Высокотемпературная сверхпроводимость

      (2.6)

Эта закономерность и называется изотопическим аффектом. Величина в формуле (2.6) для многих элементов близка к 0,5. Именно так зависит частота колебаний атомов в решетке, что указывает на существенную роль кристаллической решетки в формировании сверхпроводящих свойств веществ. Реально на частоту колебаний атомов влияет и кулоновское взаимодействие электронов, что приводит к отличию, хотя и незначительному, величины от 0,5.

Таким образом, стало  понятно, что ионная решетка металла активно участвует в создании сверхпроводящего состояния, ибо частота решеточных колебаний как раз пропорциональна квадратному корню из массы атомов. Другими словами, стало ясно, что существенным моментом в сверхпроводимости является взаимодействие электронов с колебаниями кристаллической решетки, называемое электрон-фононным взаимодействием. Электроны в сверхпроводнике образуют за счёт обмена фононами связанные пары – происходит так называемое куперовское спаривание. Физическая причина появления связанного состояния электронов в сверхпроводнике была указана в 1956 г. Л. Купером (часто это утверждение называют теоремой Купера).

В высокотемпературных  сверхпроводниках значение близко к нулю. Этот факт обусловил исследование механизмов ВТСП, не связанных с электрон-фононным взаимодействием.

 

2.4 Длина проникновения  и длина когерентности

Детальные исследования показали, что при условии сохранения достаточно слабого магнитного поля последнее постепенно исчезает вблизи поверхности сверхпроводника на глубине порядка нескольких сотен ангстремов, которая называется глубиной проникновения. При действии внешнего магнитного поля постоянный термодинамический ток возникает на поверхности сверхпроводника, таким образом, чтобы экранировать толщу материала от приложенного поля. Феноменологическая теория сверхпроводимости, предложенная К. Гортером и X. Казимиром и основанная на допущении о том, что в сверхпроводящем состоянии существуют две компоненты проводящей электронной «жидкости»: «нормальная» и «сверхпроводящая», дала имя двухжидкостной модели. Свойства «нормальной» компоненты идентичны системе электронов в нормальном металле, а «сверхпроводящая» компонента ответственна за аномальные свойства. В рамках двухжидкостной модели сверхпроводника температурная зависимость глубины . хорошо аппроксимируется выражением :

      (2.7)

 Отклонение величины при условии Т > T_с показывает, что переход от нормального состояния, при котором = , к сверхпроводящему осуществляется непрерывно (см. рис. 1.56). При отличном от нуля поле претерпевает скачок от бесконечного до конечного значения, и переход становится фазовым переходом первого рода.

Рис. 2.2

Температурная зависимость глубины проникновения, [1, c. 28]

 

Принимая во внимание резкость сверхпроводящего перехода при  отсутствии магнитного поля, а также  заметную зависимость наблюдаемой глубины от содержания примесей в сверхпроводнике, А. Пиппард заключил, что сверхпроводящее состояние должно характеризоваться конечной, а не бесконечной, как в теории братьев Ф. и X. Лондонов, длиной когерентности импульса электронов ( ). Поэтому параметр порядка плавно изменяется на расстоянии , называемом длиной когерентности. По оценке, сделанной А. Пиппардом на основании зависимости от поля, длина ~ 1 мкм. Длина когерентности - расстояние между двумя электронами куперовской пары, есть, по существу, пространственная характеристика сверхпроводящих электронов; о ее величине можно судить, воспользовавшись соотношением неопределенностей:

      (2.8)

где - скорость Ферми, k - постоянная Кельвина.

Для объяснения зависимости глубины  от длины свободного пробега электронов l, А. Пиппард предположил, что эффективная длина когерентности (0) связана с соответствующей величиной для чистого металла соотношением:

      (2.9)

где A - постоянная, порядка единицы.

В двух предельных случаях можно получить явные выражения для в форме:

при << (Лондоновский предел),  (2.10)

где - Лондоновская длина проникновения (длинна проникновения магнитного поля при абсолютном нуле), m и е - масса и заряд электрона, n_s - количественная плотность сверхпроводящих электронов.

