальное
уравнение второго порядка относительно напряжения u
C
:
0
0
2
2
)
(
U
u
dt
du
C
R
R
dt
u
d
LC
C
C
C




.
(13)
Произойдет заряд конденсатора через катушку L и резисторы R, R
0
.
При замыкании контактов КР конденсатор С, заряженный до
напряжения U
0
, начнет разряжаться через катушку индуктивности и
резистор R. Переходный процесс для режима разряда описывается
однородным дифференциальным уравнением второго порядка:
0
)
(
0
2
2




C
C
C
u
dt
du
C
R
R
dt
u
d
LC
.
(14)
Решение уравнения (14) в общем виде имеет вид:
t
t
C
e
A
e
A
u
2
1
2
1




,
где α
1
и α
2
– корни характеристического уравнения; А
1
и А
2
– постоянные
интегрирования.
В зависимости от соотношения параметров цепи α
1
и α
2
могут быть
вещественными разными
)
2
(
C
L
R 
, вещественными одинаковыми
)
2
(
C
L
R 
, комплексными сопряженными
)
2
(
C
L
R 
числами. От вида
корней зависит характер переходного процесса: в первом случае он
апериодический, во втором - предельный апериодический (критический), а в
третьем - колебательный. Уравнения тока и напряжений на реактивных
элементах для апериодического режима имеют вид:


t
t
e
e
L
U
i
2
1
)
(
2
1
0








;
(15)


t
t
L
e
e
U
u
2
1
2
1
2
1
0










;
(16)


t
t
C
e
e
U
u
2
1
12
2
2
1
0










.
(17)
Уравнениям (15)-(17) соответствуют графики, приведенные на рис.3.

---

Page 5

В критическом режиме характер переходного процесса и вид кривых
i(t), u
L
(t), u
C
(t) принципиально не отличается от апериодического режима.
При колебательном режиме решение дифференциального уравнения
(14) имеет вид:
)
sin(
0
0









t
e
U
u
t
C
,
(18)
где
LC
1
0


- частота собственных незатухающих колебаний;
2
2
0





-
частота собственных затухающих колебаний;
L
R 2


- коэффициент
затухания.
Из уравнения (18) можно получить i(t), u
L
(t) по известным
зависимостям
dt
du
C
i
C

и
dt
di
L
u
L

:
)
sin(
0









t
e
L
U
i
t
,
(19)
)
sin(
0
0










t
e
U
u
t
L
.
(20)
График i(t), соответствующий уравнению (19), приведен на рис.4. Он имеет
вид затухающей синусоиды, скорость затухания которой определяется
величиной


 1
, период колебания


 2
T
.

---

Page 6

И, наконец, для переходного процесса, возникающего при
подключении цепи R–L–C–R
0
постоянному напряжению (контакты реле КР
разомкнуты), получим уравнения для тока i(t) и напряжения на катушке u
L
(t),
которые отличаются от (19) и (20) знаком правой части, а для u
C
(t):
)
sin(
0
0
0










t
e
U
U
u
t
С
.
(21)
Графики u
C
(t) и i(t) приведены на рис. 5. Кроме того, в этом случае
L
R
R
2
)
(
0



, так как заряд конденсатора происходит через два
последовательно включенных резистора.

---

Page 7

2. ПРОГРАММА РАБОТЫ
Исследовать зависимость характера переходных процессов от
параметров цепи для следующих случаев:
1) цепь с R и L ;
2) цепь c R и С;
3) цепь с R, L и С.
Количество вариантов параметров исследуемой цепи выбирается по
указанию преподавателя.
3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на лабораторном стенде c использованием наборов
резисторов R, катушек индуктивности L, конденсаторов С, поляризованного
реле РП, электронно-лучевого осциллографа ЭО, вольтметра V, ключей K1 и
K2. В качестве источника постоянного стабилизированного напряжения
используется универсальный источник питания.
Схема лабораторной установки приведена на рис.6. Ключи K1 и K2
позволяют исключать из цепи соответственно L или C. Контакты реле РН с
частотой 50 Гц производят переключение цепи из режима подключения ее к
источнику напряжения (контакты разомкнуты) в режим замыкания цепи на
резистор (контакты замкнуты). Резистор R
0
служит для предотвращения
короткого замыкания источника питания.

---

Page 8

Рис. 6. Схема измерений
4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
4.1. Исследование последовательной цепи R – L
Ключ К1 должен быть разомкнут, а К2 – замкнут. Величину R и L
выбирают из следующего расчета. Реле РП переключает цепь с частотой 50
Гц, следовательно, время одного цикла составляет 0,02с. За это время
происходит последовательно
два
переходных
процесса, которые
соответствуют режимам подключения цепи к источнику напряжения и
замыканию ее на резистор. Необходимо, чтобы оба процесса, наблюдаемые
на экране осциллографа, успевали в основном заканчиваться за время одного
цикла. Если считать, что переходный процесс заканчивается за (3-5)τ, где τ -
постоянная времени, то получим:
с
02
.0
)5
3(
)
)(
5
3(
0
2
1


