Условие << выполняется для чистых металлов вблизи Т_с (где ), а также для сплавов и тонких примесных пленок, где l и уменьшаются или ограничиваются рассеянием электронов на дефектах, примесях или на границах пленки, так что при . В противоположном предельном случае ( >> ), относящемся к большей части массивных сверхпроводников , при температурах, не слишком близких к Т_с, выполняется:

при >> (Пиппардовский предел). (2.11)

 

2.5 Магнитные свойства сверхпроводников I рода

Все сверхпроводники  разделяются на два класса — I или II рода в зависимости от того, положительная или отрицательная у них поверхностная энергия, связанная с наличием границ раздела между нормальной и сверхпроводящей фазами. Рассмотрим вначале сверхпроводники первого рода, к которым относятся все чистые металлы, за исключением ниобия, ванадия и технеция. Отличительной чертой сверхпроводников I рода является то, что полное экранирование их внутреннего объема от внешнего магнитного поля (эффект Мейсснера) происходит во всей области существования сверхпроводимости.

 Рассмотрим поведение сверхпроводника I рода в магнитном поле. Пусть образец представляет собой длинный цилиндр, помещенный в продольное внешнее магнитное поле Н_о. С увеличением поля Н_о индукция В внутри сверхпроводника не будет изменяться и останется нулевой. Поэтому кривая намагничивания В = В(Н₀) будет иметь вид, изображенный на рис. 2.2. Когда внешнее поле Н_о станет равным

Рис. 2.3

Индукция В и магнитный момент сверхпроводника I рода в зависимости от приложенного поля [2, c. 15]

 

критическому Н_с, сверхпроводимость разрушится, поле проникнет в сверхпроводник, и В станет равным Н_с. Магнитная индукция В и напряженность поля Н_о связаны известным соотношением

B = H₀ + 4 M,      (2.12)

 

где М — магнитный момент единицы объема образца. Часто кривую намагничивания строят в виде зависимости  -4 М от Н_о, как это сделано на рис. 2.2.

Перечислим основные магнитные свойства сверхпроводников первого рода:

1)  Магнитные  силовые линии вне поверхности сверхпроводника всегда касательны к его поверхности. Действительно, из электродинамики известно, что магнитные силовые линии, т.е. линии вектора индукции В, непрерывны и замкнуты. Это соответствует уравнению

div B = 0.      (2.13)

 

Отсюда следует, что нормальные составляющие вектора В к поверхности любого материала внутри и снаружи должны быть равны. Но внутри сверхпроводника В = 0, а значит, и нормальная компонента В_n= 0. Следовательно, нормальная компонента В_n вне сверхпроводника на его поверхности тоже равна нулю. Но равенство В_n = 0 как раз и означает, что магнитные силовые линии касательны к поверхности сверхпроводника.

2)  Следствием  предыдущего свойства является  то, что по поверхности сверхпроводника, находящегося во внешнем магнитном ноле, всегда течет электрический ток. Из уравнения Максвелла непосредственно следует связь между поверхностным током и магнитным полем на границе

j = [n, H₀],     (2.14)

где n - единичный вектор внешней нормали к поверхности сверхпроводника.

Итак, поверхностный ток полностью задан магнитным полем на границе сверхпроводника. Иными словами, он автоматически становится таким, чтобы его собственное магнитное поле внутри сверхпроводника полностью компенсировало внешнее поле, что обеспечивает отсутствие результирующего поля внутри сверхпроводника.

3)  Еще одним  достаточно очевидным свойством  обладают односвязные сверхпроводники  (под односвязным понимают такое  тело, в котором можно произвольный  замкнутый контур стянуть в  точку, не пересекая при этом  нигде границ тела): токи по его поверхности текут лишь в том случае, когда он находится во внешнем магнитном поле. Действительно, если поверхностные токи сохраняются и после отключения внешнего поля, то они создают свое поле в сверхпроводнике, что невозможно.

 

2.6 Джозефсоновские эффекты

Квантовая природа  сверхпроводимости обеспечивается так называемой слабой сверхпроводимостью, или Джозефсоновскими эффектами, которые были предсказаны в 1962 г. и вскоре проверены экспериментально. Термин «слабая сверхпроводимость» отражает ситуацию, в которой два сверхпроводника соединены друг с другом слабой связью.

Существуют два  Джозефсоновских эффекта: стационарный (dc) и нестационарный (ас).

Итак, рассмотрим два сверхпроводника, разделенных  слоем нормального металла (s-n-s – контакт).

Пусть Е₁,Е₂ — наинизшие энергии электронов в сверхпроводниках, К — константа связи между сверхпроводниками (если К=0, то это единый сверхпроводник, и E₁=E₂). Переход электронов из одного сверхпроводника в другой может быть обусловлен только квантово-механическим туннелированием через разделяющий сверхпроводники слой нормального металла. Чтобы найти закономерности этого процесса, надо решить нестационарные уравнения Шредингера. Если - волновая функция электронной пары на одной стороне перехода, а - на другой, то уравнения принимают следующий вид:

     (2.15)

Будем для простоты считать, что слой нормального металла  разделяет одинаковые сверхпроводники. Так как пропорциональна плотности электронов , равной нормальной плотности в сверхпроводящем материале, то и можно записать в виде

       (2.16)

где , — действительные функции r и t.

Приложим к  переходу разность потенциалов V. Каждая электронная пара с зарядом q = 2е, пересекая переход, приобретает потенциальную энергию qV. Можно считать, что пара на одной стороне имеет потенциальную энергию , а на другой . С учетом приложенной разности потенциалов уравнения (2.15) преобразуются к виду

     (2.17)

Подставив в первое из уравнений (2.17) выражения для - функций (2.16), получим

   (2.18)

Введем обозначение

        (2.19)

и перепишем уравнение (2.18) в виде

    (2.20)

Аналогичным образом второе уравнение (2.17) преобразуется к виду

    (2.21)

Приравнивая  мнимые части обеих  частей уравнения  (2.20)  получаем

     (2.22)

В этом выражении стоит фактически величина тока через переход, и ее можно переписать в виде

       (2.23)

Полученная формула  называется формулой Джозефсона (или стационарным эффектом Джозефсона) и определяет ток сверхпроводящих электронных пар через туннельный переход. Конечно, чтобы туннелирование пар было значимым, ширина диэлектрической прослойки должна быть порядка . Заметим, что в формулу (2.23) не входит величина приложенного к переходу напряжения. Это означает, что сверхпроводящий ток определяется лишь градиентом фазы волновой функции. Можно представить, что в области, разделяющей пленки, интерферируют когерентные токи (волны), испускаемые обоими сверхпроводниками, и суммарный ток пропорционален синусу разности фаз. Кроме того, видно, что джозефсоновский ток не может быть больше некоторого критического тока J_с = J_o, соответствующего = , его величина определяется как свойствами перехода, гак и свойствами сверхпроводников. Чем выше температура, тем меньше энергетическая щель и тем меньше критический ток.

Важные применения стационарного эффекта Джозефсона основаны на включении контакта в сверхпроводящий контур, поэтому рассмотрим физические явления, происходящие в такой системе. Магнитный поток через площадь полностью сверхпроводящего контура (не содержащего слабой связи) строго постоянен. Напомним, откуда это следует. В сверхпроводнике не может возникнуть ЭДС индукции, так   как   падение   напряжения   на   нем   равно   нулю.   Поскольку E_инд = , то = 0 и Ф = const. Это постоянное значение магнитного потока квантуется. Оно равно целому числу квантов потока Ф_о, и изменить его, не переводя контур в нормальное состояние, нельзя — магнитный поток в контуре заморожен. Если же сверхпроводящий контур содержит слабую связь (например, тонкий слой диэлектрика), то магнитный поток через площадь контура может меняться — кванты магнитного потока проникают в контур через слабую связь.

Проследим, как  с ростом внешнего магнитного поля меняются магнитный поток внутри сверхпроводящего кольца со слабой связью и величина тока в нем (см. рис. 2.4).

 

Рис. 2.3

Сверхпроводящий контур с джозефсоновским элементом во внешнем магнитном поле [2, c. 112]

 

Пусть вначале внешнее поле и  ток в контуре равны нулю (см. рис. 2.3а). Тогда поток внутри контура тоже равен нулю. Будем увеличивать внешнее поле, в результате чего в контуре появится сверхпроводящий ток, магнитное поле которого точно компенсирует внешний поток. Так будет продолжаться до тех пор, пока ток в контуре не станет равным критическому току контакта J_с (см. рис. 2.3б). Предположим для определенности, что в этот момент внешнее поле создает поток, в точности равный половине кванта Ф_внешн ⁼ (варьируя, например, толщину слоя диэлектрика, величину критического тока всегда можно сделать такой, чтобы выполнялось условие c^-1LJ_c = , где L — индуктивность кольца; это упрощает рассмотрение, но не меняет существа дела).

Как только ток превысит критическое  значение J_с, сверхпроводимость в месте слабой связи разрушится, и в контур войдет квант потока Ф_о (см. рис. 2.3в). При этом отношение Ф_внешн/Ф₀ скачком увеличится на единицу (сверхпроводящий контур перейдет в новое квантовое состояние). Величина же сверхпроводящего тока не изменится, но направление его станет противоположным. Действительно, если до проникновения кванта потока Ф₀ ток J_с полностью экранировал внешний поток , то после вхождения он должен усиливать внешний поток до значения Ф₀. Поэтому в момент проникновения вихря направление тока скачком меняется на противоположное.