R
L
R
R
L
T
.
Величину индуктивности на лабораторном стенде можно выбирать в
широких пределах, используя многосекционную катушку индуктивности L
1
односекционную L
2
. Параметры отдельных секций указаны на стенде.
Ограничительный резистор R
0
можно принять постоянным для всех случаев,
равным 100 – 200 Ом. Тогда при L = 1,23 Гн, например, получим R = 400 -
600 Ом. Вход «Y» осциллографа подключают к точкам схемы а – б или б – в
(по указанию преподавателя) и на экране осциллографа наблюдают кривую
u
R
(t) или u
L
(t) при нескольких вариациях параметров цепи. Затем
накладывают кальку на экран осциллографа, и вычерчивают кривые при всех
выбранных параметрах цепи. При этом нельзя менять положения рукояток
осциллографа: «Усиление», «Диапазон частот», «Ослабление». На кальке
следует указать вариант исследуемой цепи, ее параметры, а также величину
напряжения источника U
0
, которое рекомендуется устанавливать в пределах
6 – 12 В.
Данные исследования заносятся в табл.1.

---

Page 9

Таблица 1
Варианты
Вычисляются
U
0
R
L
τ
1граф
τ
1теор
τ
2граф
τ
1теор
В
Ом
Гн
с
с
с
с
В табл.1 τ
1теор
вычисляют по приведенным выше формулам, а из
осциллограммы - по величине подкасательной (см. рис.2). Масштаб времени
при этом определяется по продолжительности одного цикла, который
составляет 0,02 с; масштаб напряжения - по величине максимального
отклонения луча, которое соответствует U
0
.
По известным U
0
, L и R производится теоретический расчет для одного
из вариантов (по указанию преподавателя). Результаты теоретического
расчета сравниваются с экспериментальными данными путем построения
соответствующих кривых на одной координатной сетке.
4.2. Исследование последовательной цепи R- С
Ключ К2 должен быть разомкнут, а К1 – замкнут. При исследовании
этой цепи также необходимо предварительно подобрать величину R по
выбранной величине С. Здесь постоянная времени для режима заряда
конденсатора равна
C
R
R
)
(
0
1



; для режима разряда
RC


1
. Величину
емкости следует выбирать в пределах (2 - 6) мкФ.
Переходный процесс исследуют при 2 - 3 вариантах R. С экрана
осциллографа снимают на кальку кривые u
R
(t) или u
L
(t) (по указанию
преподавателя). Вход «Y» осциллографа при этом подключают либо к
точкам а - б , либо в - г . Результаты исследования заносятся в табл.2.
Таблица 2
Варианты
Вычисляются
U
0
R
С
τ
1граф
τ
1теор
τ
2граф
τ
1теор
В
Ом
мкФ
с
с
с
с
При оформлении отчета необходимо произвести теоретический расчет
для одного из вариантов (по указанию преподавателя) и сравнить с
экспериментом. Масштабы напряжения и времени определяются также, как в
п.4.1.
4.3. Исследование цепи R - L -С
Ключи К1, К2 должны быть разомкнуты. В этом исследовании
величину С следует выбирать меньше, чем в п.4.2, например 0,25 - 0,5 мкФ.
Вначале
необходимо
вычислить
величину
критического
сопротивления, которое при выбранной величине С = 0,50 мкФ и L=1,23 Гн,
будет равно

---

Page 10

Ом
3137
10
5.
0
23
.1
2
2
6
кр





C
L
R
.
При этой величине R получим критический режим, при меньшем R,
например в 4 - 5 раз, - характерный колебательный режим. Апериодический
режим получается при любом R, превышающем критическое.
Кривые тока и напряжений для трех режимов снимают с экрана
осциллографа на кальку. Здесь можно снять кривые i(t), u
L
(t), u
C
(t), u
R
(t) (по
указанию преподавателя). Результаты исследования заносятся в табл.3.
Таблица 3
Характер
процесса
Варианты
Вычисляется
U
0
R
L
C
ω
т
ω
гр
δ
т
δ
гр
В
Ом
Гн
мкФ
1/с
1/с
1/с
1/с
Апериодический
Критический
Колебательный
Для определения масштаба напряжения кривых, снятых с экрана, вход
«Y» осциллографа подключают к напряжению U
0
, по величине отклонения
луча определяется масштаб. Масштаб времени определяется так же, как и в
п.п. 4.1, 4.2.
По известным U
0
, R, L, С производят теоретический расчет кривых i(t),
u
L
(t), u
C
(t), u
R
(t) (по указанию преподавателя) для апериодического и
колебательного
режимов.
По
полученным уравнениям строятся
теоретические кривые в одном масштабе о экспериментальными. Кроме того,
по всем экспериментальным кривым определяют графически величины ω
гр
и
δ
гр
. (см.рис.4).
5. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Программа работы.
2. Рабочие схемы.
3. Расчетные формулы и пояснения к ним.
4. Таблицы наблюдений и вычислений.
5. Осциллограммы и расчетные кривые, построенные по теоретическим
формулам.
6. ЛИТЕРАТУРА
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники,
Т.1.-Л.: Энергоиздат, 1981.
2. 3евеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В. Основы теории цепей. -М.:
Энергия, 1975.